ভেরিয়েবল কি? গণিতে পরিবর্তনশীল

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

গণিতে ভেরিয়েবলের গুরুত্ব অনেক, কারণ এর অস্তিত্বের সময়, বিজ্ঞানীরা এই এলাকায় অনেক আবিষ্কার করতে পেরেছিলেন, এবং এই বা সেই উপপাদ্যটিকে সংক্ষিপ্তভাবে এবং স্পষ্টভাবে বলার জন্য, আমরা সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি লিখতে ভেরিয়েবল ব্যবহার করি।. উদাহরণস্বরূপ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য: a² =b² + c^{2। একটি সমস্যা সমাধান করার সময় প্রতিবার কীভাবে লিখতে হয়: পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, কর্ণের বর্গটি পায়ের বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির সমান - আমরা এটি একটি সূত্র দিয়ে লিখি এবং সবকিছু অবিলম্বে পরিষ্কার হয়ে যায়।}

সুতরাং, এই নিবন্ধটি ভেরিয়েবলগুলি কী, তাদের প্রকার এবং বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করবে৷ বিভিন্ন গাণিতিক অভিব্যক্তিও বিবেচনা করা হবে: তাদের সমাধানের জন্য অসমতা, সূত্র, সিস্টেম এবং অ্যালগরিদম।

পরিবর্তনশীল ধারণা

প্রথম, একটি পরিবর্তনশীল কি? এটি একটি সংখ্যাসূচক মান যা অনেকগুলি মান নিতে পারে। এটি ধ্রুবক হতে পারে না, যেহেতু বিভিন্ন সমস্যা এবং সমীকরণে, সুবিধার জন্য, আমরা সমাধান হিসাবে গ্রহণ করিপরিবর্তনশীল বিভিন্ন সংখ্যা, অর্থাৎ, উদাহরণস্বরূপ, z হল প্রতিটি পরিমাণের জন্য একটি সাধারণ উপাধি যার জন্য এটি নেওয়া হয়েছে। সাধারণত এগুলি ল্যাটিন বা গ্রীক বর্ণমালার অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয় (x, y, a, b, এবং তাই)।

বিভিন্ন ধরনের ভেরিয়েবল আছে। তারা কিছু ভৌত পরিমাণ - পথ (S), সময় (t), এবং সমীকরণ, ফাংশন এবং অন্যান্য অভিব্যক্তিতে কেবল অজানা মান উভয়ই সেট করে।

উদাহরণস্বরূপ, একটি সূত্র আছে: S=Vt. এখানে, ভেরিয়েবলগুলি বাস্তব জগতের সাথে সম্পর্কিত নির্দিষ্ট পরিমাণকে নির্দেশ করে - পথ, গতি এবং সময়৷

এবং ফর্মটির একটি সমীকরণ রয়েছে: 3x - 16=12x। এখানে, x ইতিমধ্যেই একটি বিমূর্ত সংখ্যা হিসাবে নেওয়া হয়েছে যা এই স্বরলিপিতে বোঝা যায়৷

পরিমাণের প্রকার

অ্যামাউন্ট মানে এমন কিছু যা একটি নির্দিষ্ট বস্তু, পদার্থ বা ঘটনার বৈশিষ্ট্য প্রকাশ করে। উদাহরণস্বরূপ, বাতাসের তাপমাত্রা, একটি প্রাণীর ওজন, ট্যাবলেটে ভিটামিনের শতাংশ - এই সমস্ত পরিমাণ যার সংখ্যাসূচক মান গণনা করা যেতে পারে।

প্রতিটি পরিমাণের পরিমাপের নিজস্ব একক রয়েছে, যেগুলো একসাথে একটি সিস্টেম গঠন করে। একে নম্বর সিস্টেম (SI) বলা হয়।

ভেরিয়েবল এবং ধ্রুবক কি? নির্দিষ্ট উদাহরণ সহ তাদের বিবেচনা করুন।

আসুন রেকটিলাইনার ইউনিফর্ম মোশন নেওয়া যাক। মহাকাশে একটি বিন্দু প্রতিবার একই গতিতে চলে। অর্থাৎ সময় ও দূরত্ব পরিবর্তন হলেও গতি একই থাকে। এই উদাহরণে, সময় এবং দূরত্ব হল পরিবর্তনশীল, এবং গতি স্থির।

অথবা, উদাহরণস্বরূপ, "pi"। এটি একটি অমূলদ সংখ্যা যা পুনরাবৃত্তি ছাড়াই চলতে থাকেঅঙ্কের একটি ক্রম এবং সম্পূর্ণরূপে লেখা যায় না, তাই গণিতে এটি একটি সাধারণভাবে গৃহীত প্রতীক দ্বারা প্রকাশ করা হয় যা শুধুমাত্র একটি প্রদত্ত অসীম ভগ্নাংশের মান নেয়। অর্থাৎ, "pi" হল একটি ধ্রুবক মান৷

ইতিহাস

ভেরিয়েবলের স্বরলিপির ইতিহাস সপ্তদশ শতাব্দীতে বিজ্ঞানী রেনে দেকার্তের সাথে শুরু হয়।

তিনি বর্ণমালার প্রথম অক্ষরগুলির সাথে পরিচিত মানগুলিকে মনোনীত করেছেন: a, b এবং তাই, এবং অজানাদের জন্য তিনি শেষ অক্ষরগুলি ব্যবহার করার পরামর্শ দিয়েছেন: x, y, z৷ এটি লক্ষণীয় যে দেকার্ত এই ধরনের ভেরিয়েবলকে অ-ঋণাত্মক সংখ্যা বলে মনে করতেন এবং যখন নেতিবাচক পরামিতিগুলির মুখোমুখি হন, তখন তিনি চলকের সামনে একটি বিয়োগ চিহ্ন রাখেন বা, যদি এটি জানা না থাকে যে সংখ্যাটি কী চিহ্ন, একটি উপবৃত্ত। কিন্তু সময়ের সাথে সাথে, ভেরিয়েবলের নামগুলি যে কোনও চিহ্নের সংখ্যা বোঝাতে শুরু করে এবং এটি গণিতবিদ জোহান হুডের সাথে শুরু হয়েছিল।

ভেরিয়েবলের সাহায্যে, গণিতে গণনাগুলি সমাধান করা সহজ, কারণ, উদাহরণস্বরূপ, আমরা এখন দ্বি-বিভক্ত সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করব? আমরা একটি ভেরিয়েবল লিখি। যেমন:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

x2 এর জন্য আমরা কিছু k নিই এবং সমীকরণটি পরিষ্কার হয়ে যায়:

x2=k, k এর জন্য ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

এটাই ভেরিয়েবলের প্রবর্তন গণিতে নিয়ে আসে।

বৈষম্য, সমাধানের উদাহরণ

একটি অসমতা এমন একটি রেকর্ড যেখানে দুটি গাণিতিক রাশি বা দুটি সংখ্যা তুলনা চিহ্ন দ্বারা সংযুক্ত থাকে:, ≦, ≧। এগুলি কঠোর এবং চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত হয় বা ≦, ≧ সহ অ-কঠোর।

প্রথমবারের মতো এই লক্ষণগুলি চালু করা হয়েছেটমাস হ্যারিয়ট। থমাসের মৃত্যুর পর, এই স্বরলিপি সহ তাঁর বই প্রকাশিত হয়েছিল, গণিতবিদরা তাদের পছন্দ করেছিলেন এবং সময়ের সাথে সাথে তারা গাণিতিক গণনায় ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়েছিল।

একক পরিবর্তনশীল বৈষম্য সমাধান করার সময় বেশ কিছু নিয়ম অনুসরণ করতে হবে:

একটি সংখ্যাকে অসমতার এক অংশ থেকে অন্য অংশে স্থানান্তর করার সময়, এর চিহ্নটি বিপরীতে পরিবর্তন করুন।
একটি অসমতার অংশগুলিকে একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করার সময়, তাদের চিহ্নগুলি বিপরীত হয়৷
আপনি যদি অসমতার উভয় দিককে একটি ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করেন বা ভাগ করেন, তাহলে আপনি আসলটির সমান একটি অসমতা পাবেন।

একটি অসমতা সমাধান করার অর্থ হল একটি ভেরিয়েবলের জন্য সমস্ত বৈধ মান খুঁজে বের করা।

একক পরিবর্তনশীল উদাহরণ:

10x - 50 > 150

আমরা এটিকে একটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণের মতো সমাধান করি - আমরা একটি ভেরিয়েবলের সাথে বাম দিকে, একটি পরিবর্তনশীল ছাড়াই - ডানে এবং অনুরূপ পদগুলি দিয়ে থাকি:

10x > 200

আমরা অসমতার উভয় দিককে 10 দ্বারা ভাগ করি এবং পাই:

x > 20

স্বচ্ছতার জন্য, একটি চলকের সাথে একটি অসমতা সমাধানের উদাহরণে, একটি সংখ্যা রেখা আঁকুন, এটিতে বিদ্ধ বিন্দু 20 চিহ্নিত করুন, যেহেতু অসমতা কঠোর, এবং এই সংখ্যাটি তার সমাধানগুলির সেটে অন্তর্ভুক্ত নয়.

এই অসমতার সমাধান হল ব্যবধান (20; +∞)।

অ-কঠোর অসমতার সমাধানটি কঠোরের মতো একইভাবে করা হয়:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

কিন্তু একটি ব্যতিক্রম আছে। x ≧ 5 ফর্মের একটি রেকর্ড নিম্নরূপ বোঝা উচিত: x পাঁচটির চেয়ে বড় বা সমান, যার অর্থপাঁচ নম্বরটি অসমতার সমস্ত সমাধানের সেটে অন্তর্ভুক্ত, অর্থাৎ, উত্তর লেখার সময়, আমরা পাঁচ নম্বরের সামনে একটি বর্গাকার বন্ধনী রাখি।

x ∈ [৫; +∞)

বর্গক্ষেত্রের অসমতা

যদি আমরা ax2 + bx +c=0 ফর্মের একটি দ্বিঘাত সমীকরণ নিই এবং এতে সমান চিহ্নটিকে অসমতা চিহ্নে পরিবর্তন করি, তাহলে আমরা সেই অনুযায়ী একটি পাব দ্বিঘাত অসমতা।

একটি দ্বিঘাত অসমতা সমাধান করতে, আপনাকে দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে।

y=ax2 + bx + c একটি দ্বিঘাত ফাংশন। আমরা বৈষম্যকারী ব্যবহার করে বা ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে এটি সমাধান করতে পারি। এই সমীকরণগুলি কীভাবে সমাধান করা হয় তা স্মরণ করুন:

1) y=x2 + 12x + 11 - ফাংশনটি একটি প্যারাবোলা। এর শাখাগুলি উপরের দিকে পরিচালিত হয়, যেহেতু সহগ "a" এর চিহ্নটি ধনাত্মক৷

2) x2 + 12x + 11=0 - শূন্যের সমান এবং বৈষম্যকারী ব্যবহার করে সমাধান করুন।

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 মূল

চতুর্ভুজ সমীকরণের মূলের সূত্র অনুসারে আমরা পাই:

x₁ =-1, x_2=-11

অথবা আপনি ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারেন:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x_1x2 _{=c/a, x}1x₂ =11

নির্বাচন পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা সমীকরণের একই মূল পাই।

প্যারাবোলা

সুতরাং, দ্বিঘাত অসমতা সমাধানের প্রথম উপায় হল একটি প্যারাবোলা। এটি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম নিম্নরূপ:

1. প্যারাবোলার শাখাগুলি কোথায় নির্দেশিত তা নির্ধারণ করুন।

2.ফাংশনটিকে শূন্যে সমান করুন এবং সমীকরণের মূল খুঁজুন।

৩. আমরা একটি সংখ্যারেখা তৈরি করি, এর উপর শিকড়গুলি চিহ্নিত করি, একটি প্যারাবোলা আঁকি এবং অসমতার চিহ্নের উপর নির্ভর করে আমাদের প্রয়োজনীয় ব্যবধান খুঁজে বের করি।

বৈষম্য সমাধান করুন x2 + x - 12 > 0

একটি ফাংশন হিসাবে লিখুন:

1) y=x2 + x - 12 - প্যারাবোলা, শাখা উপরে।

শূন্যে সেট করুন।

2) x2 + x -12=0

পরবর্তী, আমরা একটি দ্বিঘাত সমীকরণ হিসাবে সমাধান করি এবং ফাংশনের শূন্য খুঁজে বের করি:

x₁ =3, x_2=-4

3) 3 এবং -4 পয়েন্ট সহ একটি সংখ্যা রেখা আঁকুন। প্যারাবোলা তাদের মধ্য দিয়ে যাবে, শাখা-প্রশাখার উপরে এবং অসমতার উত্তর হবে ইতিবাচক মানগুলির একটি সেট, অর্থাৎ (-∞; -4), (3; +∞)।

ব্যবধান পদ্ধতি

দ্বিতীয় উপায় হল স্পেসিং পদ্ধতি। এটি সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম:

1. যে সমীকরণের জন্য অসমতা শূন্যের সমান তার মূল খুঁজুন।

2. আমরা তাদের সংখ্যা লাইনে চিহ্নিত করি। এইভাবে, এটি কয়েকটি ব্যবধানে বিভক্ত।

৩. যেকোনো ব্যবধানের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

৪. আমরা অবশিষ্ট বিরতিতে চিহ্ন রাখি, একের পর এক পরিবর্তন করি।

অসমতা সমাধান করুন (x - 4)(x - 5)(x + 7) ≦ 0

1) অসমতা শূন্য: 4, 5 এবং -7।

2) নম্বর রেখায় আঁকুন।

3) ব্যবধানের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

উত্তর: (-∞; -7]; [4; 5]।

আরো একটি অসমতার সমাধান করুন: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. অসমতা শূন্য: 0, 2, -2 এবং 1.

2. নম্বর লাইনে তাদের চিহ্নিত করুন।

৩.ব্যবধানের চিহ্ন নির্ধারণ করুন।

রেখাটি ব্যবধানে বিভক্ত - -2 থেকে 0, 0 থেকে 1, 1 থেকে 2 পর্যন্ত।

প্রথম ব্যবধানে মানটি নিন - (-1)। বৈষম্য মধ্যে প্রতিস্থাপন. এই মানের সাথে, অসমতা ধনাত্মক হয়ে যায়, যার মানে এই ব্যবধানের চিহ্নটি হবে +.

আরও, প্রথম ফাঁক থেকে শুরু করে, আমরা চিহ্নগুলিকে সাজিয়ে রাখি, একের পর এক পরিবর্তন করি৷

বৈষম্য শূন্যের চেয়ে বেশি, অর্থাৎ, আপনাকে লাইনে ইতিবাচক মানের একটি সেট খুঁজে বের করতে হবে।

উত্তর: (-2; 0), (1; 2)।

সমীকরণের সিস্টেম

দুটি ভেরিয়েবল সহ সমীকরণের একটি সিস্টেম হল দুটি সমীকরণ যা একটি কোঁকড়া বন্ধনী দ্বারা যুক্ত যার জন্য একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের করা প্রয়োজন৷

সিস্টেম সমতুল্য হতে পারে যদি তাদের একটির সাধারণ সমাধান অন্যটির সমাধান হয়, অথবা উভয়েরই কোনো সমাধান না থাকে।

আমরা দুটি ভেরিয়েবল সহ সমীকরণের সিস্টেমের সমাধান অধ্যয়ন করব। তাদের সমাধান করার দুটি উপায় আছে - প্রতিস্থাপন পদ্ধতি বা বীজগণিত পদ্ধতি।

বীজগণিত পদ্ধতি

এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে ছবিতে দেখানো সিস্টেমটি সমাধান করতে, আপনাকে প্রথমে এর একটি অংশকে এমন একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে, যাতে পরে আপনি সমীকরণের উভয় অংশ থেকে একটি চলককে পারস্পরিকভাবে বাতিল করতে পারেন। এখানে আমরা তিনটি দ্বারা গুণ করি, সিস্টেমের নীচে একটি রেখা আঁক এবং এর অংশগুলি যোগ করি। ফলস্বরূপ, x মডুলাসে অভিন্ন, কিন্তু চিহ্নের বিপরীতে, এবং আমরা সেগুলিকে হ্রাস করি। এর পরে, আমরা একটি চলকের সাথে একটি রৈখিক সমীকরণ পাই এবং এটি সমাধান করি।

আমরা Y পেয়েছি, কিন্তু আমরা সেখানে থামতে পারি না, কারণ আমরা এখনও X খুঁজে পাইনি। বিকল্পY যে অংশ থেকে X প্রত্যাহার করা সুবিধাজনক হবে, উদাহরণস্বরূপ:

-x + 5y=8, y=1 সহ

-x + 5=8

ফলিত সমীকরণটি সমাধান করুন এবং x খুঁজুন।

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

ব্যবস্থার সমাধানের মূল বিষয় হল উত্তরটি সঠিকভাবে লেখা। অনেক শিক্ষার্থী লিখতে ভুল করে:

উত্তর: -3, 1.

কিন্তু এটি একটি ভুল এন্ট্রি। সর্বোপরি, ইতিমধ্যে উপরে উল্লিখিত হিসাবে, সমীকরণের একটি সিস্টেম সমাধান করার সময়, আমরা এর অংশগুলির জন্য একটি সাধারণ সমাধান খুঁজছি। সঠিক উত্তর হবে:

(-3; 1)