এমনকি স্কুলেও, সমস্ত ছাত্ররা "ইউক্লিডীয় জ্যামিতি" ধারণার সাথে পরিচিত হয়, যার প্রধান বিধানগুলি বিন্দু, সমতল, রেখা, গতির মতো জ্যামিতিক উপাদানগুলির উপর ভিত্তি করে বেশ কয়েকটি স্বতঃসিদ্ধকে কেন্দ্র করে। এরা সবাই মিলে যা "ইউক্লিডিয়ান স্পেস" শব্দের অধীনে দীর্ঘদিন ধরে পরিচিত তা গঠন করে।
ইউক্লিডীয় স্থান, যার সংজ্ঞা ভেক্টরের স্কেলার গুণনের ধারণার উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, এটি একটি রৈখিক (অ্যাফাইন) স্থানের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে যা অনেকগুলি প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে। প্রথমত, ভেক্টরের স্কেলার গুণফল একেবারে প্রতিসম, অর্থাৎ স্থানাঙ্ক (x;y) সহ ভেক্টরটি স্থানাঙ্ক (y;x) সহ ভেক্টরের সাথে পরিমাণগতভাবে অভিন্ন, কিন্তু দিক থেকে বিপরীত।
দ্বিতীয়ত, যদি একটি ভেক্টরের স্কেলার গুণফল নিজের সাথে সঞ্চালিত হয়, তাহলে এই ক্রিয়ার ফলাফল ইতিবাচক হবে। একমাত্র ব্যতিক্রমটি হবে যখন এই ভেক্টরের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত স্থানাঙ্কগুলি শূন্যের সমান: এই ক্ষেত্রে, নিজের সাথে এর গুণফলও শূন্যের সমান হবে৷
তৃতীয়ত, স্কেলার পণ্যটি বিতরণমূলক, অর্থাৎ, এটির একটি স্থানাঙ্ক দুটি মানের সমষ্টিতে পচন করা সম্ভব, যা ভেক্টরগুলির স্কেলার গুণনের চূড়ান্ত ফলাফলে কোনও পরিবর্তন আনবে না। অবশেষে, চতুর্থত, যখন ভেক্টরকে একই বাস্তব সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন তাদের স্কেলার গুণফলও একই গুণনীয়ক দ্বারা বৃদ্ধি পাবে।
যদি এই চারটি শর্ত পূরণ করা হয়, আমরা আত্মবিশ্বাসের সাথে বলতে পারি যে আমাদের একটি ইউক্লিডীয় স্থান আছে।
ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে ইউক্লিডীয় স্থান নিম্নলিখিত নির্দিষ্ট উদাহরণ দ্বারা চিহ্নিত করা যেতে পারে:
- সরলতম ক্ষেত্রে জ্যামিতির মৌলিক নিয়ম অনুসারে সংজ্ঞায়িত একটি স্কেলার পণ্য সহ ভেক্টরের একটি সেটের উপস্থিতি।
- ইউক্লিডীয় স্থানও প্রাপ্ত হবে যদি আমরা ভেক্টর দ্বারা বাস্তব সংখ্যার একটি নির্দিষ্ট সসীম সেট বোঝায় একটি নির্দিষ্ট সূত্র সহ তাদের স্কেলার যোগফল বা গুণফল বর্ণনা করে।
- ইউক্লিডীয় স্থানের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে তথাকথিত শূন্য স্থান, যেটি পাওয়া যায় যদি উভয় ভেক্টরের স্কেলার দৈর্ঘ্য শূন্যের সমান হয়।
ইউক্লিডীয় স্থানের বেশ কয়েকটি নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে। প্রথমত, স্কেলার ফ্যাক্টরটিকে স্কেলার পণ্যের প্রথম এবং দ্বিতীয় উভয় ফ্যাক্টর থেকে বন্ধনী থেকে বের করে নেওয়া যেতে পারে, এর ফলাফল কোনভাবেই পরিবর্তিত হবে না। দ্বিতীয়ত, স্কেলারের প্রথম উপাদানের বন্টন সহপণ্য, দ্বিতীয় উপাদানের বন্টনও কাজ করে। উপরন্তু, ভেক্টরের স্কেলার যোগফল ছাড়াও, ভেক্টর বিয়োগের ক্ষেত্রে বন্টনও ঘটে। অবশেষে, তৃতীয়ত, যখন একটি ভেক্টরকে শূন্য দিয়ে গুণ করা হয়, ফলাফলও শূন্য হবে।
এইভাবে, ইউক্লিডীয় স্থান হল সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ জ্যামিতিক ধারণা যা একে অপরের সাপেক্ষে ভেক্টরগুলির পারস্পরিক বিন্যাসের সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়, যা স্কেলার পণ্যের মতো একটি ধারণা দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
