পাটিগণিত কি? মানবতা কখন সংখ্যা ব্যবহার শুরু করে এবং তাদের সাথে কাজ করে? সংখ্যা, ভগ্নাংশ, বিয়োগ, যোগ এবং গুণের মতো দৈনন্দিন ধারণাগুলির শিকড়গুলি কোথায় যায়, যা একজন ব্যক্তি তার জীবনের এবং বিশ্বদর্শনের অবিচ্ছেদ্য অংশ করে তুলেছে? প্রাচীন গ্রীক মন গণিত, পাটিগণিত এবং জ্যামিতির মতো বিজ্ঞানকে মানুষের যুক্তিবিদ্যার সবচেয়ে সুন্দর সিম্ফনি হিসাবে প্রশংসা করত।
হয়ত পাটিগণিত অন্যান্য বিজ্ঞানের মতো গভীর নয়, তবে যদি একজন ব্যক্তি প্রাথমিক গুণন সারণী ভুলে যায় তবে তাদের কী হবে? সংখ্যা, ভগ্নাংশ এবং অন্যান্য সরঞ্জাম ব্যবহার করে আমাদের অভ্যাসগত যৌক্তিক চিন্তাভাবনা মানুষের পক্ষে সহজ ছিল না এবং দীর্ঘকাল ধরে আমাদের পূর্বপুরুষদের কাছে অ্যাক্সেসযোগ্য ছিল না। প্রকৃতপক্ষে, পাটিগণিতের বিকাশের আগে, মানুষের জ্ঞানের কোনো ক্ষেত্রই প্রকৃতপক্ষে বৈজ্ঞানিক ছিল না।
পাটিগণিত হল গণিতের ABC
পাটিগণিত হল সংখ্যার বিজ্ঞান, যার সাহায্যে যেকোনো ব্যক্তি গণিতের আকর্ষণীয় জগতের সাথে পরিচিত হতে শুরু করে। এম.ভি. লোমোনোসভ যেমন বলেছেন, পাটিগণিত হল শিক্ষার দ্বার, যা আমাদের জন্য বিশ্ব জ্ঞানের পথ খুলে দেয়। কিন্তু সে ঠিকপৃথিবীর জ্ঞানকে কি সংখ্যা ও অক্ষর, গণিত ও বক্তৃতা জ্ঞান থেকে আলাদা করা যায়? সম্ভবত পুরানো দিনে, কিন্তু আধুনিক বিশ্বে নয়, যেখানে বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির দ্রুত বিকাশ তার নিজস্ব আইন নির্দেশ করে৷
গ্রীক উত্সের "পাটিগণিত" (গ্রীক "অ্যারিথমোস") শব্দের অর্থ "সংখ্যা"। তিনি সংখ্যা এবং তাদের সাথে সংযুক্ত হতে পারে এমন সবকিছু অধ্যয়ন করেন। এটি হল সংখ্যার জগত: সংখ্যার বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ, সংখ্যার নিয়ম, গুণ, বিয়োগ ইত্যাদির সাথে সম্পর্কিত সমস্যাগুলি সমাধান করা।
এটি সাধারণত গৃহীত হয় যে পাটিগণিত হল গণিতের প্রাথমিক ধাপ এবং এর আরও জটিল বিভাগ যেমন বীজগণিত, গাণিতিক বিশ্লেষণ, উচ্চতর গণিত ইত্যাদির জন্য একটি শক্ত ভিত্তি।
পাটিগণিতের প্রধান বস্তু
পাটিগণিতের ভিত্তি হল একটি পূর্ণসংখ্যা, যার বৈশিষ্ট্য এবং প্যাটার্নগুলি উচ্চতর পাটিগণিত বা সংখ্যা তত্ত্বে বিবেচনা করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, পুরো বিল্ডিংয়ের শক্তি - গণিত - প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে এত ছোট ব্লক বিবেচনা করার পদ্ধতিটি কতটা সঠিক তার উপর নির্ভর করে৷
অতএব, পাটিগণিত কী সেই প্রশ্নের উত্তর সহজভাবে দেওয়া যেতে পারে: এটি সংখ্যার বিজ্ঞান। হ্যাঁ, সাধারণ সাত, নয় এবং এই সমস্ত বৈচিত্র্যময় সম্প্রদায় সম্পর্কে। এবং আপনি যেমন প্রাথমিক বর্ণমালা ছাড়া ভাল বা এমনকি সবচেয়ে মাঝারি কবিতা লিখতে পারবেন না, তেমনি আপনি পাটিগণিত ছাড়া একটি প্রাথমিক সমস্যাও সমাধান করতে পারবেন না। এই কারণেই সমস্ত বিজ্ঞান কেবলমাত্র পাটিগণিত এবং গণিতের বিকাশের পরেই অগ্রসর হয়েছিল, তার আগে কেবলমাত্র অনুমানের একটি সেট।
পাটিগণিত একটি অসাধারন বিজ্ঞান
পাটিগণিত কি - প্রাকৃতিক বিজ্ঞান নাকি ফ্যান্টম? প্রকৃতপক্ষে, প্রাচীন গ্রীক দার্শনিকরা যেমন যুক্তি দিয়েছিলেন, বাস্তবে সংখ্যা বা পরিসংখ্যান নেই। এটি কেবল একটি ফ্যান্টম যা মানুষের চিন্তাভাবনায় তৈরি হয় যখন তার প্রক্রিয়াগুলির সাথে পরিবেশ বিবেচনা করে। প্রকৃতপক্ষে, একটি সংখ্যা কি? আশেপাশে আমরা এমন কিছু দেখি না যেটিকে একটি সংখ্যা বলা যেতে পারে, বরং একটি সংখ্যা হল বিশ্ব অধ্যয়নের জন্য মানুষের মনের একটি উপায়। নাকি ভিতর থেকে নিজেদের অধ্যয়ন করা হতে পারে? দার্শনিকরা বহু শতাব্দী ধরে এই বিষয়ে তর্ক করে আসছেন, তাই আমরা একটি সম্পূর্ণ উত্তর দেওয়ার উদ্যোগ নিই না। কোন না কোন উপায়ে, পাটিগণিত এতটাই দৃঢ়ভাবে তার স্থান দখল করতে পেরেছে যে আধুনিক বিশ্বে এর মৌলিক বিষয়গুলো না জেনে কাউকে সামাজিকভাবে অভিযোজিত হিসেবে বিবেচনা করা যায় না।
প্রাকৃতিক সংখ্যা কীভাবে উপস্থিত হয়েছিল
অবশ্যই, পাটিগণিত যে প্রধান বস্তুর উপর কাজ করে তা হল একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা, যেমন 1, 2, 3, 4, …, 152… ইত্যাদি। প্রাকৃতিক সংখ্যার পাটিগণিত হল একটি তৃণভূমিতে গরুর মতো সাধারণ বস্তু গণনার ফলাফল। তবুও, "অনেক" বা "সামান্য" এর সংজ্ঞা একবার মানুষের সাথে মানানসই হওয়া বন্ধ করে দেয়, এবং তাদের আরও উন্নত গণনা কৌশল উদ্ভাবন করতে হয়েছিল৷
কিন্তু আসল অগ্রগতি ঘটে যখন মানুষের চিন্তা এই পর্যায়ে পৌঁছে যে 2 কিলোগ্রাম, এবং 2টি ইট এবং 2টি অংশকে একই সংখ্যা "দুই" দিয়ে চিহ্নিত করা সম্ভব। আসল বিষয়টি হ'ল আপনাকে অবজেক্টের ফর্ম, বৈশিষ্ট্য এবং অর্থ থেকে বিমূর্ত করতে হবে, তারপরে আপনি প্রাকৃতিক সংখ্যার আকারে এই বস্তুগুলির সাথে কিছু ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারেন। এইভাবে সংখ্যার পাটিগণিতের জন্ম হয়েছিল, যাআরও বিকশিত এবং প্রসারিত, সমাজের জীবনে আরও বড় অবস্থান দখল করে।
শূন্য এবং ঋণাত্মক সংখ্যা, ভগ্নাংশ, সংখ্যা দ্বারা সংখ্যার উপাধি এবং অন্যান্য উপায়ে সংখ্যার এই ধরনের গভীর ধারণাগুলির বিকাশের একটি সমৃদ্ধ এবং আকর্ষণীয় ইতিহাস রয়েছে৷
পাটিগণিত এবং ব্যবহারিক মিশরীয়
আমাদের চারপাশের পৃথিবী অন্বেষণ এবং দৈনন্দিন সমস্যা সমাধানের দুটি প্রাচীনতম মানব সঙ্গী হল পাটিগণিত এবং জ্যামিতি৷
এটি বিশ্বাস করা হয় যে পাটিগণিতের ইতিহাস প্রাচীন প্রাচ্যে উদ্ভূত হয়েছিল: ভারত, মিশর, ব্যাবিলন এবং চীনে। এইভাবে, মিশরীয় বংশোদ্ভূত রিন্ডা প্যাপিরাস (এটি নামকরণ করা হয়েছে কারণ এটি একই নামের মালিকের ছিল), যা 20 শতকের আগে। BC, অন্যান্য মূল্যবান তথ্য ছাড়াও, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের সমষ্টিতে একটি ভগ্নাংশের বিস্তৃতি এবং একটি লবের সমান।
উদাহরণস্বরূপ: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
কিন্তু এত জটিল পচনের মানে কি? আসল বিষয়টি হ'ল মিশরীয় পদ্ধতিটি সংখ্যা সম্পর্কে বিমূর্ত চিন্তাভাবনা সহ্য করেনি, বিপরীতে, গণনাগুলি কেবলমাত্র ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে তৈরি করা হয়েছিল। অর্থাৎ, মিশরীয় গণনার মতো একটি জিনিসে নিযুক্ত হবে, শুধুমাত্র একটি সমাধি নির্মাণের জন্য, উদাহরণস্বরূপ। কাঠামোর প্রান্তের দৈর্ঘ্য গণনা করা প্রয়োজন ছিল এবং এটি একজন ব্যক্তিকে প্যাপিরাসের পিছনে বসতে বাধ্য করেছিল। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, গণনার ক্ষেত্রে মিশরীয়দের অগ্রগতি বিজ্ঞানের প্রতি ভালোবাসার চেয়ে বরং ব্যাপক নির্মাণের কারণে হয়েছিল।
এই কারণে, প্যাপিরিতে পাওয়া গণনাগুলিকে ভগ্নাংশের বিষয়ে প্রতিফলন বলা যায় না। সম্ভবত, এটি একটি ব্যবহারিক প্রস্তুতি যা ভবিষ্যতে সাহায্য করবে।ভগ্নাংশ দিয়ে সমস্যার সমাধান করুন। প্রাচীন মিশরীয়রা, যারা গুণের সারণী জানত না, তারা বরং দীর্ঘ গণনা করেছিল, অনেকগুলি উপকাজে পচন ধরেছিল। সম্ভবত এই সাবটাস্ক এক. এটা দেখতে সহজ যে এই ধরনের ওয়ার্কপিসগুলির সাথে গণনাগুলি খুব শ্রমসাধ্য এবং অপ্রত্যাশিত। হয়তো এই কারণেই আমরা গণিতের বিকাশে প্রাচীন মিশরের বিরাট অবদান দেখতে পাই না।
প্রাচীন গ্রীস এবং দার্শনিক পাটিগণিত
প্রাচ্যের অনেক জ্ঞান প্রাচীন গ্রীকদের দ্বারা সফলভাবে আয়ত্ত করা হয়েছিল, বিমূর্ত, বিমূর্ত এবং দার্শনিক প্রতিফলনের বিখ্যাত প্রেমিকরা। তারা অনুশীলনে কম আগ্রহী ছিল না, তবে সেরা তাত্ত্বিক এবং চিন্তাবিদ খুঁজে পাওয়া কঠিন। এটি বিজ্ঞানকে উপকৃত করেছে, যেহেতু এটি বাস্তবতা থেকে বিচ্ছিন্ন না হয়ে পাটিগণিতের মধ্যে অনুসন্ধান করা অসম্ভব। অবশ্যই, আপনি 10টি গাভী এবং 100 লিটার দুধ গুন করতে পারেন, কিন্তু আপনি খুব বেশি দূরে যেতে পারবেন না।
গভীর চিন্তাশীল গ্রীকরা ইতিহাসে একটি উল্লেখযোগ্য চিহ্ন রেখে গেছেন এবং তাদের লেখা আমাদের কাছে এসেছে:
- ইউক্লিড এবং উপাদান।
- পিথাগোরাস।
- আর্কিমিডিস।
- Eratosthenes.
- জেনো।
- আনাক্সাগোরাস।
এবং, অবশ্যই, গ্রীকরা, যারা সবকিছুকে দর্শনে পরিণত করেছিল, এবং বিশেষ করে পিথাগোরাসের কাজের উত্তরসূরিরা, সংখ্যার দ্বারা এতটাই মুগ্ধ হয়েছিল যে তারা তাদের বিশ্বের সামঞ্জস্যের রহস্য হিসাবে বিবেচনা করেছিল। সংখ্যাগুলি এত পরিমাণে অধ্যয়ন এবং গবেষণা করা হয়েছে যে তাদের কিছু এবং তাদের জোড়াকে বিশেষ বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করা হয়েছে। যেমন:
- নিখুঁত সংখ্যা হল সেগুলি যেগুলি তাদের সমস্ত ভাজকের যোগফলের সমান, সংখ্যাটি ছাড়া (6=1+2+3)।
- বন্ধুত্বপূর্ণ নম্বর হল সেই নম্বরগুলি, যার মধ্যে একটি৷দ্বিতীয়টির সমস্ত ভাজকের যোগফলের সমান এবং এর বিপরীতে (পিথাগোরিয়ানরা এই ধরনের একটি জোড়াই জানত: 220 এবং 284)।
গ্রীকরা, যারা বিশ্বাস করতেন যে বিজ্ঞানকে ভালবাসতে হবে এবং লাভের জন্য এর সাথে থাকবেন না, তারা অন্বেষণ, খেলা এবং সংখ্যা যোগ করে দুর্দান্ত সাফল্য অর্জন করেছিলেন। এটি উল্লেখ করা উচিত যে তাদের সমস্ত গবেষণা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় নি, তাদের মধ্যে কিছু শুধুমাত্র "সৌন্দর্যের জন্য" রয়ে গেছে।
মধ্যযুগের প্রাচ্য চিন্তাবিদ
একইভাবে, মধ্যযুগে, পাটিগণিত তার বিকাশকে প্রাচ্যের সমসাময়িকদের কাছে ঋণী করে। ভারতীয়রা আমাদের সেই সংখ্যাগুলি দিয়েছে যা আমরা সক্রিয়ভাবে ব্যবহার করি, যেমন একটি ধারণা "শূন্য", এবং ক্যালকুলাসের অবস্থানগত সংস্করণ, যা আধুনিক উপলব্ধির সাথে পরিচিত। আল-কাশি থেকে, যিনি 15 শতকে সমরকন্দে কাজ করেছিলেন, আমরা উত্তরাধিকার সূত্রে দশমিক ভগ্নাংশ পেয়েছি, যা ছাড়া আধুনিক পাটিগণিত কল্পনা করা কঠিন।
অনেক উপায়ে, ইতালীয় বিজ্ঞানী লিওনার্দো ফিবোনাচির কাজের জন্য প্রাচ্যের সাফল্যের সাথে ইউরোপের পরিচিতি সম্ভব হয়েছিল, যিনি "দ্য বুক অফ দ্য অ্যাবাকাস" রচনাটি লিখেছেন, প্রাচ্যের উদ্ভাবনগুলি প্রবর্তন করেছিলেন। এটি ইউরোপে বীজগণিত এবং পাটিগণিত, গবেষণা এবং বৈজ্ঞানিক কার্যক্রমের বিকাশের ভিত্তি হয়ে উঠেছে।
রাশিয়ান পাটিগণিত
এবং, অবশেষে, পাটিগণিত, যা তার স্থান খুঁজে পেয়েছিল এবং ইউরোপে শিকড় গেড়েছিল, রাশিয়ান ভূমিতে ছড়িয়ে পড়তে শুরু করেছিল। প্রথম রাশিয়ান পাটিগণিত 1703 সালে প্রকাশিত হয়েছিল - এটি লিওন্টি ম্যাগনিটস্কির গাণিতিক সম্পর্কে একটি বই ছিল। দীর্ঘকাল ধরে এটি গণিতের একমাত্র পাঠ্যপুস্তক ছিল। এতে বীজগণিত এবং জ্যামিতির প্রাথমিক মুহূর্ত রয়েছে।রাশিয়ার প্রথম পাটিগণিত পাঠ্যপুস্তকের উদাহরণগুলিতে ব্যবহৃত সংখ্যাগুলি আরবি। যদিও আরবি সংখ্যাগুলি আগে দেখা গেছে, 17 শতকের খোদাইতে।
বইটি নিজেই আর্কিমিডিস এবং পিথাগোরাসের ছবি দিয়ে সজ্জিত, এবং প্রথম শীটে - একজন মহিলার আকারে পাটিগণিতের চিত্র। তিনি একটি সিংহাসনে বসেন, তার নীচে হিব্রু ভাষায় ঈশ্বরের নাম নির্দেশ করে একটি শব্দ লেখা রয়েছে এবং সিংহাসনের দিকে নিয়ে যাওয়া ধাপগুলিতে "বিভাগ", "গুণ", "সংযোজন" ইত্যাদি শব্দগুলি খোদাই করা আছে। যেগুলি এখন সাধারণ হিসাবে বিবেচিত হয়৷
একটি 600-পৃষ্ঠার পাঠ্যপুস্তক ন্যাভিগেশনাল সায়েন্সে যোগ এবং গুণন সারণী এবং অ্যাপ্লিকেশনের মতো মৌলিক বিষয়গুলিকে কভার করে৷
এটা আশ্চর্যের কিছু নয় যে লেখক তার বইয়ের জন্য গ্রীক চিন্তাবিদদের ছবি বেছে নিয়েছিলেন, কারণ তিনি নিজেই পাটিগণিতের সৌন্দর্যে বিমোহিত হয়েছিলেন, বলেছিলেন: "পাটিগণিত হল অংক, সেখানে শিল্প সৎ, অপ্রতিরোধ্য …". পাটিগণিতের এই পদ্ধতিটি বেশ ন্যায্য, কারণ এটি এর ব্যাপক প্রবর্তন যা রাশিয়ায় বৈজ্ঞানিক চিন্তাধারা এবং সাধারণ শিক্ষার দ্রুত বিকাশের সূচনা বলে বিবেচিত হতে পারে।
আনপ্রাইম প্রাইমস
একটি মৌলিক সংখ্যা হল একটি স্বাভাবিক সংখ্যা যার মাত্র 2টি ধনাত্মক ভাজক রয়েছে: 1 এবং নিজেই। 1 ছাড়া বাকি সব সংখ্যাকে যৌগিক বলা হয়। মৌলিক সংখ্যার উদাহরণ: 2, 3, 5, 7, 11, এবং অন্যান্য সমস্ত যেগুলির 1 এবং নিজেই ছাড়া অন্য কোন ভাজক নেই।
1 নম্বরের জন্য, এটি একটি বিশেষ অ্যাকাউন্টে রয়েছে - একটি চুক্তি রয়েছে যে এটিকে সহজ বা যৌগিক নয় বলে বিবেচনা করা উচিত।প্রথম নজরে সহজ, একটি সাধারণ সংখ্যা নিজের মধ্যে অনেক অমীমাংসিত রহস্য লুকিয়ে রাখে।
ইউক্লিডের উপপাদ্য বলে যে মৌলিক সংখ্যার অসীম সংখ্যা রয়েছে, এবং ইরাটোস্থেনিস একটি বিশেষ পাটিগণিত "চালনী" আবিষ্কার করেছিলেন যা অ-প্রাথমিক সংখ্যাগুলিকে সরিয়ে দেয়, শুধুমাত্র সাধারণ সংখ্যাগুলিকে রেখে দেয়।
এর সারমর্ম হল প্রথম নন-ক্রস আউট সংখ্যাকে আন্ডারলাইন করা এবং পরবর্তীতে এর গুণিতকগুলিকে ক্রস আউট করা। আমরা এই পদ্ধতিটি বহুবার পুনরাবৃত্তি করি - এবং আমরা মৌলিক সংখ্যার একটি সারণী পাই৷
পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য
মৌলিক সংখ্যা সম্পর্কে পর্যবেক্ষণের মধ্যে, পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য একটি বিশেষ উপায়ে উল্লেখ করা উচিত।
পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্যটি বলে যে 1 এর চেয়ে বড় যেকোন পূর্ণসংখ্যা হয় মৌলিক, অথবা এটি উপাদানগুলির ক্রম পর্যন্ত এবং একটি অনন্য উপায়ে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসাবে বিভক্ত হতে পারে।
পাটিগণিতের মূল উপপাদ্যটি বরং কষ্টকর প্রমাণিত হয়েছে, এবং এটি বোঝা আর সহজতম মৌলিক বিষয়গুলির মতো দেখায় না৷
প্রথম নজরে, মৌলিক সংখ্যা একটি প্রাথমিক ধারণা, কিন্তু তা নয়। পদার্থবিজ্ঞানও একবার পরমাণুকে প্রাথমিক হিসাবে বিবেচনা করেছিল, যতক্ষণ না এটি এর ভিতরে পুরো মহাবিশ্ব খুঁজে পায়। গণিতবিদ ডন জাগিরের একটি দুর্দান্ত গল্প "দ্য ফার্স্ট ফিফটি মিলিয়ন প্রাইমস" মৌলিক সংখ্যার জন্য উত্সর্গীকৃত৷
"তিনটি আপেল" থেকে কর্তনমূলক আইন পর্যন্ত
যাকে সত্যিকার অর্থে সমস্ত বিজ্ঞানের শক্তিশালী ভিত্তি বলা যেতে পারে তা হল পাটিগণিতের নিয়ম। এমনকি শৈশবেও, সবাই পাটিগণিতের মুখোমুখি হয়, পুতুলের পা এবং বাহুগুলির সংখ্যা অধ্যয়ন করে,কিউব, আপেল ইত্যাদির সংখ্যা। এভাবেই আমরা পাটিগণিত অধ্যয়ন করি, যা পরে আরও জটিল নিয়মে চলে যায়।
আমাদের সমস্ত জীবন পাটিগণিতের নিয়মগুলির সাথে আমাদের পরিচিত করে, যা সাধারণ মানুষের জন্য বিজ্ঞান যা দেয় তার মধ্যে সবচেয়ে দরকারী হয়ে উঠেছে। সংখ্যার অধ্যয়ন হল "পাটিগণিত-শিশু", যা শৈশবে সংখ্যার আকারে একজন ব্যক্তিকে সংখ্যার জগতে পরিচয় করিয়ে দেয়।
উচ্চতর পাটিগণিত হল একটি ডিডাক্টিভ বিজ্ঞান যা পাটিগণিতের নিয়ম অধ্যয়ন করে। আমরা তাদের বেশিরভাগই জানি, যদিও আমরা তাদের সঠিক শব্দটি জানি না৷
যোগ ও গুণের নিয়ম
দুটি যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা a এবং b একটি যোগফল a+b হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেটি একটি স্বাভাবিক সংখ্যাও হবে। নিম্নলিখিত আইন যোগ করার জন্য প্রযোজ্য:
- কমিউটেটিভ, যা বলে যে যোগফল পদের পুনর্বিন্যাস বা a+b=b+a থেকে পরিবর্তিত হয় না।
- অ্যাসোসিয়েটিভ, যা বলে যে যোগফল পদগুলি যেভাবে জায়গায় গোষ্ঠীবদ্ধ হয়েছে তার উপর নির্ভর করে না, বা a+(b+c)=(a+ b)+ c.
সংযোজনের মতো পাটিগণিতের নিয়মগুলি সবচেয়ে প্রাথমিক, তবে সেগুলি সমস্ত বিজ্ঞানের দ্বারা ব্যবহৃত হয়, দৈনন্দিন জীবনের উল্লেখ না করে৷
দুটি যেকোন স্বাভাবিক সংখ্যা a এবং b কে একটি গুণফল ab বা ab হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাও। যোগ করার জন্য পণ্যের ক্ষেত্রে একই পরিবর্তনমূলক এবং সহযোগী আইন প্রযোজ্য:
- ab=ba;
- a(bc)=(ab) c.
আমি ভাবছিযে একটি আইন আছে যা যোগ এবং গুণকে একত্রিত করে, এটিকে বণ্টনমূলক বা বন্টনমূলক আইনও বলা হয়:
a(b+c)=ab+ac
এই আইনটি আসলে আমাদেরকে তাদের প্রসারিত করে বন্ধনীর সাথে কাজ করতে শেখায়, এইভাবে আমরা আরও জটিল সূত্রের সাথে কাজ করতে পারি। এই হল সেই আইন যা বীজগণিতের উদ্ভট এবং জটিল জগতের মধ্য দিয়ে আমাদের পথ দেখাবে৷
পাটিগণিতের নিয়ম
শৃংখলা আইন মানুষের যুক্তি দ্বারা প্রতিদিন ব্যবহার করা হয়, ঘড়ি তুলনা এবং ব্যাঙ্কনোট গণনা. এবং, তবুও, এটি নির্দিষ্ট ফর্মুলেশন আকারে আনুষ্ঠানিক করা প্রয়োজন।
যদি আমাদের দুটি স্বাভাবিক সংখ্যা a এবং b থাকে, তাহলে নিম্নলিখিত বিকল্পগুলি সম্ভব:
- a সমান b, অথবা a=b;
- a b এর থেকে কম, অথবা a < b;
- a b এর থেকে বড়, অথবা একটি > b.
তিনটি বিকল্পের মধ্যে, শুধুমাত্র একটি ন্যায্য হতে পারে। মৌলিক আইন যা আদেশ নিয়ন্ত্রণ করে: যদি a < b এবং b < c, তাহলে a< c.
গুণ এবং যোগ করার ক্রম সম্পর্কিত আইনও রয়েছে: যদি a< হয় b, তাহলে a + c < b+c এবং ac< bc।
পাটিগণিতের নিয়ম আমাদেরকে সংখ্যা, চিহ্ন এবং বন্ধনী নিয়ে কাজ করতে শেখায়, সবকিছুকে সংখ্যার সুরেলা সিম্ফনিতে পরিণত করে।
পজিশনাল এবং নন-পজিশনাল ক্যালকুলাস
এটা বলা যেতে পারে যে সংখ্যাগুলি একটি গাণিতিক ভাষা, যার সুবিধার উপর অনেক কিছু নির্ভর করে। অনেক সংখ্যা পদ্ধতি আছে, যেগুলো বিভিন্ন ভাষার বর্ণমালার মতো একে অপরের থেকে আলাদা।
আসুন পরিমাণগত মানের উপর অবস্থানের প্রভাবের দৃষ্টিকোণ থেকে সংখ্যা পদ্ধতি বিবেচনা করা যাকএই অবস্থানে সংখ্যা। সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, রোমান সিস্টেমটি অ-পজিশনাল, যেখানে প্রতিটি সংখ্যা নির্দিষ্ট অক্ষরগুলির একটি নির্দিষ্ট সেট দ্বারা এনকোড করা হয়: I/ V/ X/L/ C/ D/ M। তারা যথাক্রমে 1 সংখ্যার সমান / 5/10/50/100/500/ 1000। এই ধরনের সিস্টেমে, সংখ্যাটি কোন অবস্থানে রয়েছে তার উপর নির্ভর করে তার পরিমাণগত সংজ্ঞা পরিবর্তন করে না: প্রথম, দ্বিতীয়, ইত্যাদি। অন্যান্য সংখ্যা পেতে, আপনাকে বেস সংখ্যাগুলি যোগ করতে হবে। যেমন:
- DCC=700.
- CCM=800.
আরবি সংখ্যা ব্যবহার করে আমাদের কাছে আরও পরিচিত সংখ্যা পদ্ধতি হল অবস্থানগত। এই ধরনের সিস্টেমে, একটি সংখ্যার সংখ্যা অঙ্কের সংখ্যা নির্ধারণ করে, উদাহরণস্বরূপ, তিন-সংখ্যার সংখ্যা: 333, 567, ইত্যাদি। যেকোনো সংখ্যার ওজন নির্ভর করে এই বা সেই সংখ্যাটি যে অবস্থানে অবস্থিত তার উপর, উদাহরণস্বরূপ, দ্বিতীয় অবস্থানের 8 নম্বরটির মান 80। এটি দশমিক সিস্টেমের জন্য সাধারণ, অন্যান্য অবস্থানগত সিস্টেম রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, বাইনারি।
বাইনারী পাটিগণিত
আমরা দশমিক পদ্ধতির সাথে পরিচিত, যেটিতে একক-সংখ্যার সংখ্যা এবং বহু-অঙ্কের সংখ্যা রয়েছে। বহু-সংখ্যার সংখ্যার বাম দিকের সংখ্যাটি ডানদিকের সংখ্যার চেয়ে দশগুণ বেশি তাৎপর্যপূর্ণ। সুতরাং, আমরা 2, 17, 467, ইত্যাদি পড়তে অভ্যস্ত। "বাইনারী পাটিগণিত" নামক বিভাগটির সম্পূর্ণ ভিন্ন যুক্তি এবং পদ্ধতি রয়েছে। এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ বাইনারি পাটিগণিত মানব যুক্তির জন্য নয়, কম্পিউটার যুক্তির জন্য তৈরি করা হয়েছিল। যদি সংখ্যার পাটিগণিত বস্তুর গণনা থেকে উদ্ভূত হয়, যা বস্তুর বৈশিষ্ট্যগুলি থেকে "বেয়ার" পাটিগণিততে বিমূর্ত করা হয়েছিল, তাহলে এটি কম্পিউটারের সাথে কাজ করবে না। শেয়ার করতে সক্ষম হতেএকটি কম্পিউটার সম্পর্কে তার জ্ঞানের সাথে, একজন ব্যক্তিকে ক্যালকুলাসের এমন একটি মডেল আবিষ্কার করতে হয়েছিল।
বাইনারী পাটিগণিত বাইনারি বর্ণমালার সাথে কাজ করে, যেটি শুধুমাত্র 0 এবং 1 নিয়ে গঠিত। এবং এই বর্ণমালার ব্যবহারকে বলা হয় বাইনারি সিস্টেম।
বাইনারী পাটিগণিত এবং দশমিক পাটিগণিতের মধ্যে পার্থক্য হল বাম দিকের অবস্থানের তাৎপর্য আর 10 নয়, 2 বার। বাইনারি সংখ্যা 111, 1001, ইত্যাদি ফর্মের। এই ধরনের সংখ্যা কিভাবে বুঝবেন? সুতরাং, 1100 নম্বরটি বিবেচনা করুন:
- বাম দিকের প্রথম অঙ্কটি হল 18=8, মনে রাখবেন যে চতুর্থ সংখ্যাটি, যার মানে এটিকে 2 দ্বারা গুণ করতে হবে, আমরা পজিশন 8 পাই।
- দ্বিতীয় সংখ্যা 14=4 (অবস্থান 4)।
- তৃতীয় সংখ্যা 02=0 (অবস্থান 2)।
- চতুর্থ সংখ্যা 01=0 (পজিশন 1)।
- তাহলে আমাদের নম্বর হল 1100=8+4+0+0=12।
অর্থাৎ, বাম দিকে একটি নতুন অঙ্কে যাওয়ার সময়, বাইনারি সিস্টেমে এর তাৎপর্য 2 দ্বারা গুণ করা হয় এবং দশমিকে - 10 দ্বারা গুণ করা হয়। এই ধরনের সিস্টেমের একটি বিয়োগ রয়েছে: এটি অনেক বড় সংখ্যা লিখতে যে সংখ্যা প্রয়োজন। দশমিক সংখ্যাকে বাইনারি সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপনের উদাহরণ নিম্নলিখিত টেবিলে পাওয়া যাবে।
বাইনারী আকারে দশমিক সংখ্যা নীচে দেখানো হয়েছে।
অক্টাল এবং হেক্সাডেসিমেল উভয় সিস্টেমই ব্যবহার করা হয়।
এই রহস্যময় পাটিগণিত
পাটিগণিত কি, "দুইবার দুই" বা সংখ্যার অনাবিষ্কৃত রহস্য কি? আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পাটিগণিত প্রথম নজরে সহজ মনে হতে পারে, কিন্তু এর অস্পষ্ট সহজতা প্রতারণামূলক। এটি থেকে আন্টি আউলের সাথে শিশুদের দ্বারাও অধ্যয়ন করা যেতে পারেকার্টুন "পাটিগণিত-শিশু", এবং আপনি প্রায় দার্শনিক আদেশের গভীরভাবে বৈজ্ঞানিক গবেষণায় নিজেকে নিমজ্জিত করতে পারেন। ইতিহাসে, তিনি বস্তু গণনা থেকে সংখ্যার সৌন্দর্যের উপাসনা করেছেন। শুধুমাত্র একটি জিনিস নিশ্চিতভাবে জানা যায়: পাটিগণিতের মৌলিক অনুমান স্থাপনের সাথে, সমস্ত বিজ্ঞান তার শক্তিশালী কাঁধের উপর নির্ভর করতে পারে।
