আপনার নজরে আনা নিবন্ধে, আমরা গাণিতিক মডেলের উদাহরণ অফার করি। উপরন্তু, আমরা মডেল তৈরির পর্যায়গুলিতে মনোযোগ দেব এবং গাণিতিক মডেলিংয়ের সাথে যুক্ত কিছু কাজ বিশ্লেষণ করব।
আমাদের আরও একটি প্রশ্ন অর্থনীতিতে গাণিতিক মডেল সম্পর্কে, উদাহরণ, যার সংজ্ঞা আমরা একটু পরে বিবেচনা করব। আমরা আমাদের কথোপকথনটি "মডেল" এর ধারণা দিয়ে শুরু করার প্রস্তাব দিই, সংক্ষেপে তাদের শ্রেণীবিভাগ বিবেচনা করুন এবং আমাদের মূল প্রশ্নগুলিতে এগিয়ে যান৷
"মডেল" এর ধারণা
আমরা প্রায়ই "মডেল" শব্দটি শুনি। এটা কি? এই শব্দটির অনেকগুলি সংজ্ঞা রয়েছে, এখানে তাদের মধ্যে মাত্র তিনটি রয়েছে:
- একটি নির্দিষ্ট বস্তু যা তথ্য গ্রহণ ও সঞ্চয় করার জন্য তৈরি করা হয়, যা কিছু বৈশিষ্ট্য বা বৈশিষ্ট্য প্রতিফলিত করে, এবং এই বস্তুর আসল (এই নির্দিষ্ট বস্তুটি বিভিন্ন আকারে প্রকাশ করা যেতে পারে: মানসিক, লক্ষণ ব্যবহার করে বর্ণনা, ইত্যাদি);
- মডেলের অর্থও কোনো নির্দিষ্ট পরিস্থিতি, জীবন বা প্রদর্শনব্যবস্থাপক;
- মডেল যেকোনো বস্তুর একটি হ্রাসকৃত অনুলিপি হিসাবে পরিবেশন করতে পারে (এগুলি আরও বিশদ অধ্যয়ন এবং বিশ্লেষণের জন্য তৈরি করা হয়েছে, কারণ মডেলটি গঠন এবং সম্পর্কগুলিকে প্রতিফলিত করে)।
আগে বলা সমস্ত কিছুর উপর ভিত্তি করে, আমরা একটি ছোট উপসংহার টানতে পারি: মডেলটি আপনাকে একটি জটিল সিস্টেম বা বস্তুকে বিশদভাবে অধ্যয়ন করতে দেয়৷
সমস্ত মডেলকে কয়েকটি মানদণ্ড অনুসারে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে:
- ব্যবহারের ক্ষেত্র অনুসারে (শিক্ষামূলক, পরীক্ষামূলক, বৈজ্ঞানিক এবং প্রযুক্তিগত, গেমিং, সিমুলেশন);
- ডায়নামিক্স দ্বারা (স্ট্যাটিক এবং ডাইনামিক);
- জ্ঞানের শাখা দ্বারা (ভৌত, রাসায়নিক, ভৌগলিক, ঐতিহাসিক, সমাজতাত্ত্বিক, অর্থনৈতিক, গাণিতিক);
- প্রেজেন্টেশনের মাধ্যমে (উপাদান এবং তথ্যগত)।
তথ্য মডেল, ঘুরে, সাইন এবং মৌখিকভাবে বিভক্ত। এবং আইকনিক - কম্পিউটার এবং নন-কম্পিউটারে। এখন একটি গাণিতিক মডেলের উদাহরণগুলির একটি বিশদ বিবেচনার দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক৷
গাণিতিক মডেল
আপনি যেমন অনুমান করতে পারেন, একটি গাণিতিক মডেল বিশেষ গাণিতিক চিহ্ন ব্যবহার করে কোনো বস্তু বা ঘটনার কিছু বৈশিষ্ট্য প্রতিফলিত করে। আশেপাশের বিশ্বের প্যাটার্নগুলিকে নিজস্ব নির্দিষ্ট ভাষায় মডেল করার জন্য গণিতের প্রয়োজন৷
গাণিতিক মডেলিং পদ্ধতির উদ্ভব হয়েছিল বেশ অনেক আগে, হাজার হাজার বছর আগে, এই বিজ্ঞানের আবির্ভাবের সাথে সাথে। যাইহোক, এই মডেলিং পদ্ধতির বিকাশের জন্য অনুপ্রেরণা দেওয়া হয়েছিল কম্পিউটারের উপস্থিতি (ইলেকট্রনিক কম্পিউটার)।
এবার শ্রেণীবিভাগে যাওয়া যাক। এটি কিছু লক্ষণ অনুসারেও করা যেতে পারে। তারানিচের সারণীতে উপস্থাপন করা হয়েছে।
| বিজ্ঞানের শাখা অনুসারে শ্রেণিবিন্যাস | পদার্থবিদ্যা, সমাজবিজ্ঞান, রসায়ন এবং অন্যান্য বিষয়ে গাণিতিক মডেলের প্রয়োগ |
| মডেলিং প্রক্রিয়ায় ব্যবহৃত গাণিতিক যন্ত্রপাতি অনুসারে | ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, বিচ্ছিন্ন বীজগণিত রূপান্তর এবং এর মতো মডেলগুলি |
| মডেলিং লক্ষ্য দ্বারা | এই নীতি অনুসারে, বর্ণনামূলক, অপ্টিমাইজেশান, মাল্টি-মাপদণ্ড, গেম এবং সিমুলেশন মডেল রয়েছে |
আমরা শেষ শ্রেণীবিভাগ বন্ধ করার এবং ঘনিষ্ঠভাবে দেখার প্রস্তাব করছি, কারণ এটি মডেলিংয়ের সাধারণ প্যাটার্ন এবং তৈরি করা মডেলগুলির লক্ষ্যগুলিকে প্রতিফলিত করে৷
বর্ণনামূলক মডেল
এই অধ্যায়ে, আমরা বর্ণনামূলক গাণিতিক মডেলগুলিতে আরও বিশদভাবে থাকার প্রস্তাব করছি। সবকিছু খুব পরিষ্কার করার জন্য, একটি উদাহরণ দেওয়া হবে।
শুরুতে, এই দৃশ্যটিকে বর্ণনামূলক বলা যেতে পারে। এটি এই কারণে যে আমরা কেবল গণনা এবং পূর্বাভাস করি, কিন্তু আমরা কোনোভাবেই ইভেন্টের ফলাফলকে প্রভাবিত করতে পারি না।
একটি বর্ণনামূলক গাণিতিক মডেলের একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল আমাদের সৌরজগতের বিশালতাকে আক্রমণকারী একটি ধূমকেতুর পৃথিবী থেকে ফ্লাইটের পথ, গতি, দূরত্বের হিসাব। এই মডেলটি বর্ণনামূলক, যেহেতু প্রাপ্ত সমস্ত ফলাফল শুধুমাত্র আমাদেরকে কিছু বিপদ সম্পর্কে সতর্ক করতে পারে। ইভেন্টের ফলাফল প্রভাবিত, হায়, আমরা নাকরতে পারা. যাইহোক, প্রাপ্ত গণনার উপর ভিত্তি করে, পৃথিবীতে জীবন বাঁচানোর জন্য যেকোনো ব্যবস্থা নেওয়া সম্ভব।
অপ্টিমাইজেশন মডেল
এখন আমরা অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেল সম্পর্কে কিছু কথা বলব, যার উদাহরণ বিভিন্ন পরিস্থিতিতে হতে পারে। এই ক্ষেত্রে, আমরা এমন মডেলগুলি সম্পর্কে কথা বলছি যা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে সঠিক উত্তর খুঁজে পেতে সহায়তা করে। তাদের অবশ্যই কিছু প্যারামিটার থাকতে হবে। এটাকে খুব পরিষ্কার করার জন্য, কৃষি অংশ থেকে একটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।
আমাদের শস্যভাণ্ডার আছে, কিন্তু শস্য খুব দ্রুত নষ্ট হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, আমাদের সঠিক তাপমাত্রা ব্যবস্থা বেছে নিতে হবে এবং স্টোরেজ প্রক্রিয়াটি অপ্টিমাইজ করতে হবে।
এইভাবে, আমরা "অপ্টিমাইজেশন মডেল" ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করতে পারি। গাণিতিক অর্থে, এটি সমীকরণের একটি সিস্টেম (রৈখিক এবং নয় উভয়ই), যার সমাধান একটি নির্দিষ্ট অর্থনৈতিক পরিস্থিতিতে সর্বোত্তম সমাধান খুঁজে পেতে সহায়তা করে। আমরা একটি গাণিতিক মডেল (অপ্টিমাইজেশান) এর একটি উদাহরণ বিবেচনা করেছি, তবে আমি যোগ করতে চাই: এই প্রকারটি চরম সমস্যার শ্রেণীর অন্তর্গত, তারা অর্থনৈতিক ব্যবস্থার কার্যকারিতা বর্ণনা করতে সহায়তা করে৷
আরো একটি গুরুত্ব দ্রষ্টব্য: মডেলগুলি ভিন্ন প্রকৃতির হতে পারে (নীচের টেবিলটি দেখুন)।
| নির্ণয়বাদী | এই ক্ষেত্রে, ফলাফল ইনপুট ডেটার উপর নির্ভর করে |
| stochastic | এলোমেলো প্রক্রিয়ার বর্ণনা। এই ক্ষেত্রে, ফলাফল অনির্ধারিত থেকে যায় |
মাল্টিক্রিটেরিয়া মডেল
এখন আমরা আপনাকে কিছু কথা বলার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছিবহুমুখী অপ্টিমাইজেশানের গাণিতিক মডেল। তার আগে, আমরা যেকোন একটি মাপকাঠি অনুসারে একটি প্রক্রিয়াকে অপ্টিমাইজ করার জন্য একটি গাণিতিক মডেলের উদাহরণ দিয়েছিলাম, কিন্তু যদি সেগুলির অনেকগুলি থাকে তবে কী হবে?
মাল্টিক্রাইটেরিয়া টাস্কের একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল সঠিক, স্বাস্থ্যকর এবং একই সাথে বৃহৎ গোষ্ঠীর মানুষের জন্য অর্থনৈতিক পুষ্টির সংস্থান। এই ধরনের কাজগুলি প্রায়ই সেনাবাহিনী, স্কুলের ক্যান্টিন, গ্রীষ্মকালীন ক্যাম্প, হাসপাতাল ইত্যাদিতে পাওয়া যায়।
এই সমস্যায় আমাদের কী মানদণ্ড দেওয়া হয়েছে?
- খাবার স্বাস্থ্যকর হওয়া উচিত।
- খাবারে খরচ ন্যূনতম রাখা উচিত।
আপনি দেখতে পাচ্ছেন, এই লক্ষ্যগুলি মোটেও মিলে না। এর মানে হল যে একটি সমস্যা সমাধান করার সময়, দুটি মানদণ্ডের মধ্যে একটি ভারসাম্য, সর্বোত্তম সমাধানের সন্ধান করা প্রয়োজন৷
গেমের মডেল
গেম মডেলগুলির কথা বলতে গেলে, "গেম থিওরি" এর ধারণাটি বোঝা দরকার। সহজ কথায়, এই মডেলগুলি বাস্তব দ্বন্দ্বের গাণিতিক মডেলগুলিকে প্রতিফলিত করে। শুধু সচেতন থাকুন যে, একটি বাস্তব দ্বন্দ্বের বিপরীতে, গেমের গাণিতিক মডেলের নিজস্ব নির্দিষ্ট নিয়ম রয়েছে৷
এখন গেম থিওরি থেকে ন্যূনতম তথ্য থাকবে যা আপনাকে গেম মডেল কী তা বুঝতে সাহায্য করবে। এবং তাই, মডেলটিতে অগত্যা পার্টি (দুই বা ততোধিক), যাকে সাধারণত প্লেয়ার বলা হয়৷
সমস্ত মডেলের কিছু বৈশিষ্ট্য আছে।
| বিষয় | খেলোয়াড়ের সংখ্যা |
| কৌশল | সম্ভাব্য কর্মের জন্য বিকল্প |
| পেমেন্ট | সংঘাতের ফলাফল (জয় বা হার)। |
গেম মডেলটি জোড়া বা একাধিক হতে পারে। যদি আমাদের দুটি বিষয় থাকে, তাহলে দ্বন্দ্ব জোড়া হয়, যদি বেশি হয় - একাধিক। একটি বিরোধী খেলাকেও আলাদা করা যায়, একে শূন্য-সমষ্টির খেলাও বলা হয়। এটি এমন একটি মডেল যেখানে অংশগ্রহণকারীদের একজনের লাভ অন্যটির ক্ষতির সমান৷
সিমুলেশন মডেল
এই বিভাগে, আমরা সিমুলেশন গাণিতিক মডেলগুলিতে মনোযোগ দেব। কাজের উদাহরণ হল:
- অণুজীবের সংখ্যার গতিবিদ্যার মডেল;
- অণু চলাচলের মডেল, এবং আরও অনেক কিছু।
এই ক্ষেত্রে, আমরা এমন মডেলগুলির কথা বলছি যা বাস্তব প্রক্রিয়ার যতটা সম্ভব কাছাকাছি। সাধারণভাবে, তারা প্রকৃতির যে কোনও প্রকাশ অনুকরণ করে। প্রথম ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি উপনিবেশে পিঁপড়ার সংখ্যার গতিবিদ্যা মডেল করতে পারি। এই ক্ষেত্রে, আপনি প্রতিটি ব্যক্তির ভাগ্য পর্যবেক্ষণ করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, গাণিতিক বিবরণ খুব কমই ব্যবহৃত হয়, আরও প্রায়ই লিখিত শর্ত থাকে:
- পাঁচ দিন পর স্ত্রী ডিম পাড়ে;
- 20 দিন পরে পিঁপড়া মারা যায়, ইত্যাদি।
এইভাবে, সিমুলেশন মডেলগুলি একটি বড় সিস্টেম বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হয়। গাণিতিক উপসংহার হল প্রাপ্ত পরিসংখ্যানগত তথ্যের প্রক্রিয়াকরণ।
প্রয়োজনীয়তা
খুব গুরুত্বপূর্ণসচেতন থাকুন যে এই ধরণের মডেলের জন্য কিছু প্রয়োজনীয়তা রয়েছে, যার মধ্যে নীচের টেবিলে দেওয়া আছে।
| বহুমুখীতা | এই বৈশিষ্ট্যটি আপনাকে একই ধরণের বস্তুর গোষ্ঠী বর্ণনা করার সময় একই মডেল ব্যবহার করার অনুমতি দেয়। এটা লক্ষ করা গুরুত্বপূর্ণ যে সার্বজনীন গাণিতিক মডেলগুলি অধ্যয়নের অধীন বস্তুর শারীরিক প্রকৃতি থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন |
| পর্যাপ্ততা | এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে এই সম্পত্তি আপনাকে যথাসম্ভব নির্ভুলভাবে বাস্তব প্রক্রিয়াগুলি পুনরুত্পাদন করতে দেয়৷ অপারেশন সমস্যা, গাণিতিক মডেলিং এই বৈশিষ্ট্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ. একটি মডেলের একটি উদাহরণ হল একটি গ্যাস সিস্টেমের ব্যবহার অপ্টিমাইজ করার প্রক্রিয়া। এই ক্ষেত্রে, গণনা করা এবং প্রকৃত সূচকগুলি তুলনা করা হয়, ফলস্বরূপ, সংকলিত মডেলের সঠিকতা পরীক্ষা করা হয় |
| নির্ভুলতা | এই প্রয়োজনীয়তাটি গাণিতিক মডেল এবং আমাদের আসল বস্তুর ইনপুট পরামিতিগুলি গণনা করার সময় আমরা যে মানগুলি পাই তার কাকতালীয়তা বোঝায় |
| অর্থনীতি | যেকোন গাণিতিক মডেলের জন্য খরচ-কার্যকারিতা প্রয়োজনীয়তা বাস্তবায়ন খরচ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। যদি মডেলের সাথে কাজটি ম্যানুয়ালি করা হয়, তবে এই গাণিতিক মডেলটি ব্যবহার করে একটি সমস্যা সমাধান করতে কত সময় লাগবে তা গণনা করা প্রয়োজন। যদি আমরা কম্পিউটার-সহায়ক নকশা সম্পর্কে কথা বলি, তাহলে সময় এবং কম্পিউটার মেমরির খরচের সূচকগুলি গণনা করা হয় |
পর্যায়মডেলিং
মোট, গাণিতিক মডেলিংয়ের চারটি ধাপ আলাদা করার প্রথাগত।
- মডেলের অংশগুলিকে সংযুক্ত করে এমন আইন প্রণয়ন করুন৷
- গাণিতিক সমস্যার গবেষণা।
- ব্যবহারিক এবং তাত্ত্বিক ফলাফলের কাকতালীয়তা স্পষ্ট করা।
- মডেলের বিশ্লেষণ এবং আধুনিকীকরণ।
অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেল
এই বিভাগে, আমরা সংক্ষেপে অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেলের বিষয়টি তুলে ধরব। কাজের উদাহরণ হল:
মাংসজাত দ্রব্য উৎপাদনের জন্য একটি উৎপাদন কর্মসূচির গঠন, উৎপাদনের সর্বোচ্চ মুনাফা নিশ্চিত করা;
অর্থনৈতিক-গাণিতিক মডেল একটি অর্থনৈতিক বিমূর্ততা প্রদর্শন করে, যা গাণিতিক পদ এবং চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করা হয়।
কম্পিউটার গাণিতিক মডেল
কম্পিউটার গাণিতিক মডেলের উদাহরণ হল:
- ফ্লোচার্ট, ডায়াগ্রাম, টেবিল ইত্যাদি ব্যবহার করে হাইড্রলিক্সের সমস্যা;
- সলিড মেকানিক্সে সমস্যা ইত্যাদি।
কম্পিউটার মডেল হল একটি বস্তু বা সিস্টেমের একটি চিত্র যা এইভাবে উপস্থাপিত হয়েছে:
- টেবিল;
- ফ্লোচার্ট;
- চিত্র;
- গ্রাফিক্স ইত্যাদি।
একই সময়ে, এই মডেলটি সিস্টেমের গঠন এবং আন্তঃসংযোগ প্রতিফলিত করে৷
একটি অর্থনৈতিক-গাণিতিক মডেল তৈরি করা
আমরা ইতিমধ্যে কি অর্থনৈতিক সম্পর্কে কথা বলেছিগানিতিক প্রতিমাণ. সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ এখনই বিবেচনা করা হবে। ভাণ্ডার পরিবর্তনের সাথে মুনাফা বাড়ানোর জন্য রিজার্ভ সনাক্ত করতে আমাদের উত্পাদন প্রোগ্রাম বিশ্লেষণ করতে হবে৷
আমরা সমস্যাটিকে পুরোপুরি বিবেচনা করব না, তবে শুধুমাত্র একটি অর্থনৈতিক এবং গাণিতিক মডেল তৈরি করব। আমাদের কাজের মাপকাঠি হল লাভ সর্বাধিকীকরণ। তারপর ফাংশনটির ফর্ম আছে: Л=р1х1+р2х2… সর্বাধিক প্রবণতা। এই মডেলে, p হল প্রতি ইউনিট লাভ, x হল উৎপাদিত ইউনিটের সংখ্যা। আরও, নির্মিত মডেলের উপর ভিত্তি করে, গণনা করা এবং সারসংক্ষেপ করা প্রয়োজন৷
একটি সাধারণ গাণিতিক মডেল তৈরির একটি উদাহরণ
টাস্ক। জেলে নিম্নলিখিত ক্যাচ নিয়ে ফিরে এসেছে:
- 8 মাছ - উত্তর সাগরের বাসিন্দা;
- 20% ধরা - দক্ষিণ সমুদ্রের বাসিন্দারা;
- স্থানীয় নদী থেকে একটি মাছও পাওয়া যায়নি।
সে দোকানে কয়টি মাছ কিনেছে?
সুতরাং, এই সমস্যার একটি গাণিতিক মডেল নির্মাণের একটি উদাহরণ নিম্নরূপ। আমরা মাছের মোট সংখ্যাকে x হিসাবে চিহ্নিত করি। শর্ত অনুসরণ করে, 0.2x হল দক্ষিণ অক্ষাংশে বসবাসকারী মাছের সংখ্যা। এখন আমরা সমস্ত উপলব্ধ তথ্য একত্রিত করি এবং সমস্যার গাণিতিক মডেল পাই: x=0, 2x+8। আমরা সমীকরণটি সমাধান করি এবং মূল প্রশ্নের উত্তর পাই: সে দোকানে 10টি মাছ কিনেছে।
