গণিতের একটি শাখা যার সাহায্যে স্কুলের শিক্ষার্থীরা সবচেয়ে বড় সমস্যা মোকাবেলা করে তা হল ত্রিকোণমিতি। আশ্চর্যের কিছু নেই: জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি অবাধে আয়ত্ত করার জন্য, আপনার স্থানিক চিন্তাভাবনা, সূত্র ব্যবহার করে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যাঞ্জেন্ট খুঁজে বের করার ক্ষমতা, অভিব্যক্তি সরল করা এবং গণনায় সংখ্যা পাই ব্যবহার করতে সক্ষম হওয়া প্রয়োজন। উপরন্তু, উপপাদ্য প্রমাণ করার সময় আপনাকে ত্রিকোণমিতি প্রয়োগ করতে সক্ষম হতে হবে এবং এর জন্য হয় একটি উন্নত গাণিতিক মেমরি বা জটিল লজিক্যাল চেইন বের করার ক্ষমতা প্রয়োজন।
ত্রিকোণমিতির উৎপত্তি
এই বিজ্ঞানের ভূমিকা একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকের সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা উচিত, তবে প্রথমে আপনাকে ত্রিকোণমিতি সাধারণভাবে কী করে তা বের করতে হবে।
ঐতিহাসিকভাবে, সমকোণী ত্রিভুজ গাণিতিক বিজ্ঞানের এই বিভাগে গবেষণার প্রধান বিষয়। 90 ডিগ্রি কোণের উপস্থিতি বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ পরিচালনা করা সম্ভব করে যা দুটিকে অনুমতি দেয়বাহু এবং এক কোণ বা দুই কোণ এবং এক পাশ প্রশ্নে থাকা চিত্রের সমস্ত পরামিতির মান নির্ধারণ করতে। অতীতে, লোকেরা এই প্যাটার্নটি লক্ষ্য করেছিল এবং বিল্ডিং নির্মাণ, নেভিগেশন, জ্যোতির্বিদ্যা এবং এমনকি শিল্পকলায় এটি সক্রিয়ভাবে ব্যবহার করতে শুরু করেছিল৷
প্রবর্তন
প্রাথমিকভাবে, লোকেরা সমকোণী ত্রিভুজের উদাহরণে একচেটিয়াভাবে কোণ এবং বাহুর সম্পর্ক সম্পর্কে কথা বলত। তারপরে বিশেষ সূত্রগুলি আবিষ্কৃত হয়েছিল, যা গণিতের এই বিভাগের দৈনন্দিন জীবনে ব্যবহারের সীমানা প্রসারিত করা সম্ভব করেছিল৷
স্কুলে আজ ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন শুরু হয় সমকোণী ত্রিভুজ দিয়ে, তারপরে অর্জিত জ্ঞান শিক্ষার্থীরা পদার্থবিদ্যায় ব্যবহার করে এবং বিমূর্ত ত্রিকোণমিতিক সমীকরণ সমাধান করে, যে কাজটি হাই স্কুলে শুরু হয়।
গোলাকার ত্রিকোণমিতি
পরবর্তীতে, বিজ্ঞান যখন বিকাশের পরবর্তী স্তরে পৌঁছেছে, তখন গোলাকার জ্যামিতিতে সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যাঞ্জেন্ট সহ সূত্রগুলি ব্যবহার করা শুরু হয়েছে, যেখানে অন্যান্য নিয়ম প্রযোজ্য, এবং একটি ত্রিভুজে কোণের যোগফল সবসময়ই বেশি হয় 180 ডিগ্রির বেশি। এই বিভাগটি স্কুলে অধ্যয়ন করা হয় না, তবে এটির অস্তিত্ব সম্পর্কে জানা প্রয়োজন, অন্তত কারণ পৃথিবীর পৃষ্ঠ এবং অন্য কোনও গ্রহের পৃষ্ঠ উত্তল, যার অর্থ পৃষ্ঠের যে কোনও চিহ্ন "চাপ-আকৃতির হবে। "ত্রিমাত্রিক মহাকাশে।
একটি গ্লোব এবং একটি থ্রেড নিন। থ্রেডটিকে পৃথিবীর যেকোনো দুটি বিন্দুতে সংযুক্ত করুন যাতে এটি টানটান হয়। মনোযোগ দিন - এটি একটি চাপের আকৃতি অর্জন করেছে। এটি এই ধরনের ফর্ম নিয়ে কাজ করেগোলাকার জ্যামিতি জিওডেসি, জ্যোতির্বিদ্যা এবং অন্যান্য তাত্ত্বিক ও প্রয়োগ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।
সমকোণী ত্রিভুজ
ত্রিকোণমিতি ব্যবহার করার উপায়গুলি সম্পর্কে কিছুটা জানার পর, সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট কী, তাদের সাহায্যে কী গণনা করা যেতে পারে এবং কোন সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে তা আরও বোঝার জন্য আসুন মৌলিক ত্রিকোণমিতিতে ফিরে আসি।
প্রথমত, আপনাকে একটি সমকোণী ত্রিভুজের সাথে সম্পর্কিত ধারণাগুলি বুঝতে হবে। প্রথমত, কর্ণ হল 90 ডিগ্রি কোণের বিপরীত দিক। তিনি দীর্ঘতম. আমরা মনে করি যে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য অনুসারে, এর সংখ্যাসূচক মান অন্য দুটি বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফলের মূলের সমান।
উদাহরণস্বরূপ, দুটি বাহু যথাক্রমে 3 এবং 4 সেন্টিমিটার হলে, কর্ণের দৈর্ঘ্য হবে 5 সেন্টিমিটার। যাইহোক, প্রাচীন মিশরীয়রা এই সম্পর্কে প্রায় সাড়ে চার হাজার বছর আগে জানত।
একটি সমকোণ গঠনকারী অবশিষ্ট দুটি বাহুকে পা বলে। উপরন্তু, আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে একটি আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল 180 ডিগ্রি৷
সংজ্ঞা
অবশেষে, জ্যামিতিক ভিত্তি সম্পর্কে একটি দৃঢ় বোঝাপড়া থাকলে, আমরা একটি কোণের সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শকের সংজ্ঞার দিকে যেতে পারি।
কোণের সাইন হল কর্ণের বিপরীত পায়ের (অর্থাৎ কাঙ্খিত কোণের বিপরীত দিক) অনুপাত। একটি কোণের কোসাইন হল কর্ণের সংলগ্ন পায়ের অনুপাত।
মনে রাখবেন যে সাইন বা কোসাইন দুটোই একের বেশি হতে পারে না! কেন?কারণ ডিফল্টভাবে কর্ণ একটি সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহু। পা যতই লম্বা হোক না কেন, এটি কর্ণের চেয়ে ছোট হবে, যার মানে তাদের অনুপাত সবসময় একের চেয়ে কম হবে। এইভাবে, যদি আপনি সমস্যার উত্তরে 1 এর চেয়ে বেশি মান সহ একটি সাইন বা কোসাইন পান, তাহলে গণনা বা যুক্তিতে একটি ত্রুটি সন্ধান করুন। এই উত্তরটি স্পষ্টতই ভুল।
অবশেষে, একটি কোণের স্পর্শক হল সন্নিহিত বাহুর বিপরীত বাহুর অনুপাত। একই ফলাফল কোসাইন দ্বারা সাইনের বিভাজন দেবে। দেখুন: সূত্র অনুসারে, আমরা বাহুর দৈর্ঘ্যকে কর্ণ দিয়ে ভাগ করি, তারপরে আমরা দ্বিতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করি এবং কর্ণ দিয়ে গুণ করি। সুতরাং, আমরা স্পর্শকের সংজ্ঞার মতো একই অনুপাত পাই।
Cotangent, যথাক্রমে, বিপরীত দিকের কোণার সংলগ্ন বাহুর অনুপাত। এককটিকে স্পর্শক দ্বারা ভাগ করলে আমরা একই ফলাফল পাই।
সুতরাং, আমরা সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট কী তার সংজ্ঞা বিবেচনা করেছি এবং আমরা সূত্রগুলি মোকাবেলা করতে পারি৷
সরল সূত্র
ত্রিকোণমিতিতে কেউ সূত্র ছাড়া করতে পারে না - সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট, কোট্যানজেন্ট এগুলো ছাড়া কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায়? কিন্তু সমস্যা সমাধানের সময় এটিই প্রয়োজন।
ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার সময় আপনার প্রথম যে সূত্রটি জানতে হবে তা বলে যে একটি কোণের সাইন এবং কোসাইনের বর্গের সমষ্টি একের সমান। এই সূত্রটি পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের একটি প্রত্যক্ষ পরিণতি, তবে এটি সময় বাঁচায় যদি আপনি কোণের মান খুঁজে বের করতে চান, পাশ নয়।
অনেক শিক্ষার্থী দ্বিতীয় সূত্রটিও মনে রাখতে পারে নাস্কুল সমস্যা সমাধানে জনপ্রিয়: একটি কোণের সমষ্টি এবং একটি কোণের স্পর্শকের বর্গ সমান কোণের কোসাইনটির বর্গ দ্বারা ভাগ করা হয়। আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখুন: সর্বোপরি, এটি প্রথম সূত্রের মতো একই বিবৃতি, শুধুমাত্র পরিচয়ের উভয় পক্ষই কোসাইনের বর্গ দ্বারা বিভক্ত ছিল। দেখা যাচ্ছে যে একটি সাধারণ গাণিতিক অপারেশন ত্রিকোণমিতিক সূত্রটিকে সম্পূর্ণরূপে অচেনা করে তোলে। মনে রাখবেন: সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট এবং কোট্যানজেন্ট কী, রূপান্তরের নিয়ম এবং কয়েকটি মৌলিক সূত্র জেনে, আপনি যে কোনো সময় স্বাধীনভাবে কাগজের টুকরো থেকে প্রয়োজনীয় আরও জটিল সূত্র বের করতে পারেন।
দ্বৈত কোণ সূত্র এবং আর্গুমেন্টের যোগ
কোণের যোগফল এবং পার্থক্যের জন্য সাইন এবং কোসাইন মানের সাথে আরও দুটি সূত্র শিখতে হবে। সেগুলি নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে। দয়া করে মনে রাখবেন যে প্রথম ক্ষেত্রে, সাইন এবং কোসাইন উভয়ই গুণিত হয় এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সাইন এবং কোসাইন এর জোড়া গুণফল যোগ করা হয়।
এছাড়াও ডবল অ্যাঙ্গেল আর্গুমেন্টের সাথে যুক্ত সূত্র রয়েছে। এগুলি সম্পূর্ণরূপে পূর্ববর্তীগুলি থেকে উদ্ভূত - একটি অনুশীলন হিসাবে, আলফার কোণটি বিটা কোণের সমান গ্রহণ করে সেগুলি নিজে নেওয়ার চেষ্টা করুন৷
অবশেষে, মনে রাখবেন সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট আলফার ডিগ্রি কমাতে ডাবল অ্যাঙ্গেল সূত্রগুলিকে রূপান্তর করা যেতে পারে।
উপাত্ত
মৌলিক ত্রিকোণমিতির দুটি প্রধান উপপাদ্য হল সাইন উপপাদ্য এবং কোসাইন উপপাদ্য। এই উপপাদ্যগুলির সাহায্যে, আপনি সহজেই বুঝতে পারবেন কীভাবে সাইন, কোসাইন এবং স্পর্শক খুঁজে বের করতে হয় এবং তাই চিত্রটির ক্ষেত্রফল এবং মাত্রাপ্রতিটি পাশ, ইত্যাদি।
সাইন উপপাদ্যটি বলে যে একটি ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্যকে বিপরীত কোণের মান দিয়ে ভাগ করার ফলে আমরা একই সংখ্যা পাই। অধিকন্তু, এই সংখ্যাটি পরিধিকৃত বৃত্তের দুটি ব্যাসার্ধের সমান হবে, অর্থাৎ প্রদত্ত ত্রিভুজের সমস্ত বিন্দু সমন্বিত বৃত্ত।
কোসাইন উপপাদ্যটি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যকে সাধারণীকরণ করে, এটিকে যেকোন ত্রিভুজের উপর প্রক্ষেপণ করে। দেখা যাচ্ছে যে দুই বাহুর বর্গক্ষেত্রের যোগফল থেকে, তাদের গুণফল বিয়োগ করুন, তাদের সংলগ্ন কোণের দ্বিগুণ কোসাইন দ্বারা গুণিত করুন - ফলাফলের মানটি তৃতীয় বাহুর বর্গক্ষেত্রের সমান হবে। এইভাবে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটি কোসাইন উপপাদ্যের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে পরিণত হয়েছে।
অবহেলার কারণে ভুলগুলো
সাইন, কোসাইন এবং ট্যানজেন্ট কী তা জেনেও, অনুপস্থিত-মানসিকতার কারণে বা সহজতম গণনার ত্রুটির কারণে ভুল করা সহজ। এই ধরনের ভুলগুলি এড়াতে, আসুন সবচেয়ে জনপ্রিয়গুলি দেখে নেওয়া যাক৷
প্রথমত, চূড়ান্ত ফলাফল পাওয়ার আগে সাধারণ ভগ্নাংশকে দশমিকে রূপান্তর করবেন না - আপনি উত্তরটিকে একটি সাধারণ ভগ্নাংশ হিসাবে ছেড়ে দিতে পারেন, যদি না শর্তে অন্যথায় বলা হয়। এই ধরনের রূপান্তরকে একটি ভুল বলা যাবে না, তবে এটি মনে রাখা উচিত যে কাজের প্রতিটি পর্যায়ে, নতুন শিকড় উপস্থিত হতে পারে, যা লেখকের ধারণা অনুযায়ী, হ্রাস করা উচিত। এই ক্ষেত্রে, আপনি অপ্রয়োজনীয় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলিতে সময় নষ্ট করবেন। এটি বিশেষত তিনটি বা দুটির মূলের মতো মানগুলির জন্য সত্য, কারণ এগুলি প্রতিটি পদক্ষেপে কাজগুলিতে ঘটে। একই বৃত্তাকার জন্য যায়."কুৎসিত" সংখ্যা।
পরবর্তী, মনে রাখবেন যে কোসাইন উপপাদ্য যেকোন ত্রিভুজের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, কিন্তু পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য নয়! আপনি যদি ভুলবশত তাদের মধ্যবর্তী কোণের কোসাইন দ্বারা গুণিত বাহুগুলির গুণফলের দ্বিগুণ বিয়োগ করতে ভুলে যান, তবে আপনি কেবল একটি সম্পূর্ণ ভুল ফলাফল পাবেন না, তবে বিষয়ের সম্পূর্ণ ভুল বোঝাবুঝিও প্রদর্শন করবেন। এটি একটি অসতর্ক ভুলের চেয়েও খারাপ।
তৃতীয়, সাইন, কোসাইন, স্পর্শক, কোট্যানজেন্টের জন্য 30 এবং 60 ডিগ্রি কোণের মানগুলিকে বিভ্রান্ত করবেন না। এই মানগুলি মনে রাখবেন, কারণ 30 ডিগ্রীর সাইন 60 এর কোসাইন এর সমান এবং এর বিপরীতে। এগুলি মিশ্রিত করা সহজ, এবং আপনি অনিবার্যভাবে একটি ভুল ফলাফল পাবেন৷
আবেদন
অনেক শিক্ষার্থী ত্রিকোণমিতি অধ্যয়ন শুরু করার জন্য তাড়াহুড়ো করে না, কারণ তারা এর প্রয়োগিত অর্থ বুঝতে পারে না। একজন প্রকৌশলী বা জ্যোতির্বিজ্ঞানীর জন্য সাইন, কোসাইন, স্পর্শক কী? এই ধারণাগুলি ধন্যবাদ যা আপনি দূরবর্তী নক্ষত্রের দূরত্ব গণনা করতে পারেন, একটি উল্কাপাতের পূর্বাভাস দিতে পারেন, অন্য গ্রহে একটি গবেষণা অনুসন্ধান পাঠাতে পারেন। এগুলি ছাড়া, একটি বিল্ডিং তৈরি করা, একটি গাড়ির নকশা করা, পৃষ্ঠের লোড বা একটি বস্তুর গতিপথ গণনা করা অসম্ভব। এবং এই শুধুমাত্র সবচেয়ে সুস্পষ্ট উদাহরণ! সর্বোপরি, ত্রিকোণমিতি এক বা অন্য আকারে সর্বত্র ব্যবহৃত হয়, সঙ্গীত থেকে ওষুধ পর্যন্ত।
উপসংহারে
তাহলে, আপনি জানেন সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট কি। আপনি সেগুলিকে গণনায় ব্যবহার করতে পারেন এবং সফলভাবে স্কুলের সমস্যার সমাধান করতে পারেন৷
পুরো পয়েন্টত্রিকোণমিতি এই সত্যে হ্রাস পেয়েছে যে ত্রিভুজের পরিচিত পরামিতি অনুসারে, অজানাগুলি গণনা করা প্রয়োজন। মোট ছয়টি পরামিতি রয়েছে: তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তিনটি কোণের মাত্রা। কাজের মধ্যে সম্পূর্ণ পার্থক্য এই সত্য যে বিভিন্ন ইনপুট ডেটা দেওয়া হয়৷
কীভাবে পায়ের পরিচিত দৈর্ঘ্য বা কর্ণের উপর ভিত্তি করে সাইন, কোসাইন, স্পর্শক খুঁজে বের করতে হয়, আপনি এখন জানেন। যেহেতু এই পদগুলির অর্থ একটি অনুপাত ছাড়া আর কিছুই নয়, এবং একটি অনুপাত একটি ভগ্নাংশ, তাই ত্রিকোণমিতিক সমস্যার মূল লক্ষ্য হল একটি সাধারণ সমীকরণ বা সমীকরণের একটি সিস্টেমের মূল খুঁজে বের করা। এবং এখানে স্কুলের সাধারণ গণিত আপনাকে সাহায্য করবে।
