গণিতে, মডুলার পাটিগণিত হল পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি গণনা পদ্ধতি, যার সাহায্যে তারা একটি নির্দিষ্ট মান-মডিউল (অথবা তাদের বহুবচন) এ পৌঁছালে তারা "উল্টে যায়"। 1801 সালে প্রকাশিত তার Disquisitiones Arithmeticae-তে কার্ল ফ্রেডরিখ গাউস এই ধরনের বিজ্ঞানের আধুনিক পদ্ধতির বিকাশ করেছিলেন। কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে খুব পছন্দ করেন, কারণ এটি খুবই আকর্ষণীয় এবং সংখ্যার সাথে ক্রিয়াকলাপে কিছু নতুন সম্ভাবনা উন্মুক্ত করে৷
সারাংশ
কারণ ঘন্টার সংখ্যা 12-এ পৌঁছানোর পরে আবার শুরু হয়, এটি হল পাটিগণিত মডুলো 12। নীচের সংজ্ঞা অনুসারে, 12 শুধুমাত্র 12 এর সাথেই নয়, 0 এর সাথেও মিলে যায়, তাই কেউ সময়ের নামও দিতে পারে " 12:00"। "0:00"। সর্বোপরি, 12 হল 0 মডিউল 12 এর সমান।
মডুলার পাটিগণিতকে পূর্ণসংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ সম্পর্ক প্রবর্তন করে গাণিতিকভাবে প্রক্রিয়া করা যেতে পারে যা পূর্ণসংখ্যার উপর ক্রিয়াকলাপের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।সংখ্যা: যোগ, বিয়োগ এবং গুণ। একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য, a এবং b দুটি সংখ্যাকে সর্বসম মডিউল n বলা হয় যদি তাদের পার্থক্য a - b n এর গুণিতক হয় (অর্থাৎ, যদি একটি পূর্ণসংখ্যা k থাকে যেমন a - b=kn)।
ডিডাকশন
তাত্ত্বিক গণিতে, মডুলার পাটিগণিত হল সংখ্যা তত্ত্বের অন্যতম ভিত্তি, যা এর অধ্যয়নের প্রায় সমস্ত দিককে প্রভাবিত করে এবং গোষ্ঠী, রিং, নট এবং বিমূর্ত বীজগণিত তত্ত্বেও ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। ফলিত গণিতের ক্ষেত্রে, এটি কম্পিউটার বীজগণিত, ক্রিপ্টোগ্রাফি, কম্পিউটার বিজ্ঞান, রসায়ন, ভিজ্যুয়াল আর্ট এবং সঙ্গীতে ব্যবহৃত হয়৷
অভ্যাস
একটি খুব বাস্তব প্রয়োগ হল সিরিয়াল নম্বর শনাক্তকারীতে চেকসামগুলির গণনা। উদাহরণ স্বরূপ, কিছু সাধারণ বইয়ের মান গণিতিক মডুলো 11 (যদি 1 জানুয়ারী, 2007 এর আগে প্রকাশিত হয়) বা মডুলো 10 (যদি 1 জানুয়ারী, 2007 এর আগে বা পরে প্রকাশিত হয়) ব্যবহার করে। একইভাবে, উদাহরণস্বরূপ, আন্তর্জাতিক ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্ট নম্বরগুলিতে (IBANs)। ব্যাঙ্ক অ্যাকাউন্ট নম্বরগুলিতে ব্যবহারকারীর ইনপুট ত্রুটি সনাক্ত করতে এটি মডুলো 97 গাণিতিক ব্যবহার করে৷
রসায়নে, CAS রেজিস্ট্রেশন নম্বরের শেষ সংখ্যা (প্রতিটি রাসায়নিক যৌগের জন্য অনন্য শনাক্তকরণ নম্বর) হল চেক ডিজিট। এটি গণনা করা হয় CAS রেজিস্ট্রেশন নম্বরের প্রথম দুটি অংশের শেষ অঙ্কটিকে 1 দ্বারা গুণ করে, পূর্ববর্তী অঙ্কটি 2 বার, পূর্ববর্তী অঙ্কটি 3 বার ইত্যাদি, সমস্ত যোগ করে এবং যোগফল 10 গণনা করে।
ক্রিপ্টোগ্রাফি কি? ব্যাপারটি হলোআলোচ্য বিষয়ের সাথে এটির একটি অত্যন্ত দৃঢ় সংযোগ রয়েছে। ক্রিপ্টোগ্রাফিতে, মডুলার পাটিগণিতের আইনগুলি সরাসরি পাবলিক-কী সিস্টেম যেমন RSA এবং ডিফি-হেলম্যানকে অন্তর্নিহিত করে। এখানে এটি উপবৃত্তাকার বক্ররেখার অধীনে থাকা সসীম ক্ষেত্রগুলি প্রদান করে। অ্যাডভান্সড এনক্রিপশন স্ট্যান্ডার্ড (AES), ইন্টারন্যাশনাল ডেটা এনক্রিপশন অ্যালগরিদম এবং RC4 সহ বিভিন্ন সিমেট্রিক কী অ্যালগরিদমে ব্যবহৃত হয়৷
আবেদন
এই পদ্ধতিটি এমন এলাকায় ব্যবহার করা হয় যেখানে আপনার নম্বর পড়তে হবে। এটি গণিতবিদদের দ্বারা বিকশিত হয়েছিল, এবং সবাই এটি ব্যবহার করে, বিশেষ করে কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা। এটি ডামিদের জন্য মডুলার পাটিগণিতের মতো বইগুলিতে ভালভাবে নথিভুক্ত করা হয়েছে। যাইহোক, অনেক বিশেষজ্ঞ এই ধরনের সাহিত্যকে গুরুত্ব সহকারে না নেওয়ার পরামর্শ দেন৷
কম্পিউটার বিজ্ঞানে, মডুলার পাটিগণিত প্রায়শই বিটওয়াইজ এবং নির্দিষ্ট-প্রস্থের বৃত্তাকার ডেটা স্ট্রাকচারের সাথে জড়িত অন্যান্য ক্রিয়াকলাপে ব্যবহৃত হয়। বিশ্লেষকরা এটি ব্যবহার করতে ভালোবাসেন। মডুলো অপারেশনটি অনেক প্রোগ্রামিং ভাষা এবং ক্যালকুলেটরে প্রয়োগ করা হয়। এই ক্ষেত্রে, এটি এই ধরনের একটি অ্যাপ্লিকেশনের একটি উদাহরণ। মডুলো তুলনা, অবশিষ্ট অংশের সাথে বিভাজন এবং অন্যান্য কৌশলগুলিও প্রোগ্রামিংয়ে ব্যবহৃত হয়।
সংগীতে, পাটিগণিত মডুলো 12 ব্যবহার করা হয় যখন বারোটি স্বরের সমান মেজাজের একটি সিস্টেম বিবেচনা করা হয়, যেখানে অষ্টক এবং এনহারমোনিক সমান। অন্য কথায়, 1-2 বা 2-1 অনুপাতের কীগুলি সমতুল্য। সঙ্গীত এবং অন্যান্য মানবিকতায়, পাটিগণিত একটি বরং গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, তবে পাঠ্যপুস্তকেকম্পিউটার বিজ্ঞানীরা সাধারণত এটা নিয়ে লেখেন না।
নাইন কমানোর পদ্ধতি
9s রূপান্তর পদ্ধতিটি ম্যানুয়াল দশমিক পাটিগণিত গণনার দ্রুত চেক অফার করে। এটি মডুলার গাণিতিক মডিউল 9 এর উপর ভিত্তি করে এবং বিশেষ করে নিষ্পত্তিমূলক সম্পত্তি 10 10 1.
অন্য উদাহরণ আছে। পাটিগণিত মডুলো 7 অ্যালগরিদমগুলিতে ব্যবহৃত হয় যা একটি নির্দিষ্ট তারিখের জন্য সপ্তাহের দিন নির্ধারণ করে। বিশেষ করে, জেলারের কনগ্রুয়েন্স এবং ডুমসডে অ্যালগরিদম পাটিগণিত মডুলো 7.
অন্যান্য অ্যাপ্লিকেশন
এটি ইতিমধ্যেই ক্রিপ্টোগ্রাফিতে মডুলার পাটিগণিত সম্পর্কে বলা হয়েছে। এই এলাকায়, তিনি কেবল অপরিবর্তনীয়। আরও সাধারণভাবে, মডুলার পাটিগণিত আইন, অর্থনীতি (যেমন গেম থিওরি) এবং সামাজিক বিজ্ঞানের অন্যান্য ক্ষেত্রগুলির মতো শাখাগুলিতেও প্রয়োগ খুঁজে পায়। অন্য কথায়, যেখানে সম্পদের আনুপাতিক বিভাজন এবং বন্টন একটি প্রধান ভূমিকা পালন করে।
যেহেতু মডুলার পাটিগণিতের এত বিস্তৃত পরিসরের ব্যবহার রয়েছে, এটা জানা গুরুত্বপূর্ণ যে তুলনামূলক পদ্ধতির সমাধান করা কতটা কঠিন। গাউসিয়ান নির্মূলের আকারে বহুপদী সময়ে একত্রিতকরণের একটি রৈখিক পদ্ধতির সমাধান করা যেতে পারে। এটি লিনিয়ার কনগ্রুয়েন্স থিওরেম দ্বারা আরো বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করা হয়েছে। মন্টগোমেরি রিডাকশনের মতো অ্যালগরিদমও বিদ্যমান যাতে সহজ গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি দক্ষতার সাথে সম্পাদন করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, বৃহৎ সংখ্যার জন্য গুণন এবং সূচক মডিউল n। কি বোঝার জন্য এটি জানা খুবই গুরুত্বপূর্ণক্রিপ্টোগ্রাফি সর্বোপরি, এটি অনুরূপ অপারেশনগুলির সাথে কাজ করে৷
সঙ্গতি
কিছু ক্রিয়াকলাপ, যেমন বিচ্ছিন্ন লগারিদম বা চতুর্মুখী সমঝোতা খুঁজে বের করা, পূর্ণসংখ্যার ফ্যাক্টরাইজেশনের মতো জটিল বলে মনে হয় এবং এইভাবে ক্রিপ্টোগ্রাফিক অ্যালগরিদম এবং এনক্রিপশনের সূচনা বিন্দু। এই সমস্যাগুলি এনপি-ইন্টারমিডিয়েট হতে পারে৷
উদাহরণ
নিম্নে তিনটি মোটামুটি দ্রুত C ফাংশন রয়েছে - দুটি মডুলার গুণন সম্পাদনের জন্য এবং একটি ক্ষণস্থায়ী ওভারফ্লো ছাড়াই 63 বিট পর্যন্ত স্বাক্ষরবিহীন পূর্ণসংখ্যার জন্য মডুলার সংখ্যা বাড়ানোর জন্য৷
পূর্ণসংখ্যা (1, 2, 3, 4, 5…) আবিষ্কারের কিছুক্ষণ পরেই এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে তারা দুটি দলে বিভক্ত:
- জোড়: 2 দ্বারা বিভাজ্য (0, 2, 4, 6..)।
- বিজোড়: 2 দ্বারা বিভাজ্য নয় (1, 3, 5, 7…)।
কেন এই পার্থক্য গুরুত্বপূর্ণ? এটি বিমূর্ততার শুরু। আমরা সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলি লক্ষ্য করি (যেমন, জোড় বা বিজোড়) এবং শুধুমাত্র সংখ্যাটিই নয় ("37")।
এটি আমাদেরকে একটি গভীর স্তরে গণিত অন্বেষণ করতে এবং নির্দিষ্ট সংখ্যার পরিবর্তে সংখ্যার প্রকারের মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে বের করতে দেয়৷
একটি সংখ্যার বৈশিষ্ট্য
একটি "তিন" হওয়া একটি সংখ্যার আরেকটি বৈশিষ্ট্য। সম্ভবত জোড়/বিজোড়ের মতো অবিলম্বে কার্যকর নয়, তবে এটি সেখানে রয়েছে। আমরা "তেরো x তিন শিরা=তেরো" ইত্যাদির মতো নিয়ম তৈরি করতে পারি। কিন্তু এটা পাগল. আমরা সব সময় নতুন শব্দ করতে পারি না।
মডুলো অপারেশন (অনেক প্রোগ্রামিং ভাষায় সংক্ষিপ্ত মোড বা "%") অবশিষ্ট থাকে যখনবিভাগ উদাহরণস্বরূপ, "5 mod 3=2", যার মানে হল 2 হল অবশিষ্টাংশ যখন আপনি 5 কে 3 দ্বারা ভাগ করেন।
প্রতিদিনের পদগুলিকে গণিতে রূপান্তর করার সময়, একটি "জোড় সংখ্যা" যেখানে এটি "0 মোড 2" হয়, যার অর্থ 2 দ্বারা ভাগ করলে অবশিষ্টটি 0 হয়। একটি বিজোড় সংখ্যা হল "1 মোড 2" (একটি অবশিষ্ট আছে 1 এর মধ্যে).
জোড় এবং বিজোড় সংখ্যা
জোড় x জোড় x বিজোড় x বিজোড় কী? ঠিক আছে, এটা 0 x 0 x 1 x 1=0। আসলে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে কোনো স্থানে জোড় সংখ্যাকে গুণ করা হয়েছে, যেখানে পুরো ফলাফল শূন্য হবে।
মডুলার গণিতের কৌশলটি হল যে আমরা ইতিমধ্যে সময় সঞ্চয় করতে এটি ব্যবহার করেছি - কখনও কখনও "ঘড়ির গাণিতিক" বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ: 7:00 am (am/pm - কোন ব্যাপার না)। ৭ ঘণ্টায় ঘণ্টার হাত কোথায় হবে?
মডুলেশন
(7 + 7) mod 12=(14) mod 12=2 mod 12 [2 হল অবশিষ্টাংশ যখন 14 কে 12 দ্বারা ভাগ করা হয়। সমীকরণ 14 mod 12=2 mod 12 মানে 14 ঘন্টা এবং 2 ঘন্টা দেখায় একটি 12-ঘন্টা ঘড়ি একই. তারা সর্বসম্মত, একটি ট্রিপল সমান চিহ্ন দ্বারা নির্দেশিত: 14 ≡ 2 মোড 12.
আরেকটি উদাহরণ: সকাল ৮:০০ টা। 25 ঘন্টার মধ্যে বড় হাত কোথায় হবে?
25 থেকে 8 যোগ করার পরিবর্তে, আপনি বুঝতে পারবেন যে 25 ঘন্টা হল "1 দিন + 1 ঘন্টা"। উত্তর সহজ। সুতরাং, ঘড়িটি 1 ঘন্টা এগিয়ে শেষ হবে - 9:00 এ।
(8 + 25) মোড 12 ≡ (8) মোড 12 + (25) মোড 12 ≡ (8) মোড 12 + (1) মোড 12 ≡ 9 মোড 12। আপনি স্বজ্ঞাতভাবে 25 থেকে 1 রূপান্তর করেছেন এবং এটি যোগ করেছেন থেকে ৮.
ঘড়িটিকে সাদৃশ্য হিসাবে ব্যবহার করে, আমরা বুঝতে পারি যদিমডুলার পাটিগণিতের নিয়ম, এবং তারা কাজ করে।
যোগ/বিয়োগ
ধরা যাক আমাদের ঘড়িতে দুই বার একই দেখায় ("2:00" এবং "14:00")। যদি আমরা উভয়ের সাথে একই x ঘন্টা যোগ করি, তাহলে কি হবে? ঠিক আছে, তারা ঘড়িতে একই পরিমাণে পরিবর্তন করে! 2:00 + 5 ঘন্টা ≡ 14:00 + 5 ঘন্টা - উভয়ই 7:00 দেখাবে।
কেন? আমরা সহজভাবে 5 যোগ করতে পারি 2টি অবশিষ্টাংশ যা উভয়েরই আছে এবং তারা একইভাবে অগ্রসর হয়। সমস্ত সমার্থক সংখ্যার জন্য (2 এবং 14), যোগ এবং বিয়োগের একই ফলাফল রয়েছে৷
গুণ একই থাকে কিনা তা জানা কঠিন। যদি 14 ≡ 2 (mod 12), তাহলে আমরা কি উভয় সংখ্যাকে গুণ করে একই ফলাফল পেতে পারি? দেখা যাক 3 দিয়ে গুণ করলে কি হয়।
আচ্ছা, 2:003 × 6:00। কিন্তু 14:003 কি?
মনে রাখবেন, 14=12 + 2। তাই আমরা বলতে পারি
143=(12 + 2)3=(123) + (23)
প্রথম অংশ (123) উপেক্ষা করা যায়! 12 ঘন্টার ওভারফ্লো যা 14 বহন করে তা বেশ কয়েকবার নিজেকে পুনরাবৃত্তি করে। কিন্তু কে ভাবে? আমরা যাইহোক ওভারফ্লো উপেক্ষা করি।
গুণ
গুন করার সময়, শুধুমাত্র অবশিষ্টাংশ গুরুত্বপূর্ণ, অর্থাৎ, একই 2 ঘন্টা 14:00 এবং 2:00 এর জন্য। স্বজ্ঞাতভাবে, আমি এইভাবে দেখতে পাচ্ছি যে গুণন মডুলার গণিতের সাথে সম্পর্ক পরিবর্তন করছে না (আপনি একটি মডুলার সম্পর্কের উভয় দিককে গুণ করতে পারেন এবং একই ফলাফল পেতে পারেন)।
আমরা এটি স্বজ্ঞাতভাবে করি, তবে এটির একটি নাম দেওয়া ভাল। আপনার একটি ফ্লাইট বিকাল ৩ টায় পৌঁছাবে। সে14 ঘন্টা বিলম্বিত। কখন অবতরণ করবে?
14 ≡ 2 mod 12. সুতরাং, এটাকে 2টা মনে করুন, তাহলে বিমানটি সকাল 5টায় অবতরণ করবে। সমাধানটি সহজ: 3 + 2=5 am। এটি সাধারণ মডুলো অপারেশনের চেয়ে একটু বেশি জটিল, তবে নীতিটি একই৷
