অক্ষে এবং সমতলে বল প্রক্ষেপণ। পদার্থবিদ্যা

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

পদার্থবিদ্যার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধারণাগুলির মধ্যে একটি হল পাওয়ার। এটি যেকোনো বস্তুর অবস্থার পরিবর্তন ঘটায়। এই নিবন্ধে, আমরা বিবেচনা করব এই মানটি কী, কী কী বল রয়েছে এবং অক্ষে এবং সমতলে বলটির অভিক্ষেপ কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তাও দেখাব৷

শক্তি এবং এর শারীরিক অর্থ

পদার্থবিজ্ঞানে, বল হল একটি ভেক্টরের পরিমাণ যা প্রতি ইউনিট সময়ের একটি শরীরের ভরবেগের পরিবর্তন দেখায়। এই সংজ্ঞা বলকে একটি গতিশীল বৈশিষ্ট্য বলে মনে করে। স্ট্যাটিক্সের দৃষ্টিকোণ থেকে, পদার্থবিদ্যায় বল হল দেহের স্থিতিস্থাপক বা প্লাস্টিকের বিকৃতির একটি পরিমাপ।

আন্তর্জাতিক এসআই সিস্টেম নিউটনে (N) বল প্রকাশ করে। 1 নিউটন কি, ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সের দ্বিতীয় সূত্রের উদাহরণ বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায়। এর গাণিতিক স্বরলিপি নিম্নরূপ:

F¯=ma¯

এখানে F¯ হল কিছু বাহ্যিক বল যা m ভরের শরীরের উপর কাজ করে এবং এর ফলে a¯ ত্বরণ হয়। একটি নিউটনের পরিমাণগত সংজ্ঞা সূত্র থেকে অনুসরণ করা হয়: 1 N হল এমন একটি বল যা প্রতি সেকেন্ডে 1 কেজি বাই 1 m/s ভরের একটি শরীরের গতিতে পরিবর্তন ঘটায়।

ডাইনামিক এর উদাহরণশক্তির বহিঃপ্রকাশ হল একটি গাড়ির ত্বরণ বা পৃথিবীর মহাকর্ষীয় ক্ষেত্রে একটি অবাধে পতনশীল দেহ৷

বলের স্থির প্রকাশ, যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, বিকৃতির ঘটনার সাথে যুক্ত। নিম্নলিখিত সূত্র এখানে দেওয়া উচিত:

F=PS

F=-kx

প্রথম অভিব্যক্তিটি F বলকে P চাপের সাথে সম্পর্কিত করে যা এটি কিছু এলাকায় S এর উপর প্রয়োগ করে। এই সূত্রের মাধ্যমে, 1 N কে 1 m একটি এলাকায় প্রয়োগ করা 1 পাস্কেলের চাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে। 2^{. উদাহরণ স্বরূপ, সমুদ্রপৃষ্ঠে বায়ুমণ্ডলীয় বায়ুর একটি কলাম 1 m}2¹⁰5^{N! একটি সাইটে চাপ দেয়}

দ্বিতীয় অভিব্যক্তিটি হুকের সূত্রের শাস্ত্রীয় রূপ। উদাহরণস্বরূপ, একটি রৈখিক মান x দ্বারা একটি স্প্রিংকে প্রসারিত বা সংকুচিত করার ফলে একটি বিপরীত শক্তি F এর উদ্ভব হয় (অভিব্যক্তিতে k হল আনুপাতিকতা ফ্যাক্টর)।

কী বাহিনী আছে

এটি ইতিমধ্যে উপরে দেখানো হয়েছে যে বাহিনী স্থির এবং গতিশীল হতে পারে। এখানে আমরা বলি যে এই বৈশিষ্ট্যটি ছাড়াও, তারা যোগাযোগ বা দূরপাল্লার বাহিনী হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, ঘর্ষণ বল, সমর্থন প্রতিক্রিয়া হল যোগাযোগ বল। তাদের চেহারার কারণ পাওলি নীতির বৈধতা। পরেরটি বলে যে দুটি ইলেকট্রন একই অবস্থা দখল করতে পারে না। তাই দুটি পরমাণুর স্পর্শ তাদের বিকর্ষণের দিকে নিয়ে যায়।

একটি নির্দিষ্ট বাহক ক্ষেত্রের মাধ্যমে দেহের মিথস্ক্রিয়ার ফলে দীর্ঘ-সীমার বাহিনী উপস্থিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, যেমন মাধ্যাকর্ষণ বল বা ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক মিথস্ক্রিয়া। উভয় শক্তিরই রয়েছে অসীম পরিসর,যাইহোক, দূরত্বের বর্গ হিসাবে তাদের তীব্রতা হ্রাস পায় (কুলম্বের সূত্র এবং মাধ্যাকর্ষণ)।

শক্তি একটি ভেক্টর পরিমাণ

বিবেচিত ভৌত পরিমাণের অর্থের সাথে মোকাবিলা করার পরে, আমরা অক্ষের উপর বল অভিক্ষেপের সমস্যাটির অধ্যয়নে এগিয়ে যেতে পারি। প্রথমত, আমরা লক্ষ্য করি যে এই পরিমাণটি একটি ভেক্টর, অর্থাৎ এটি একটি মডিউল এবং দিকনির্দেশ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আমরা দেখাব কিভাবে বল মডুলাস এবং এর দিক নির্ণয় করা যায়।

এটা জানা যায় যে যেকোন ভেক্টরকে নির্দিষ্ট স্থানাঙ্ক সিস্টেমে অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যদি এর শুরু এবং শেষের স্থানাঙ্কের মানগুলি জানা যায়। অনুমান করুন যে কিছু নির্দেশিত সেগমেন্ট MN¯ আছে। তারপরে নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিগুলি ব্যবহার করে এর দিক এবং মডিউল নির্ধারণ করা যেতে পারে:

MN¯=(x₂-x₁; y₂-y 1_{; z}2_-z1_);

|MN¯|=√((x₂-x₁)²+ (y_{2 -y}1₎2^{+ (z}2_-z1 ₎2^).

এখানে, সূচক 2 এর সাথে স্থানাঙ্কগুলি N বিন্দুর সাথে মিলে যায়, 1 সূচকগুলির সাথে M বিন্দুর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ। ভেক্টর MN¯ M থেকে N এর দিকে নির্দেশিত হয়।

সাধারণতার খাতিরে, আমরা দেখিয়েছি কিভাবে ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি ভেক্টরের মডুলাস এবং স্থানাঙ্ক (দিকনির্দেশ) খুঁজে বের করা যায়। তৃতীয় স্থানাঙ্ক ব্যতীত অনুরূপ সূত্রগুলি বিমানের ক্ষেত্রের জন্য বৈধ৷

এইভাবে, বলের মডুলাস হল এর পরম মান, নিউটনে প্রকাশ করা হয়। জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে, মডুলাস হল নির্দেশিত অংশের দৈর্ঘ্য।

বলের অভিক্ষেপ কিসের উপরঅক্ষ?

অর্ডিনেট অক্ষ এবং সমতলগুলিতে নির্দেশিত অংশগুলির অনুমান সম্পর্কে কথা বলা সবচেয়ে সুবিধাজনক যদি আপনি প্রথমে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরটিকে উত্সে, অর্থাৎ বিন্দুতে (0; 0; 0) রাখেন। ধরুন আমাদের কিছু বল ভেক্টর F¯ আছে। এর শুরুটি বিন্দুতে রাখি (0; 0; 0), তারপর ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

F¯=(x₁- 0); (y₁- 0); (z₁ - 0))=(x₁; y₁; z₁)।

ভেক্টর F¯ প্রদত্ত স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় মহাকাশে বলের দিক দেখায়। এখন F¯ এর শেষ থেকে প্রতিটি অক্ষে লম্ব অংশ আঁকুন। উৎপত্তির সাথে সংশ্লিষ্ট অক্ষের সাথে লম্বের ছেদ বিন্দু থেকে দূরত্বকে অক্ষের উপর বলের অভিক্ষেপ বলা হয়। এটা অনুমান করা কঠিন নয় যে F¯ বলের ক্ষেত্রে, x, y এবং z অক্ষে এর অনুমান হবে x₁, y_{1এবং z 1}, যথাক্রমে। মনে রাখবেন যে এই স্থানাঙ্কগুলি বল অনুমানগুলির মডিউলগুলি দেখায় (সেগমেন্টগুলির দৈর্ঘ্য)।

অর্ডিনেট অক্ষে বল এবং এর অনুমানগুলির মধ্যে কোণ

এই কোণগুলি গণনা করা কঠিন নয়। এটি সমাধান করার জন্য যা প্রয়োজন তা হল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের বৈশিষ্ট্য এবং পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করার ক্ষমতা সম্পর্কে জ্ঞান।

উদাহরণস্বরূপ, আসুন x-অক্ষে বল দিক এবং এর অভিক্ষেপের মধ্যে কোণটি সংজ্ঞায়িত করি। অনুরূপ সমকোণী ত্রিভুজটি কর্ণ (ভেক্টর F¯) এবং পা (সেগমেন্ট x₁) দ্বারা গঠিত হবে। দ্বিতীয় লেগ হল ভেক্টর F¯ এর শেষ থেকে x-অক্ষের দূরত্ব। F¯ এবং x-অক্ষের মধ্যে α কোণটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:

α=arccos(|x₁|/|F¯|)=arccos(x₁/√(x ₁²+y₁²+z₁ ²)).

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, অক্ষ এবং ভেক্টরের মধ্যে কোণ নির্ধারণ করতে, নির্দেশিত অংশের শেষের স্থানাঙ্কগুলি জানা প্রয়োজন এবং যথেষ্ট।

অন্যান্য অক্ষের সাথে কোণের জন্য (y এবং z), আপনি অনুরূপ অভিব্যক্তি লিখতে পারেন:

β=arccos(|y₁|/|F¯|)=arccos(y₁/√(x 12^+y12^+z 12^));

γ=arccos(|z₁|/|F¯|)=arccos(z₁/√(x 12^+y12^+z 12^)).

মনে রাখবেন যে সমস্ত সূত্রে অংকের মডিউল রয়েছে, যা স্থূল কোণগুলির উপস্থিতি দূর করে। বল এবং এর অক্ষীয় অনুমানগুলির মধ্যে, কোণগুলি সর্বদা 90 এর কম বা সমান হয়^o।

অর্ডিনেট প্লেনে বল এবং এর অনুমান

সমতলে বল অভিক্ষেপের সংজ্ঞা অক্ষের মতই, শুধুমাত্র এই ক্ষেত্রে লম্বটিকে অক্ষের উপর নয়, সমতলে নামানো উচিত।

একটি স্থানিক আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ক্ষেত্রে, আমাদের তিনটি পারস্পরিক লম্ব সমতল xy (অনুভূমিক), yz (সামনের উল্লম্ব), xz (পার্শ্বীয় উল্লম্ব) রয়েছে। ভেক্টরের শেষ থেকে নামকৃত প্লেনে নেমে যাওয়া লম্বগুলির ছেদ বিন্দুগুলি হল:

(x₁; y₁; 0) xy;

(x₁; 0; z₁) xz;

zy এর জন্য

(0; y₁; z₁)।

যদি প্রতিটি চিহ্নিত বিন্দু মূলের সাথে সংযুক্ত থাকে, তাহলে আমরা সংশ্লিষ্ট সমতলে F¯ বলের অভিক্ষেপ পাই। বল মডুলাস কি, আমরা জানি। প্রতিটি অভিক্ষেপের মডুলাস খুঁজে পেতে, আপনাকে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করতে হবে। প্লেনের অনুমানগুলিকে F_xy, F_xz এবং F_zy হিসাবে বোঝাই। তারপর সমতা তাদের মডিউলগুলির জন্য বৈধ হবে:

F_xy=√(x₁²+y₁ ²);

F_xz=√(x₁²+ z₁ ²);

F_zy=√(y₁²+ z₁ ²).

প্লেনে অনুমান এবং বল ভেক্টরের মধ্যে কোণ

উপরের অনুচ্ছেদে, বিবেচিত ভেক্টর F¯ এর সমতলে অনুমানগুলির মডিউলগুলির জন্য সূত্র দেওয়া হয়েছিল। এই অনুমানগুলি, F¯ অংশ এবং এর প্রান্ত থেকে সমতলের দূরত্ব সহ, সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে। অতএব, অক্ষের অনুমানগুলির ক্ষেত্রে, আপনি প্রশ্নে কোণগুলি গণনা করতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করতে পারেন। আপনি নিম্নলিখিত সমতা লিখতে পারেন:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(√(x₁2) +y¹2_{) /√(x}1^{2 +y}1_2+z1^2));

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(√(x₁^{2) +z}1₂)/√(x¹2 +y₁2+z¹2));

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(√(y₁^2+z1₂)/√(x¹₂+y¹2 _+z1²))।

এটা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ যে F¯ বলের দিক এবং সমতলে এর সংশ্লিষ্ট অভিক্ষেপের মধ্যে কোণ F¯ এবং এই সমতলের মধ্যে কোণের সমান। যদি আমরা জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে এই সমস্যাটিকে বিবেচনা করি, তাহলে আমরা বলতে পারি যে নির্দেশিত সেগমেন্ট F¯টি প্লেন xy, xz এবং zy এর সাপেক্ষে ঝুঁকে আছে।

কোথায় বল প্রক্ষেপণ ব্যবহার করা হয়?

অর্ডিনেট অক্ষ এবং সমতলে বল অনুমানের জন্য উপরের সূত্রগুলি শুধুমাত্র তাত্ত্বিক আগ্রহের নয়। এগুলি প্রায়শই শারীরিক সমস্যা সমাধানে ব্যবহৃত হয়। অনুমান খুঁজে পাওয়ার প্রক্রিয়াটিকে তার উপাদানগুলির মধ্যে বলের পচন বলা হয়। পরেরটি ভেক্টর, যার সমষ্টি মূল বল ভেক্টর দিতে হবে। সাধারণ ক্ষেত্রে, বলটিকে নির্বিচারে উপাদানগুলিতে পচানো সম্ভব, তবে সমস্যা সমাধানের জন্য, লম্ব অক্ষ এবং সমতলগুলিতে অনুমানগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক৷

যেসব সমস্যায় বল প্রজেকশনের ধারণা প্রয়োগ করা হয় তা খুব আলাদা হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একই নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুমান করে যে শরীরের উপর ক্রিয়াশীল বাহ্যিক শক্তি F¯ অবশ্যই বেগ ভেক্টর v¯ এর মতো একইভাবে নির্দেশিত হতে হবে। যদি তাদের দিকনির্দেশগুলি কিছু কোণ দ্বারা পৃথক হয়, তবে, সমতা বৈধ থাকার জন্য, একজনকে এটিতে প্রতিস্থাপন করা উচিত F¯ নিজেই বল নয়, তবে এর অভিক্ষেপ v¯.

পরবর্তী, আমরা কয়েকটি উদাহরণ দেব, যেখানে আমরা দেখাব কিভাবে রেকর্ড করা ব্যবহার করতে হয়সূত্র।

সমতলে এবং স্থানাঙ্ক অক্ষে বল অনুমান নির্ধারণের কাজ

অনুমান করুন যে কিছু বল F¯ আছে, যা একটি ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয় যার নিচের শেষ এবং শুরু স্থানাঙ্ক রয়েছে:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1)।

এটি শক্তির মডুলাস নির্ধারণ করা প্রয়োজন, সেইসাথে স্থানাঙ্ক অক্ষ এবং সমতলগুলিতে এর সমস্ত অনুমান এবং F¯ এবং এর প্রতিটি অনুমানগুলির মধ্যে কোণগুলি নির্ধারণ করা প্রয়োজন৷

আসুন ভেক্টর F¯ এর স্থানাঙ্ক গণনা করে সমস্যার সমাধান করা শুরু করি। আমাদের আছে:

F¯=(-1; 4; -1) - (2; 0; 1)=(-3; 4; -2)।

তারপর বলের মডুলাস হবে:

|F¯|=√(9 + 16 + 4)=√29 ≈ 5, 385 N.

স্থানাঙ্ক অক্ষের উপর অনুমানগুলি F¯ ভেক্টরের সংশ্লিষ্ট স্থানাঙ্কের সমান। আসুন তাদের এবং F¯ অভিমুখের মধ্যে কোণগুলি গণনা করি। আমাদের আছে:

α=arccos(|-3 |/5, 385) ≈ 56, 14^o;

β=arccos(|4|/5, 385) ≈ 42, 03^o;

γ=arccos(|-2|/5, 385) ≈ 68, 20^o.

যেহেতু ভেক্টর F¯ এর স্থানাঙ্কগুলি জানা যায়, তাই স্থানাঙ্ক সমতলে বল প্রজেকশনের মডিউলগুলি গণনা করা সম্ভব। উপরের সূত্রগুলি ব্যবহার করে, আমরা পাই:

F_xy=√(9 +16)=5 N;

F_xz=√(9 + 4)=3, 606 N;

F_zy=√(16 + 4)=4, 472 N.

অবশেষে, প্লেনে পাওয়া অনুমান এবং বল ভেক্টরের মধ্যে কোণগুলি গণনা করা বাকি থাকে। আমাদের আছে:

α=arccos(F_xy/|F¯|)=arccos(5/5, 385) ≈ 21, 8^o;

β=arccos(F_xz/|F¯|)=arccos(3, 606/5, 385) ≈ 48, 0^o;

γ=arccos(F_zy/|F¯|)=arccos(4, 472/5, 385) ≈ 33, 9^{o ।}

এইভাবে, ভেক্টর F¯ xy স্থানাঙ্ক সমতলের সবচেয়ে কাছে।

একটি ঝুঁকে থাকা প্লেনে স্লাইডিং বারে সমস্যা

এখন একটি শারীরিক সমস্যা সমাধান করা যাক যেখানে বল প্রক্ষেপণের ধারণাটি প্রয়োগ করা প্রয়োজন। একটি কাঠের বাঁক প্লেন দেওয়া যাক. দিগন্তের দিকে এর প্রবণতার কোণ হল 45^o। সমতলে একটি কাঠের ব্লক রয়েছে যার ভর 3 কেজি। স্লাইডিং ঘর্ষণ সহগ 0.7 যদি জানা যায় যে এই বারটি কোন ত্বরণের সাথে সমতলের নিচে নামবে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

প্রথমে, শরীরের গতির সমীকরণ করা যাক। যেহেতু শুধুমাত্র দুটি বল এটিতে কাজ করবে (একটি সমতলে অভিকর্ষের অভিক্ষেপ এবং ঘর্ষণ বল), সমীকরণটি রূপ নেবে: