সিলিন্ডার: পার্শ্ব পৃষ্ঠ এলাকা। একটি সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

স্টেরিওমেট্রি অধ্যয়ন করার সময়, একটি প্রধান বিষয় হল "সিলিন্ডার"। পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এলাকা বিবেচনা করা হয়, যদি প্রধান না হয়, তাহলে জ্যামিতিক সমস্যা সমাধানে একটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র। যাইহোক, সংজ্ঞাগুলি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যা আপনাকে উদাহরণগুলির মাধ্যমে এবং বিভিন্ন উপপাদ্য প্রমাণ করার সময় নেভিগেট করতে সাহায্য করবে৷

সিলিন্ডার ধারণা

প্রথমে আমাদের কয়েকটি সংজ্ঞা বিবেচনা করতে হবে। শুধুমাত্র সেগুলি অধ্যয়ন করার পরে কেউ একটি সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্রের প্রশ্নটি বিবেচনা করতে শুরু করতে পারে। এই এন্ট্রির উপর ভিত্তি করে, অন্যান্য অভিব্যক্তি গণনা করা যেতে পারে।

• একটি নলাকার পৃষ্ঠটি একটি জেনারাট্রিক্স দ্বারা বর্ণিত একটি সমতল হিসাবে বোঝা যায়, একটি প্রদত্ত দিকের সমান্তরালে চলমান এবং অবশিষ্ট থাকে, একটি বিদ্যমান বক্ররেখা বরাবর স্লাইড করে৷
• একটি দ্বিতীয় সংজ্ঞাও রয়েছে: একটি নলাকার পৃষ্ঠটি একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখাকে ছেদ করে সমান্তরাল রেখাগুলির একটি সেট দ্বারা গঠিত হয়৷
• জেনারেটিভকে প্রচলিতভাবে সিলিন্ডারের উচ্চতা বলা হয়। যখন এটি বেসের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি অক্ষের চারপাশে ঘোরে,মনোনীত জ্যামিতিক বডি পাওয়া যায়।
• অক্ষের নীচে একটি সরল রেখা বোঝায় যা চিত্রের উভয় ভিত্তির মধ্য দিয়ে যায়।
• একটি সিলিন্ডার একটি স্টেরিওমেট্রিক বডি যা একটি ছেদকারী পার্শ্বীয় পৃষ্ঠ এবং 2টি সমান্তরাল সমতল দ্বারা আবদ্ধ।

এই ত্রিমাত্রিক চিত্রের বিভিন্ন প্রকার রয়েছে:

1. বৃত্তাকার একটি সিলিন্ডার যার গাইড একটি বৃত্ত। এর প্রধান উপাদান হল বেসের ব্যাসার্ধ এবং জেনারাট্রিক্স। পরেরটি চিত্রটির উচ্চতার সমান৷
2. একটি সোজা সিলিন্ডার আছে। এটির নামটি হয়েছে চিত্রের ভিত্তির জেনাট্রিক্সের লম্বতার কারণে।
3. তৃতীয় ধরণের একটি বেভেলড সিলিন্ডার। পাঠ্যপুস্তকগুলিতে, আপনি এটির আরেকটি নামও খুঁজে পেতে পারেন - "বেভেলযুক্ত বেস সহ বৃত্তাকার সিলিন্ডার।" এই চিত্রটি বেসের ব্যাসার্ধ, সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা সংজ্ঞায়িত করে৷
4. একটি সমবাহু সিলিন্ডার একটি বৃত্তাকার সমতলের সমান উচ্চতা এবং ব্যাস বিশিষ্ট একটি বডি হিসাবে বোঝা হয়৷

প্রতীক

ঐতিহ্যগতভাবে, একটি সিলিন্ডারের প্রধান "উপাদান"কে নিম্নরূপ বলা হয়:

• বেসের ব্যাসার্ধ হল R (এটি একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের একই মান প্রতিস্থাপন করে)।
• জেনারেটিভ – এল.
• উচ্চতা – H.
• বেস এলাকা - S_{বেস (অন্য কথায়, আপনাকে নির্দিষ্ট সার্কেল প্যারামিটার খুঁজে বের করতে হবে)।}
• বেভেলড সিলিন্ডারের উচ্চতা – h₁, h_{2 (সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন)।}
• পার্শ্বের ক্ষেত্রফল - S_{সাইড (যদি আপনি এটি প্রসারিত করেন তবে আপনি পাবেনএকটি আয়তক্ষেত্রের মতো)।}
• একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের আয়তন - V.
• মোট পৃষ্ঠ এলাকা – S.

একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের "উপাদান"

একটি সিলিন্ডার অধ্যয়ন করার সময়, পার্শ্বীয় পৃষ্ঠতল একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। এটি এই কারণে যে এই সূত্রটি আরও বেশ কয়েকটি, আরও জটিলগুলির মধ্যে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তাই তত্ত্বে পারদর্শী হওয়া প্রয়োজন।

চিত্রের প্রধান উপাদানগুলো হল:

1. পাশের পৃষ্ঠ। আপনি জানেন যে, এটি একটি প্রদত্ত বক্ররেখা বরাবর জেনারাট্রিক্সের নড়াচড়ার কারণে প্রাপ্ত হয়।
2. পূর্ণ পৃষ্ঠে বিদ্যমান ঘাঁটি এবং পাশের সমতল অন্তর্ভুক্ত।
3. একটি সিলিন্ডারের বিভাগটি, একটি নিয়ম হিসাবে, চিত্রের অক্ষের সমান্তরালে অবস্থিত একটি আয়তক্ষেত্র। অন্যথায়, এটি একটি সমতল বলা হয়। এটা দেখা যাচ্ছে যে দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থ হল অন্যান্য পরিসংখ্যানের খণ্ডকালীন উপাদান। সুতরাং, শর্তসাপেক্ষে, বিভাগের দৈর্ঘ্যগুলি জেনারেটর। প্রস্থ - একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের সমান্তরাল জ্যা।
4. অক্ষীয় বিভাগ মানে শরীরের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে প্লেনের অবস্থান।
5. এবং পরিশেষে, চূড়ান্ত সংজ্ঞা। একটি স্পর্শক হল একটি সমতল যা সিলিন্ডারের জেনারাট্রিক্সের মধ্য দিয়ে এবং অক্ষীয় বিভাগে সমকোণে যায়। এই ক্ষেত্রে, একটি শর্ত পূরণ করতে হবে। নির্দিষ্ট জেনাট্রিক্স অবশ্যই অক্ষীয় বিভাগের সমতলে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

সিলিন্ডারের সাথে কাজ করার জন্য প্রাথমিক সূত্র

একটি সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় এই প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের প্রধান "উপাদান" এবং সেগুলি খুঁজে বের করার সূত্রগুলি অধ্যয়ন করা প্রয়োজন৷

এই সূত্রগুলির মধ্যে পার্থক্য রয়েছে যে প্রথমে বেভেলড সিলিন্ডারের জন্য অভিব্যক্তি দেওয়া হয় এবং তারপর সোজাটির জন্য।

নির্মিত উদাহরণ

টাস্ক ১।

সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল জানা প্রয়োজন। সেকশনটির কর্ণ AC=8 সেমি দেওয়া হয়েছে (তাছাড়া, এটি অক্ষীয়)। জেনারাট্রিক্সের সাথে যোগাযোগ করলে দেখা যায় _<ACD=30°

সিদ্ধান্ত। যেহেতু তির্যক এবং কোণের মানগুলি পরিচিত, তাই এই ক্ষেত্রে:

CD=ACcos 30°।

মন্তব্য। ত্রিভুজ ACD, এই বিশেষ উদাহরণে, একটি সমকোণী ত্রিভুজ। এর মানে হল CD এবং AC ভাগ করার ভাগফল=প্রদত্ত কোণের কোসাইন। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান একটি বিশেষ টেবিলে পাওয়া যাবে।

একইভাবে, আপনি AD এর মান খুঁজে পেতে পারেন:

AD=ACsin 30°

এখন আপনাকে নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে পছন্দসই ফলাফল গণনা করতে হবে: সিলিন্ডারের পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল "পাই", চিত্রের ব্যাসার্ধ এবং এর উচ্চতা গুণ করার ফলে দ্বিগুণের সমান। আরেকটি সূত্রও ব্যবহার করা উচিত: সিলিন্ডারের গোড়ার ক্ষেত্রফল। এটি ব্যাসার্ধের বর্গ দ্বারা "pi" গুন করার ফলাফলের সমান। এবং অবশেষে, শেষ সূত্র: মোট পৃষ্ঠ এলাকা। এটি পূর্ববর্তী দুটি এলাকার যোগফলের সমান৷

টাস্ক 2।

সিলিন্ডার দেওয়া হয়। তাদের আয়তন=128n cm³. কোন সিলিন্ডারে সবচেয়ে ছোটসম্পূর্ণ পৃষ্ঠ?

সিদ্ধান্ত। প্রথমে আপনাকে একটি চিত্রের আয়তন এবং এর উচ্চতা খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হবে৷

যেহেতু একটি সিলিন্ডারের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল তত্ত্ব থেকে জানা যায়, তাই এর সূত্র অবশ্যই প্রয়োগ করতে হবে।

যদি আমরা ফলাফলের সূত্রটিকে সিলিন্ডারের ক্ষেত্রফলের একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করি, তাহলে সর্বনিম্ন "সূচক" চরম বিন্দুতে পৌঁছে যাবে। শেষ মান পেতে, আপনাকে পার্থক্য ব্যবহার করতে হবে।

ডেরিভেটিভগুলি খুঁজে বের করার জন্য সূত্রগুলি একটি বিশেষ টেবিলে দেখা যেতে পারে। ভবিষ্যতে, পাওয়া ফলাফলকে শূন্যের সমান করা হবে এবং সমীকরণের সমাধান পাওয়া যাবে।

উত্তর: S_{মিনিট পৌঁছাবে h=1/32 সেমি, R=64 সেমি।}

সমস্যা ৩.

একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্র দেওয়া হয়েছে - একটি সিলিন্ডার এবং একটি বিভাগ। পরেরটি এমনভাবে বাহিত হয় যে এটি স্টেরিওমেট্রিক বডির অক্ষের সমান্তরালে অবস্থিত। সিলিন্ডারে নিম্নলিখিত প্যারামিটার রয়েছে: VK=17 সেমি, h=15 সেমি, R=5 সেমি। বিভাগ এবং অক্ষের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করা প্রয়োজন।

সিদ্ধান্ত।

যেহেতু একটি সিলিন্ডারের ক্রস সেকশনটি VSCM, অর্থাৎ একটি আয়তক্ষেত্র হিসেবে বোঝা যায়, এর পার্শ্ব VM=h। WMC বিবেচনা করা প্রয়োজন. ত্রিভুজটি আয়তাকার। এই বিবৃতির উপর ভিত্তি করে, আমরা সঠিক অনুমান নির্ণয় করতে পারি যে MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

এখান থেকে আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে MK=BC=8 সেমি।

পরবর্তী ধাপ হল চিত্রের ভিত্তি দিয়ে একটি বিভাগ আঁকা। এটি ফলাফল সমতল বিবেচনা করা প্রয়োজন.

AD – একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের ব্যাস। এটি সমস্যা বিবৃতিতে উল্লিখিত বিভাগের সমান্তরাল৷

BC হল বিদ্যমান আয়তক্ষেত্রের সমতলে অবস্থিত একটি সরল রেখা৷

ABCD একটি ট্র্যাপিজয়েড। একটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, এটি সমদ্বিবাহু হিসাবে বিবেচিত হয়, যেহেতু এটির চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণিত হয়৷

আপনি যদি ফলস্বরূপ ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা খুঁজে পান তবে আপনি সমস্যার শুরুতে দেওয়া উত্তরটি পেতে পারেন। যথা: অক্ষ এবং অঙ্কিত অংশের মধ্যে দূরত্ব খুঁজে বের করা।

এটি করার জন্য, আপনাকে AD এবং OS এর মান খুঁজে বের করতে হবে।

উত্তর: বিভাগটি অক্ষ থেকে 3 সেমি দূরে অবস্থিত।

উপাদান একত্রিত করতে সমস্যা

উদাহরণ ১.

সিলিন্ডার দেওয়া হয়েছে। পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠ এলাকা পরবর্তী সমাধান ব্যবহার করা হয়. অন্যান্য বিকল্পগুলি পরিচিত। বেসের ক্ষেত্রফল হল Q, অক্ষীয় অংশের ক্ষেত্রফল হল M। S বের করতে হবে। অন্য কথায়, সিলিন্ডারের মোট ক্ষেত্রফল।

উদাহরণ 2.

সিলিন্ডার দেওয়া হয়েছে। সমস্যা সমাধানের একটি ধাপে পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল অবশ্যই পাওয়া যাবে। এটি জানা যায় যে উচ্চতা=4 সেমি, ব্যাসার্ধ=2 সেমি। একটি স্টেরিওমেট্রিক চিত্রের মোট ক্ষেত্রফল বের করা প্রয়োজন।