অভ্যাসে, কাজগুলি প্রায়শই দেখা দেয় যেগুলির জন্য বিভিন্ন আকারের জ্যামিতিক আকারের বিভাগগুলি তৈরি করার এবং বিভাগগুলির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার ক্ষমতা প্রয়োজন৷ এই নিবন্ধে, আমরা প্রিজম, পিরামিড, শঙ্কু এবং সিলিন্ডারের গুরুত্বপূর্ণ অংশগুলি কীভাবে তৈরি করা হয় এবং কীভাবে তাদের ক্ষেত্রগুলি গণনা করা যায় তা দেখব।
3D পরিসংখ্যান
স্টেরিওমেট্রি থেকে জানা যায় যে একেবারে যেকোনো ধরনের ত্রিমাত্রিক চিত্র অনেকগুলি পৃষ্ঠের দ্বারা সীমাবদ্ধ। উদাহরণস্বরূপ, প্রিজম এবং পিরামিডের মতো পলিহেড্রার জন্য, এই পৃষ্ঠগুলি হল বহুভুজ বাহু। একটি সিলিন্ডার এবং একটি শঙ্কুর জন্য, আমরা নলাকার এবং শঙ্কুযুক্ত চিত্রগুলির বিপ্লবের পৃষ্ঠগুলির কথা বলছি৷
যদি আমরা একটি সমতল নিই এবং নির্বিচারে একটি ত্রিমাত্রিক চিত্রের পৃষ্ঠকে ছেদ করি, আমরা একটি বিভাগ পাব। এর ক্ষেত্রফল সমতলের অংশের ক্ষেত্রফলের সমান যা চিত্রটির আয়তনের ভিতরে থাকবে। এই এলাকার সর্বনিম্ন মান শূন্য, যা সমতল চিত্রটি স্পর্শ করলে উপলব্ধি হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি অংশ যা একটি একক বিন্দু দ্বারা গঠিত হয় তা প্রাপ্ত হয় যদি সমতলটি একটি পিরামিড বা শঙ্কুর শীর্ষ দিয়ে যায়। ক্রস-বিভাগীয় এলাকার সর্বোচ্চ মান নির্ভর করেচিত্র এবং সমতলের আপেক্ষিক অবস্থান, সেইসাথে চিত্রের আকার এবং আকার।
নীচে, আমরা বিবেচনা করব কীভাবে বিপ্লবের দুটি চিত্র (সিলিন্ডার এবং শঙ্কু) এবং দুটি পলিহেড্রার (পিরামিড এবং প্রিজম) জন্য গঠিত বিভাগের ক্ষেত্রফল গণনা করা যায়।
সিলিন্ডার
বৃত্তাকার সিলিন্ডার হল একটি আয়তক্ষেত্রের ঘূর্ণনের একটি চিত্র যা এর যেকোনো বাহুর চারপাশে। সিলিন্ডার দুটি রৈখিক পরামিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: বেস ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h। নীচের চিত্রটি দেখায় যে একটি বৃত্তাকার সোজা সিলিন্ডার দেখতে কেমন।
এই চিত্রটির জন্য তিনটি গুরুত্বপূর্ণ বিভাগের প্রকার রয়েছে:
- বৃত্তাকার;
- আয়তাকার;
- উপবৃত্তাকার।
উপবৃত্তাকারটি চিত্রটির পাশের পৃষ্ঠটিকে তার ভিত্তির কিছু কোণে ছেদ করার ফলে তৈরি হয়। বৃত্তাকার হল সিলিন্ডারের ভিত্তির সমান্তরাল পার্শ্ব পৃষ্ঠের কাটিয়া সমতলের ছেদগুলির ফলাফল। অবশেষে, একটি আয়তক্ষেত্রাকার পাওয়া যায় যদি কাটিং প্লেনটি সিলিন্ডারের অক্ষের সমান্তরাল হয়।
বৃত্তাকার এলাকা সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
S1=পাইr2
অক্ষীয় বিভাগের ক্ষেত্রফল, অর্থাৎ আয়তক্ষেত্রাকার, যা সিলিন্ডারের অক্ষের মধ্য দিয়ে যায়, নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:
S2=2rh
শঙ্কু বিভাগ
একটি শঙ্কু একটি পায়ের চারপাশে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ঘূর্ণনের একটি চিত্র। শঙ্কুটির একটি শীর্ষ এবং একটি বৃত্তাকার ভিত্তি রয়েছে। এর পরামিতিগুলিও ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h। একটি কাগজের শঙ্কুর একটি উদাহরণ নীচে দেখানো হয়েছে৷
অনেক ধরনের কনিক সেকশন আছে। তাদের তালিকা করা যাক:
- বৃত্তাকার;
- উপবৃত্তাকার;
- প্যারাবলিক;
- হাইপারবোলিক;
- ত্রিভুজাকার।
এরা একে অপরকে প্রতিস্থাপন করে যদি আপনি বৃত্তাকার ভিত্তির সাথে সাপেক্ষে সেকেন্ট প্লেনের প্রবণতার কোণ বাড়ান। সবচেয়ে সহজ উপায় হল বৃত্তাকার এবং ত্রিভুজাকার ক্রস-বিভাগীয় এলাকার জন্য সূত্রগুলি লিখে রাখা।
বেসের সমান্তরাল সমতলের সাথে একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠের ছেদ করার ফলে একটি বৃত্তাকার বিভাগ তৈরি হয়। এর এলাকার জন্য, নিম্নলিখিত সূত্রটি বৈধ:
S1=পাইr2z2/h 2
এখানে z হল চিত্রের শীর্ষ থেকে গঠিত অংশের দূরত্ব। এটা দেখা যায় যে যদি z=0 হয়, তাহলে সমতলটি শুধুমাত্র শীর্ষবিন্দু দিয়ে যায়, তাই ক্ষেত্রফল S1 শূন্যের সমান হবে। z < h থেকে, অধ্যয়নের অধীন বিভাগের ক্ষেত্রটি সর্বদা বেসের জন্য এর মানের চেয়ে কম হবে।
ত্রিভুজাকার প্রাপ্ত হয় যখন সমতল চিত্রটিকে তার ঘূর্ণনের অক্ষ বরাবর ছেদ করে। ফলস্বরূপ অংশের আকৃতিটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ হবে, যার বাহুগুলি হল বেসের ব্যাস এবং শঙ্কুর দুটি জেনারেটর। কিভাবে একটি ত্রিভুজাকার ক্রস-বিভাগীয় এলাকা খুঁজে বের করবেন? এই প্রশ্নের উত্তর হবে নিম্নোক্ত সূত্র:
S2=rh
এই সমতা পাওয়া যায় একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র প্রয়োগ করে এর বেস এবং উচ্চতার দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে।
প্রিজম বিভাগ
প্রিজম হল একটি বৃহৎ শ্রেণীর পরিসংখ্যান যা একে অপরের সমান্তরালে দুটি অভিন্ন বহুভুজ ভিত্তির উপস্থিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,সমান্তরালগ্রাম দ্বারা সংযুক্ত। প্রিজমের যেকোন অংশ একটি বহুভুজ। বিবেচনাধীন পরিসংখ্যানের বৈচিত্র্যের পরিপ্রেক্ষিতে (তির্যক, সোজা, এন-গোনাল, নিয়মিত, অবতল প্রিজম), তাদের বিভাগগুলির বৈচিত্রও দুর্দান্ত। নীচে, আমরা শুধুমাত্র কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে বিবেচনা করি৷
যদি কাটিং প্লেন বেসের সমান্তরাল হয়, তাহলে প্রিজমের ক্রস-বিভাগীয় ক্ষেত্রফল এই বেসের ক্ষেত্রফলের সমান হবে।
যদি সমতলটি দুটি বেসের জ্যামিতিক কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যায়, অর্থাৎ এটি চিত্রের পাশের প্রান্তের সমান্তরাল হয়, তাহলে বিভাগে একটি সমান্তরালগ্রাম তৈরি হয়। সোজা এবং নিয়মিত প্রিজমের ক্ষেত্রে, বিবেচনা করা বিভাগ দৃশ্যটি একটি আয়তক্ষেত্র হবে।
পিরামিড
পিরামিড হল আরেকটি পলিহেড্রন যা একটি এন-গন এবং এন ত্রিভুজ নিয়ে গঠিত। একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের একটি উদাহরণ নীচে দেখানো হয়েছে৷
যদি অংশটি n-গোনাল বেসের সমান্তরাল সমতল দ্বারা আঁকা হয়, তাহলে এর আকৃতি হবে বেসের আকৃতির সমান। এই ধরনের একটি বিভাগের ক্ষেত্রফল সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
S1=So(h-z)2/h 2
যেখানে z হল বেস থেকে সেকশন প্লেনের দূরত্ব, So হল বেসের ক্ষেত্রফল।
যদি কাটিং প্লেনে পিরামিডের শীর্ষ থাকে এবং এর ভিত্তিটি ছেদ করে, তাহলে আমরা একটি ত্রিভুজাকার অংশ পাই। এর ক্ষেত্রফল গণনা করতে, আপনাকে অবশ্যই একটি ত্রিভুজের জন্য উপযুক্ত সূত্রের ব্যবহার উল্লেখ করতে হবে।
