এই নিবন্ধটি গণিতের একটি বিশেষ বিভাগে ফোকাস করবে যাকে কম্বিনেটরিক্স বলা হয়। সূত্র, নিয়ম, সমস্যা সমাধানের উদাহরণ - এই সমস্ত আপনি নিবন্ধটি শেষ পর্যন্ত পড়ে এখানে খুঁজে পেতে পারেন।
তাহলে, এই বিভাগটি কী? কম্বিনেটরিক্স কোনো বস্তু গণনা করার বিষয় নিয়ে কাজ করে। তবে এই ক্ষেত্রে, বস্তুগুলি বরই, নাশপাতি বা আপেল নয়, অন্য কিছু। কম্বিনেটরিক্স আমাদের একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা খুঁজে পেতে সাহায্য করে। উদাহরণস্বরূপ, তাস খেলার সময়, প্রতিপক্ষের ট্রাম্প কার্ড থাকার সম্ভাবনা কত? বা যেমন একটি উদাহরণ - আপনি বিশ বল একটি ব্যাগ থেকে ঠিক সাদা পেতে সম্ভাবনা কি? এই ধরনের কাজের জন্য আমাদের গণিতের এই বিভাগের অন্তত মৌলিক বিষয়গুলো জানতে হবে।
যৌগিক কনফিগারেশন
সংযোজনবিদ্যার মৌলিক ধারণা এবং সূত্রের বিষয়টি বিবেচনা করে, আমরা সমন্বয়মূলক কনফিগারেশনগুলিতে মনোযোগ দিতে পারি না। এগুলি কেবল প্রণয়নের জন্যই নয়, বিভিন্ন সমন্বিত সমস্যা সমাধানের জন্যও ব্যবহৃত হয়। এই ধরনের মডেলের উদাহরণ হল:
- প্লেসমেন্ট;
- ক্রমক্রম;
- সংমিশ্রণ;
- সংখ্যা রচনা;
- বিভক্ত নম্বর।
আমরা প্রথম তিনটি সম্পর্কে পরে আরও বিস্তারিতভাবে কথা বলব, তবে আমরা এই বিভাগে রচনা এবং বিভাজনের দিকে মনোযোগ দেব। যখন তারা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সংমিশ্রণ সম্পর্কে কথা বলে (বলুন, ক), তখন তারা কিছু ধনাত্মক সংখ্যার একটি ক্রমযুক্ত যোগফল হিসাবে a সংখ্যাটির উপস্থাপনাকে বোঝায়। এবং একটি বিভাজন একটি অ-ক্রমবিহীন যোগফল।
বিভাগ
আমরা সরাসরি কম্বিনেটরিক্সের সূত্র এবং সমস্যার বিবেচনায় যাওয়ার আগে, গণিতের অন্যান্য বিভাগের মতো কম্বিনেটরিক্সেরও নিজস্ব উপধারা রয়েছে এই বিষয়টির প্রতি মনোযোগ দেওয়া উচিত। এর মধ্যে রয়েছে:
- গণনামূলক;
- কাঠামোগত;
- চরম;
- রামসি তত্ত্ব;
- সম্ভাব্য;
- টপোলজিক্যাল;
- অসীম।
প্রথম ক্ষেত্রে, আমরা গণনামূলক সংমিশ্রণ সম্পর্কে কথা বলছি, সমস্যাগুলি সেটের উপাদান দ্বারা গঠিত বিভিন্ন কনফিগারেশনের গণনা বা গণনাকে বিবেচনা করে। একটি নিয়ম হিসাবে, এই সেটগুলিতে কিছু বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় (পার্থক্য, অভেদযোগ্যতা, পুনরাবৃত্তির সম্ভাবনা এবং আরও অনেক কিছু)। এবং এই কনফিগারেশনের সংখ্যা যোগ বা গুণের নিয়ম ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যা আমরা একটু পরে কথা বলব। স্ট্রাকচারাল কম্বিনেটরিক্স গ্রাফ এবং ম্যাট্রয়েডের তত্ত্ব অন্তর্ভুক্ত করে। একটি চরম সমন্বয় সমস্যার একটি উদাহরণ হল একটি গ্রাফের বৃহত্তম মাত্রা যা নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে… চতুর্থ অনুচ্ছেদে, আমরা রামসে তত্ত্ব উল্লেখ করেছি, যা এলোমেলো কনফিগারেশনে নিয়মিত কাঠামোর উপস্থিতি অধ্যয়ন করে। সম্ভাব্যকম্বিনেটরিক্স প্রশ্নের উত্তর দিতে সক্ষম - প্রদত্ত সেটের একটি নির্দিষ্ট সম্পত্তি থাকার সম্ভাবনা কত। আপনি অনুমান করতে পারেন, টপোলজিকাল কম্বিনেটরিক্স টপোলজিতে পদ্ধতি প্রয়োগ করে। এবং পরিশেষে, সপ্তম পয়েন্ট - অসীম সংমিশ্রণবিদ্যা অসীম সেটে সমন্বয় পদ্ধতির প্রয়োগ অধ্যয়ন করে।
সংযোজন নিয়ম
সংযোজনবিদ্যার সূত্রগুলির মধ্যে, কেউ বেশ সহজগুলি খুঁজে পেতে পারেন, যার সাথে আমরা দীর্ঘদিন ধরে পরিচিত। একটি উদাহরণ যোগ নিয়ম. ধরুন আমাদের দুটি ক্রিয়া (C এবং E) দেওয়া হয়েছে, যদি সেগুলি পারস্পরিকভাবে একচেটিয়া হয়, তবে ক্রিয়া C বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, a), এবং কর্ম E করা যেতে পারে b- উপায়ে, তাহলে তাদের মধ্যে যে কোনোটি (C) বা ই) a + b উপায়ে করা যেতে পারে।
তত্ত্বগতভাবে, এটি বোঝা বেশ কঠিন, আমরা একটি সাধারণ উদাহরণ দিয়ে পুরো বিষয়টি বোঝানোর চেষ্টা করব। একটি ক্লাসে ছাত্রদের গড় সংখ্যা ধরা যাক - ধরা যাক এটি পঁচিশ। তাদের মধ্যে পনেরোটি মেয়ে ও দশজন ছেলে রয়েছে। প্রতিদিন ক্লাসে একজন পরিচারক নিয়োগ করা হয়। আজ একটি ক্লাস অ্যাটেনডেন্ট নিয়োগের কত উপায় আছে? সমস্যার সমাধান বেশ সহজ, আমরা সংযোজন নিয়ম অবলম্বন করব। টাস্কের টেক্সট বলে না যে শুধুমাত্র ছেলেরা বা শুধুমাত্র মেয়েরা দায়িত্ব পালন করতে পারে। অতএব, এটি পনেরোটি মেয়ে বা দশটি ছেলের যে কোনও একটি হতে পারে। যোগফলের নিয়ম প্রয়োগ করে, আমরা একটি মোটামুটি সহজ উদাহরণ পাই যা একজন প্রাথমিক বিদ্যালয়ের ছাত্র সহজেই মোকাবেলা করতে পারে: 15 + 10। গণনা করার পরে, আমরা উত্তর পাই: পঁচিশ। অর্থাৎ মাত্র পঁচিশটি উপায় আছেআজকের জন্য একটি ডিউটি ক্লাস বরাদ্দ করুন।
গুনের নিয়ম
গুণের নিয়মটিও কম্বিনেটরিক্সের মৌলিক সূত্রের অন্তর্গত। তত্ত্ব দিয়ে শুরু করা যাক। ধরুন আমাদের বেশ কয়েকটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে হবে (a): প্রথম ক্রিয়াটি 1 উপায়ে সঞ্চালিত হয়, দ্বিতীয়টি - 2 উপায়ে, তৃতীয়টি - 3 উপায়ে, এবং শেষ অ্যাকশনটি sa উপায়ে সম্পাদিত না হওয়া পর্যন্ত। তারপর এই সমস্ত কর্ম (যার মধ্যে আমাদের মোট আছে) N উপায়ে সঞ্চালিত হতে পারে। অজানা N গণনা কিভাবে? সূত্রটি আমাদের এতে সাহায্য করবে: N \u003d c1c2c3…ca.
আবারও, তত্ত্বে কিছুই পরিষ্কার নয়, আসুন গুণের নিয়ম প্রয়োগ করার একটি সহজ উদাহরণে এগিয়ে যাই। পঁচিশ জনের একই ক্লাস নেওয়া যাক, যেখানে পনের জন মেয়ে এবং দশটি ছেলে পড়াশোনা করে। শুধুমাত্র এই সময় আমাদের দুজন পরিচারক নির্বাচন করতে হবে। তারা হয় শুধুমাত্র ছেলে বা মেয়ে, অথবা একটি মেয়ে সঙ্গে একটি ছেলে হতে পারে. আমরা সমস্যার প্রাথমিক সমাধানের দিকে ফিরে যাই। আমরা প্রথম পরিচারক নির্বাচন করি, যেমন আমরা শেষ অনুচ্ছেদে সিদ্ধান্ত নিয়েছি, আমরা পঁচিশটি সম্ভাব্য বিকল্প পেতে পারি। ডিউটিতে থাকা দ্বিতীয় ব্যক্তিটি অবশিষ্ট ব্যক্তিদের মধ্যে যে কেউ হতে পারে। আমাদের পঁচিশজন ছাত্র ছিল, আমরা একজনকে বেছে নিয়েছিলাম, যার মানে বাকি চব্বিশ জনের মধ্যে যে কেউ দ্বিতীয়জন হতে পারে। অবশেষে, আমরা গুণের নিয়ম প্রয়োগ করি এবং দেখতে পাই যে দুটি পরিচারক ছয়শত উপায়ে বেছে নেওয়া যেতে পারে। আমরা এই সংখ্যাটি পেয়েছি পঁচিশ এবং চব্বিশকে গুণ করে।
অদলবদল
এখন আমরা আরও একটি সংমিশ্রণ সূত্র বিবেচনা করব। নিবন্ধের এই বিভাগে, আমরাচলুন permutations সম্পর্কে কথা বলা যাক. একটি উদাহরণ দিয়ে সমস্যাটি অবিলম্বে বিবেচনা করুন। বিলিয়ার্ড বল ধরা যাক, আমাদের কাছে সেগুলোর n-তম সংখ্যা আছে। আমাদের গণনা করতে হবে: একটি সারিতে সাজানোর জন্য কতগুলি বিকল্প আছে, অর্থাৎ একটি অর্ডার করা সেট তৈরি করার জন্য।
আসুন শুরু করা যাক, যদি আমাদের বল না থাকে, তাহলে আমাদের কাছে শূন্য বসানোর বিকল্পও আছে। এবং যদি আমাদের একটি বল থাকে, তবে বিন্যাসটিও একই (গাণিতিকভাবে, এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: Р1=1)। দুটি বল দুটি ভিন্ন উপায়ে সাজানো যেতে পারে: 1, 2 এবং 2, 1. অতএব, Р2=2. তিনটি বলকে ছয়টি উপায়ে সাজানো যেতে পারে (Р3=6): 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 2, 1; 3, 1, 2. এবং যদি এই ধরনের তিনটি বল না হয় তবে দশ বা পনেরটি? সমস্ত সম্ভাব্য বিকল্পের তালিকা করা খুব দীর্ঘ, তারপর সংমিশ্রণ আমাদের সাহায্যে আসে। পারমুটেশন সূত্র আমাদের প্রশ্নের উত্তর খুঁজে পেতে সাহায্য করবে। Pn=nP(n-1)। আমরা যদি সূত্রটিকে সরল করার চেষ্টা করি, তাহলে আমরা পাব: Pn=n (n - 1) … 21. এবং এটি প্রথম প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল। এই ধরনের সংখ্যাকে ফ্যাক্টরিয়াল বলা হয় এবং n হিসাবে চিহ্নিত করা হয়!
আসুন সমস্যাটি বিবেচনা করা যাক। নেতা প্রতিদিন সকালে একটি লাইনে (বিশ জন) তার বিচ্ছিন্নতা তৈরি করে। বিচ্ছিন্নতায় তিনটি সেরা বন্ধু রয়েছে - কোস্ট্যা, সাশা এবং লেশা। তারা একে অপরের পাশে থাকার সম্ভাবনা কত? প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে, আপনাকে "ভাল" ফলাফলের সম্ভাব্যতাকে মোট ফলাফলের সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে। মোট পারমুটেশন সংখ্যা 20!=2.5 কুইন্টিলিয়ন। কিভাবে "ভাল" ফলাফল সংখ্যা গণনা? ধরুন কোস্ট্যা, সাশা এবং লেশা একজন সুপারম্যান। তারপর আমরাআমাদের মাত্র আঠারোটি বিষয় আছে। এই ক্ষেত্রে পারমুটেশনের সংখ্যা 18=6.5 কোয়াড্রিলিয়ন। এই সব দিয়ে, কোস্ট্যা, সাশা এবং লেশা তাদের অবিভাজ্য ট্রিপলে নিজেদের মধ্যে নির্বিচারে চলতে পারে এবং এটি আরও 3টি!=6টি বিকল্প। সুতরাং আমাদের মোট 18টি "ভাল" নক্ষত্রপুঞ্জ রয়েছে! 3! আমরা শুধু পছন্দসই সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করতে হবে: (18!3!) / 20! যা আনুমানিক 0.016৷ যদি শতাংশে রূপান্তর করা হয়, তবে এটি পরিণত হয় মাত্র 1.6%৷
আবাসন
এখন আমরা আরেকটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং প্রয়োজনীয় কম্বিনেটরিক্স সূত্র বিবেচনা করব। আবাসন আমাদের পরবর্তী সমস্যা, যা আমরা আপনাকে নিবন্ধের এই বিভাগে বিবেচনা করার পরামর্শ দিই। আমরা আরো জটিল পেতে যাচ্ছি. ধরা যাক যে আমরা সম্ভাব্য ক্রমাগত বিবেচনা করতে চাই, শুধুমাত্র পুরো সেট (n) থেকে নয়, একটি ছোট (m) থেকে। অর্থাৎ, আমরা m. দ্বারা n আইটেমের পারমুটেশন বিবেচনা করি
সংযোজনবিদ্যার মৌলিক সূত্রগুলো শুধু মুখস্থ করা উচিত নয়, বোঝা উচিত। এমনকি তারা আরও জটিল হয়ে উঠলেও, যেহেতু আমাদের কাছে একটি প্যারামিটার নেই, কিন্তু দুটি। ধরুন m \u003d 1, তারপর A \u003d 1, m \u003d 2, তারপর A \u003d n(n - 1)। যদি আমরা সূত্রটিকে আরও সরলীকরণ করি এবং ফ্যাক্টরিয়াল ব্যবহার করে স্বরলিপিতে স্যুইচ করি, আমরা একটি বেশ সংক্ষিপ্ত সূত্র পাব: A \u003d n! / (n - m)!
সংমিশ্রণ
আমরা উদাহরণ সহ সমন্বয়বিদ্যার প্রায় সব মৌলিক সূত্র বিবেচনা করেছি। এখন আসুন সমন্বয়বিদ্যার প্রাথমিক কোর্স বিবেচনা করার চূড়ান্ত পর্যায়ে যাওয়া যাক - সমন্বয়টি জানা। এখন আমরা আমাদের কাছে থাকা n থেকে m আইটেমগুলি বেছে নেব, যখন আমরা সমস্ত সম্ভাব্য উপায়ে সেগুলি বেছে নেব। তাহলে এই বাসস্থান থেকে আলাদা কিভাবে? আমরা না করবে নাআদেশ বিবেচনা করুন। এই ক্রমহীন সেটটি একটি সংমিশ্রণ হবে।
অবিলম্বে স্বরলিপি চালু করুন: C. আমরা n এর মধ্যে m বলের স্থান নিই। আমরা অর্ডারে মনোযোগ দেওয়া বন্ধ করি এবং পুনরাবৃত্তি সংমিশ্রণ পাই। সংমিশ্রণের সংখ্যা পেতে, আমাদের বসানোর সংখ্যাকে m দ্বারা ভাগ করতে হবে! (মি ফ্যাক্টরিয়াল)। অর্থাৎ C \u003d A/m! এইভাবে, n বল থেকে বেছে নেওয়ার কয়েকটি উপায় রয়েছে, প্রায় সমস্ত কিছু বেছে নেওয়ার সংখ্যার প্রায় সমান। এর জন্য একটি যৌক্তিক অভিব্যক্তি আছে: একটু বেছে নেওয়া প্রায় সবকিছু ফেলে দেওয়ার মতোই। এই মুহুর্তে এটি উল্লেখ করাও গুরুত্বপূর্ণ যে অর্ধেক আইটেম নির্বাচন করার চেষ্টা করার সময় সর্বাধিক সংখ্যক সংমিশ্রণ অর্জন করা যেতে পারে৷
একটি সমস্যা সমাধানের জন্য কীভাবে একটি সূত্র বেছে নেবেন?
আমরা কম্বিনেটরিক্সের মৌলিক সূত্রগুলি বিশদভাবে পরীক্ষা করেছি: স্থান নির্ধারণ, স্থানান্তর এবং সংমিশ্রণ। এখন আমাদের কাজ হল কম্বিনেটরিক্সে সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় সূত্র বেছে নেওয়ার সুবিধা দেওয়া। আপনি নিম্নলিখিত বরং সহজ স্কিম ব্যবহার করতে পারেন:
- নিজেকে জিজ্ঞাসা করুন: সমস্যাটির পাঠ্যে উপাদানগুলির ক্রম কি বিবেচনায় নেওয়া হয়েছে?
- যদি উত্তর না হয়, তাহলে সংমিশ্রণ সূত্রটি ব্যবহার করুন (C=n! / (m!(n - m)!))।
- যদি উত্তরটি না হয়, তবে আপনাকে আরও একটি প্রশ্নের উত্তর দিতে হবে: সমস্ত উপাদান কি সংমিশ্রণে অন্তর্ভুক্ত আছে?
- যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, তাহলে পারমুটেশন ফর্মুলা ব্যবহার করুন (P=n!)।
- যদি উত্তর না হয়, তাহলে বরাদ্দ সূত্র ব্যবহার করুন (A=n! / (n - m)!)।
উদাহরণ
আমরা সমন্বয়ের উপাদান, সূত্র এবং অন্যান্য কিছু বিষয় বিবেচনা করেছি। এখন চলুন চলুনএকটি বাস্তব সমস্যা বিবেচনা করে। কল্পনা করুন যে আপনার সামনে একটি কিউই, একটি কমলা এবং একটি কলা আছে৷
প্রশ্ন এক: কত উপায়ে তাদের পুনর্বিন্যাস করা যেতে পারে? এটি করার জন্য, আমরা পারমুটেশন সূত্র ব্যবহার করি: P=3!=৬টি উপায়।
প্রশ্ন দুই: একটি ফল কয়টি উপায়ে বেছে নেওয়া যায়? এটি সুস্পষ্ট, আমাদের কাছে কেবল তিনটি বিকল্প রয়েছে - কিউই, কমলা বা কলা বেছে নিন, তবে আমরা সংমিশ্রণ সূত্রটি প্রয়োগ করি: C \u003d 3! / (2!1!)=3.
প্রশ্ন তিন: দুটি ফল কতভাবে বেছে নেওয়া যায়? আমরা কি বিকল্প আছে? কিউই এবং কমলা; কিউই এবং কলা; কমলা এবং কলা। অর্থাৎ, তিনটি বিকল্প, কিন্তু সমন্বয় সূত্র ব্যবহার করে এটি পরীক্ষা করা সহজ: C \u003d 3! / (1!2!)=3
প্রশ্ন চার: তিনটি ফল কতভাবে বেছে নেওয়া যায়? আপনি দেখতে পাচ্ছেন, তিনটি ফল বেছে নেওয়ার একমাত্র উপায় রয়েছে: একটি কিউই, একটি কমলা এবং একটি কলা নিন। C=3! / (0!3!)=1.
প্রশ্ন পাঁচ: আপনি অন্তত একটি ফল কতটি উপায় বেছে নিতে পারেন? এই শর্তটি বোঝায় যে আমরা একটি, দুটি বা তিনটি ফলই নিতে পারি। অতএব, আমরা C1 + C2 + C3=3 + 3 + 1=7 যোগ করি। অর্থাৎ, টেবিল থেকে অন্তত এক টুকরো ফল নেওয়ার জন্য আমাদের সাতটি উপায় আছে।
