ম্যাক্লোরিন সিরিজ এবং কিছু ফাংশনের বিস্তার

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

উচ্চতর গণিতের ছাত্রদের সচেতন হওয়া উচিত যে প্রদত্ত সিরিজের কনভারজেন্সের ব্যবধানের সাথে সম্পর্কিত কিছু পাওয়ার সিরিজের যোগফল একটি অবিচ্ছিন্ন এবং সীমাহীন সংখ্যক বার পার্থক্যযুক্ত ফাংশন হিসাবে পরিণত হয়। প্রশ্ন উঠছে: এটা কি জোর দিয়ে বলা সম্ভব যে একটি প্রদত্ত নির্বিচারে ফাংশন f(x) কিছু পাওয়ার সিরিজের যোগফল? অর্থাৎ, কোন পরিস্থিতিতে f(x) ফাংশনটিকে একটি পাওয়ার সিরিজ দ্বারা উপস্থাপন করা যেতে পারে? এই প্রশ্নের গুরুত্ব এই সত্যে নিহিত যে পাওয়ার সিরিজের প্রথম কয়েকটি পদের যোগফল দ্বারা, অর্থাৎ একটি বহুপদী দ্বারা ফাংশন f(x) প্রতিস্থাপন করা সম্ভব। একটি সহজ অভিব্যক্তি দ্বারা একটি ফাংশনের এই ধরনের প্রতিস্থাপন - একটি বহুপদ - গাণিতিক বিশ্লেষণের কিছু সমস্যা সমাধান করার সময়ও সুবিধাজনক, যেমন: অখণ্ডগুলি সমাধান করার সময়, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি গণনা করার সময় ইত্যাদি।

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে কিছু ফাংশনের জন্য f(х) যেখানে শেষটি সহ (n+1) তম ক্রম পর্যন্ত ডেরিভেটিভগুলি আশেপাশে গণনা করা যেতে পারে (α _{- R; x}0 _{+ R) কিছু বিন্দু x=α সূত্রটি বৈধ:}

এই সূত্রটির নামকরণ করা হয়েছে বিখ্যাত বিজ্ঞানী ব্রুক টেলরের নামে। আগেরটি থেকে যে সিরিজটি পাওয়া যায় তাকে ম্যাক্লোরিন সিরিজ বলা হয়:

যে নিয়মটি ম্যাকলরিন সিরিজে প্রসারিত করা সম্ভব করে:

1. প্রথম, দ্বিতীয়, তৃতীয়… অর্ডারের ডেরিভেটিভ নির্ধারণ করুন।
2. গণনা করুন x=0 এর ডেরিভেটিভগুলি কী সমান৷
3. এই ফাংশনের জন্য Maclaurin সিরিজ রেকর্ড করুন, এবং তারপর এটির কনভারজেন্সের ব্যবধান নির্ধারণ করুন।
4. ব্যবধান নির্ধারণ করুন (-R;R) যেখানে Maclaurin সূত্রের অবশিষ্টাংশ

R (x) -> 0 এর জন্য n -> ইনফিনিটি। যদি একটি বিদ্যমান থাকে তবে এতে থাকা f(x) ফাংশনটি অবশ্যই ম্যাকলরিন সিরিজের যোগফলের সাথে মিলে যাবে।

এখন স্বতন্ত্র ফাংশনের জন্য ম্যাকলরিন সিরিজ বিবেচনা করুন।

1. সুতরাং, প্রথমটি হবে f(x)=e^x। অবশ্যই, এর বৈশিষ্ট্য অনুসারে, এই ধরনের ফাংশনের বিভিন্ন অর্ডারের ডেরিভেটিভ রয়েছে এবং f^(k)(x)=e^x, যেখানে k সমান প্রাকৃতিক সংখ্যা। আসুন x=0 প্রতিস্থাপন করি। আমরা পাচ্ছি f^(k)(0)=e⁰=1, k=1, 2… ^{দেখতে এরকম হবে:}

2. f(x)=sin x ফাংশনের জন্য Maclaurin সিরিজ। অবিলম্বে স্পষ্ট করুন যে সমস্ত অজানাদের জন্য ফাংশনে ডেরিভেটিভ থাকবে, f^'(x)=cos x=sin(x+n/2), f ^{'' (x)=-sin x=sin(x+2n/2)…, f}(k)^{(x)=sin(x+k n/2), যেখানে k যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যার সমান। অর্থাৎ, সাধারণ গণনা করার পরে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে f(x)=sin x এর জন্য সিরিজটি এরকম দেখাবে:}

৩. এখন f(x)=cos x ফাংশনটি বিবেচনা করার চেষ্টা করা যাক। তিনি সব অজানা জন্যনির্বিচারে আদেশের ডেরিভেটিভ আছে, এবং |f^(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… আবার, কিছু গণনা করার পরে, আমরা পেয়েছি যে f(x)=cos x এর জন্য সিরিজটি এরকম দেখাবে:

সুতরাং, আমরা সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ফাংশনগুলি তালিকাভুক্ত করেছি যা ম্যাকলরিন সিরিজে প্রসারিত করা যেতে পারে, তবে সেগুলি কিছু ফাংশনের জন্য টেলর সিরিজ দ্বারা পরিপূরক। এখন আমরা তাদের তালিকা করব। এটিও লক্ষণীয় যে টেলর এবং ম্যাক্লোরিন সিরিজ উচ্চতর গণিতে সিরিজ সমাধানের অনুশীলনের একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ। তাই, টেলর সিরিজ।

1. প্রথমটি হবে f-ii f(x)=ln(1+x) এর জন্য একটি সিরিজ। আগের উদাহরণগুলির মতো, আমাদের দেওয়া f (x)=ln (1 + x), আমরা ম্যাকলরিন সিরিজের সাধারণ ফর্ম ব্যবহার করে একটি সিরিজ যোগ করতে পারি। যাইহোক, এই ফাংশনের জন্য, Maclaurin সিরিজ আরও সহজভাবে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। একটি নির্দিষ্ট জ্যামিতিক সিরিজকে একীভূত করার পরে, আমরা এই নমুনার f(x)=ln(1+x) এর জন্য একটি সিরিজ পাই:

2. এবং দ্বিতীয়টি, যা আমাদের নিবন্ধে চূড়ান্ত হবে, f (x) u003d arctg x এর জন্য একটি সিরিজ হবে। ব্যবধান [-1;1] এর অন্তর্গত x এর জন্য, সম্প্রসারণ বৈধ:

এটাই। এই নিবন্ধটি উচ্চতর গণিতে, বিশেষ করে, অর্থনৈতিক এবং প্রযুক্তিগত বিশ্ববিদ্যালয়গুলিতে সর্বাধিক ব্যবহৃত টেলর এবং ম্যাকলরিন সিরিজ পরীক্ষা করেছে৷