গণিতে, বিপরীত ফাংশনগুলি পারস্পরিকভাবে সম্পর্কিত অভিব্যক্তি যা একে অপরে পরিণত হয়। এর অর্থ কী তা বোঝার জন্য, একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ বিবেচনা করা উচিত। ধরা যাক আমাদের y=cos(x) আছে। আমরা যদি আর্গুমেন্ট থেকে কোসাইন নিই, তাহলে আমরা y এর মান বের করতে পারি। স্পষ্টতই, এর জন্য আপনার x থাকতে হবে। কিন্তু প্রথমেই যদি প্লেয়ার দেওয়া হয়? এখানেই বিষয়টির মূলে যায়। সমস্যা সমাধানের জন্য, একটি বিপরীত ফাংশন ব্যবহার করা প্রয়োজন। আমাদের ক্ষেত্রে, এটি আর্ক কোসাইন।
সমস্ত রূপান্তরের পরে, আমরা পাই: x=arccos(y)।
অর্থাৎ, একটি নির্দিষ্ট ফাংশনের বিপরীতে একটি ফাংশন খুঁজে পেতে, এটি থেকে একটি যুক্তি প্রকাশ করাই যথেষ্ট। কিন্তু এটি শুধুমাত্র তখনই কাজ করে যখন ফলাফলের একটি একক মান থাকে (পরে আরও বেশি)।
সাধারণ ভাষায়, এই সত্যটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে: f(x)=y, g(y)=x।
সংজ্ঞা
ধরুন f একটি ফাংশন যার ডোমেন সেট X, এবংমানের পরিসর হল Y সেট। তারপর, যদি সেখানে g থাকে যার ডোমেইনগুলি বিপরীত কাজ করে, তাহলে f উল্টানো যায়।
এছাড়া, এই ক্ষেত্রে g অনন্য, যার মানে হল যে ঠিক একটি ফাংশন রয়েছে যা এই সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে (আরও নয়, কম নয়)। তারপর একে বলা হয় বিপরীত ফাংশন, এবং লিখিতভাবে এটিকে নিম্নরূপ নির্দেশ করা হয়: g(x)=f -1(x).
অন্য কথায়, তাদের একটি বাইনারি সম্পর্ক হিসাবে দেখা যেতে পারে। প্রত্যাবর্তনযোগ্যতা তখনই ঘটে যখন সেটের একটি উপাদান আরেকটি থেকে একটি মানের সাথে মিলে যায়।
সবসময় একটি বিপরীত ফাংশন থাকে না। এটি করার জন্য, প্রতিটি উপাদান y є Y অবশ্যই সর্বাধিক এক x є X এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ হবে। তারপর f কে বলা হয় ওয়ান-টু-ওয়ান বা ইনজেকশন। যদি f -1 Y এর অন্তর্গত হয়, তাহলে এই সেটের প্রতিটি উপাদান অবশ্যই কিছু x ∈ X-এর সাথে মিলে যাবে। এই বৈশিষ্ট্যের সাথে ফাংশনকে সার্জেকশন বলা হয়। এটি সংজ্ঞা অনুসারে ধারণ করে যদি Y একটি চিত্র f হয় তবে এটি সর্বদা হয় না। বিপরীত হতে, একটি ফাংশন একটি ইনজেকশন এবং একটি সার্জেকশন উভয় হতে হবে। এই ধরনের অভিব্যক্তিকে বিজেকশন বলা হয়।
উদাহরণ: বর্গ এবং মূল ফাংশন
ফাংশনটি [0, ∞) এ সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে এবং সূত্র f(x)=x2।
তাহলে এটি ইনজেক্টিভ নয়, কারণ প্রতিটি সম্ভাব্য ফলাফল Y (0 ব্যতীত) দুটি ভিন্ন X-এর সাথে মিলে যায় - একটি ইতিবাচক এবং একটি নেতিবাচক, তাই এটি বিপরীত নয়। এই ক্ষেত্রে, প্রাপ্তদের কাছ থেকে প্রাথমিক তথ্য পাওয়া অসম্ভব হবে, যা বিরোধিতা করেতত্ত্ব এটি অ-ইনজেকশন হবে।
যদি সংজ্ঞার ডোমেন শর্তসাপেক্ষে অ-নেতিবাচক মানগুলিতে সীমাবদ্ধ থাকে, তাহলে সবকিছু আগের মতোই কাজ করবে। তারপর এটি দ্বিমুখী এবং তাই বিপরীতমুখী। এখানে বিপরীত ফাংশনকে পজিটিভ বলা হয়।
প্রবেশের নোট
যাক - 1
। এটি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন গাণিতিক ধারণাকে নির্দেশ করে এবং এর বিপরীত ফাংশনের সাথে কোনো সম্পর্ক নেই।
সাধারণ নিয়ম হিসাবে, কিছু লেখক sin-1 (x) এর মতো অভিব্যক্তি ব্যবহার করেন।
তবে, অন্যান্য গণিতবিদরা বিশ্বাস করেন যে এটি বিভ্রান্তির কারণ হতে পারে। এই ধরনের অসুবিধাগুলি এড়াতে, বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি প্রায়ই উপসর্গ "আর্ক" (ল্যাটিন আর্ক থেকে) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। আমাদের ক্ষেত্রে, আমরা আর্কসাইন সম্পর্কে কথা বলছি। এছাড়াও আপনি মাঝে মাঝে কিছু অন্যান্য ফাংশনের জন্য উপসর্গ "ar" বা "inv" দেখতে পারেন।
