পাঠকের জন্য একটি হাইপারবোলয়েড কী তা কল্পনা করা সহজ করতে - একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু - আপনাকে প্রথমে একই নামের বাঁকা হাইপারবোলা বিবেচনা করতে হবে, যা একটি দ্বি-মাত্রিক স্থানে ফিট করে৷
একটি হাইপারবোলার দুটি অক্ষ রয়েছে: আসলটি, যা এই চিত্রে অ্যাবসিসা অক্ষের সাথে মিলে যায় এবং কাল্পনিকটি y-অক্ষের সাথে। আপনি যদি মানসিকভাবে একটি হাইপারবোলার সমীকরণকে তার কাল্পনিক অক্ষের চারপাশে ঘুরিয়ে দিতে শুরু করেন, তাহলে বক্ররেখা দ্বারা "দেখা" পৃষ্ঠটি হবে একটি একক-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েড৷
তবে, আমরা যদি হাইপারবোলাকে তার বাস্তব অক্ষের চারপাশে এইভাবে ঘোরাতে শুরু করি, তাহলে বক্ররেখার দুটি "অর্ধাংশ" এর প্রত্যেকটি তার নিজস্ব আলাদা পৃষ্ঠ তৈরি করবে এবং একসাথে একে বলা হবে একটি দুই- শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েড।
সংশ্লিষ্ট সমতল বক্ররেখা ঘোরানোর মাধ্যমে প্রাপ্ত, তাদের যথাক্রমে ঘূর্ণনের হাইপারবোলয়েড বলা হয়। তাদের ঘূর্ণনের অক্ষের লম্ব সমস্ত দিকের পরামিতি রয়েছে,ঘূর্ণিত বক্ররেখার অন্তর্গত। সাধারণভাবে, এটি হয় না।
হাইপারবোলয়েড সমীকরণ
সাধারণত, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কের (x, y, z) নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা একটি পৃষ্ঠকে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:
বিপ্লবের হাইপারবোলয়েডের ক্ষেত্রে, এটি যে অক্ষের চারদিকে ঘোরে সেই অক্ষ সম্পর্কে এর প্রতিসাম্য a=b সহগগুলির সমতায় প্রকাশ করা হয়।
হাইপারবোলয়েড বৈশিষ্ট্য
তার একটা কৌশল আছে। আমরা জানি যে একটি সমতলে বক্ররেখার ফোসি থাকে - একটি হাইপারবোলার ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, একটি হাইপারবোলার নির্বিচারে বিন্দু থেকে একটি ফোকাসের দূরত্বের পার্থক্যের মডিউল এবং দ্বিতীয়টি সংজ্ঞা অনুসারে ধ্রুবক, আসলে, ফোকাসের পয়েন্ট।
ত্রিমাত্রিক স্পেসে যাওয়ার সময়, সংজ্ঞাটি কার্যত পরিবর্তিত হয় না: ফোসি আবার দুটি বিন্দু, এবং হাইপারবোলয়েড পৃষ্ঠের অন্তর্গত একটি নির্বিচারী বিন্দু থেকে তাদের থেকে দূরত্বের পার্থক্য স্থির থাকে। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সমস্ত সম্ভাব্য পয়েন্টের পরিবর্তনগুলি থেকে শুধুমাত্র তৃতীয় স্থানাঙ্ক উপস্থিত হয়েছিল, কারণ এখন সেগুলি মহাকাশে সেট করা হয়েছে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, একটি ফোকাস সংজ্ঞায়িত করা বক্ররেখা বা পৃষ্ঠের ধরণ সনাক্ত করার সমতুল্য: পৃষ্ঠের বিন্দুগুলি ফোসি-এর সাথে সম্পর্কিত কীভাবে অবস্থিত সে সম্পর্কে কথা বলে, আমরা আসলে একটি হাইপারবোলয়েড কী এবং এটি কেমন দেখায় সেই প্রশ্নের উত্তর দিই৷
এটা মনে রাখা দরকার যে হাইপারবোলার অ্যাসিম্পটোটস থাকে - সরল রেখা, যার শাখাগুলি অসীমতার দিকে থাকে। যদি, বিপ্লবের একটি হাইপারবোলয়েড তৈরি করার সময়, কেউ মানসিকভাবে অ্যাসিম্পটোটগুলিকে হাইপারবোলার সাথে একসাথে ঘোরায়, তবে হাইপারবোলয়েড ছাড়াও, একজন অ্যাসিম্পটোটিক নামক একটি শঙ্কুও পাবে। অ্যাসিম্পোটিক শঙ্কু হলএক-শীটযুক্ত এবং দুই-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েডের জন্য।
আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য যা শুধুমাত্র একটি শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েড থাকে তা হল রেক্টিলাইনার জেনারেটর। নাম থেকে বোঝা যায়, এগুলি হল রেখা, এবং এগুলি একটি প্রদত্ত পৃষ্ঠে সম্পূর্ণরূপে শুয়ে আছে। দুটি রেকটিলিনিয়ার জেনারেটর একটি এক-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েডের প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায়। তারা যথাক্রমে লাইনের দুটি পরিবারের অন্তর্গত, যা নিম্নলিখিত সমীকরণের সিস্টেম দ্বারা বর্ণিত হয়েছে:
এইভাবে, একটি এক-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েড সম্পূর্ণরূপে দুটি পরিবারের অসীম সংখ্যক সরল রেখার সমন্বয়ে গঠিত হতে পারে এবং তাদের একটির প্রতিটি লাইন অন্যটির সমস্ত রেখার সাথে ছেদ করবে। এই জাতীয় বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সম্পর্কিত পৃষ্ঠগুলিকে শাসিত বলা হয়; একটি সরল রেখার ঘূর্ণন ব্যবহার করে এগুলি তৈরি করা যেতে পারে। মহাকাশে রেখার পারস্পরিক বিন্যাসের মাধ্যমে সংজ্ঞা (রেক্টিলিনিয়ার জেনারেটর) হাইপারবোলয়েড কী তার একটি দ্ব্যর্থহীন উপাধি হিসাবে কাজ করতে পারে।
একটি হাইপারবোলয়েডের আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য
সেকেন্ড-অর্ডার বক্ররেখা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সারফেস অফ রেভল্যুশনের প্রতিটিতে ফোসি-এর সাথে যুক্ত আকর্ষণীয় অপটিক্যাল বৈশিষ্ট্য রয়েছে। একটি হাইপারবোলয়েডের ক্ষেত্রে, এটি নিম্নরূপ তৈরি করা হয়েছে: যদি একটি রশ্মি একটি ফোকাস থেকে নিক্ষেপ করা হয়, তবে, নিকটতম "প্রাচীর" থেকে প্রতিফলিত হওয়ার পরে, এটি এমন একটি দিক গ্রহণ করবে যেন এটি দ্বিতীয় ফোকাস থেকে এসেছে।
জীবনে হাইপারবোলয়েড
সম্ভবত, বেশিরভাগ পাঠক আলেক্সি টলস্টয়ের একটি কল্পবিজ্ঞান উপন্যাস থেকে বিশ্লেষণাত্মক জ্যামিতি এবং দ্বিতীয় ক্রম পৃষ্ঠের সাথে তাদের পরিচিতি শুরু করেছিলেন"হাইপারবোলয়েড ইঞ্জিনিয়ার গ্যারিন"। যাইহোক, লেখক নিজে হয় হাইপারবোলয়েড কী তা ভালোভাবে জানতেন না, অথবা শিল্পকলার খাতিরে নির্ভুলতাকে উৎসর্গ করেছিলেন: বর্ণিত উদ্ভাবন, শারীরিক বৈশিষ্ট্যের পরিপ্রেক্ষিতে, বরং একটি প্যারাবোলয়েড যা একটি ফোকাসে সমস্ত রশ্মি সংগ্রহ করে (যখন হাইপারবোলয়েডের অপটিক্যাল বৈশিষ্ট্য রশ্মির বিক্ষিপ্ততার সাথে যুক্ত)।
তথাকথিত হাইপারবোলয়েড স্ট্রাকচারগুলি স্থাপত্যে খুব জনপ্রিয়: এগুলি এমন কাঠামো যা একক-শীটযুক্ত হাইপারবোলয়েড বা হাইপারবোলিক প্যারাবোলয়েডের আকারে থাকে। আসল বিষয়টি হ'ল কেবলমাত্র দ্বিতীয় ক্রমে বিপ্লবের এই পৃষ্ঠগুলিতেই রেক্টিলাইনার জেনারেটর রয়েছে: এইভাবে, একটি বাঁকা কাঠামো কেবলমাত্র সোজা বিম থেকে তৈরি করা যেতে পারে। এই ধরনের কাঠামোর সুবিধা হল ভারী ভার সহ্য করার ক্ষমতা, উদাহরণস্বরূপ, বাতাস থেকে: হাইপারবোলয়েড আকারটি লম্বা কাঠামো নির্মাণে ব্যবহৃত হয়, উদাহরণস্বরূপ, টেলিভিশন টাওয়ার।
