একটি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিজ্ঞান, যেটির প্রয়োগ রসায়ন, পদার্থবিদ্যা এমনকি জীববিজ্ঞানের মতো শাখায় দেখা যায়, তা হল গণিত। এই বিজ্ঞানের অধ্যয়ন আপনাকে কিছু মানসিক গুণাবলী বিকাশ করতে, বিমূর্ত চিন্তাভাবনা এবং মনোনিবেশ করার ক্ষমতা উন্নত করতে দেয়। "গণিত" কোর্সে যে বিষয়গুলি বিশেষ মনোযোগের দাবি রাখে তা হল ভগ্নাংশের যোগ এবং বিয়োগ। অনেক শিক্ষার্থীর পড়াশুনা করা কঠিন। সম্ভবত আমাদের নিবন্ধটি এই বিষয়টিকে আরও ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে৷
কীভাবে একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করবেন
ভগ্নাংশ একই সংখ্যা যা দিয়ে আপনি বিভিন্ন ক্রিয়া সম্পাদন করতে পারেন। পূর্ণসংখ্যা থেকে তাদের পার্থক্য একটি হর উপস্থিতিতে নিহিত। এই কারণেই ভগ্নাংশের সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করার সময়, আপনাকে তাদের কিছু বৈশিষ্ট্য এবং নিয়ম অধ্যয়ন করতে হবে। সবচেয়ে সহজ ক্ষেত্রে হল সাধারণ ভগ্নাংশের বিয়োগ, যার হরগুলি একই সংখ্যা হিসাবে উপস্থাপিত হয়। আপনি যদি একটি সাধারণ নিয়ম জানেন তবে এই ক্রিয়াটি সম্পাদন করা কঠিন হবে না:
একটি ভগ্নাংশ থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করার জন্য, হ্রাসকৃত ভগ্নাংশের লব থেকে বিয়োগকৃত ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করতে হবে। এইআমরা পার্থক্যের লবটিতে সংখ্যাটি লিখি, এবং হরটিকে একই রাখি: k/m – b/m=(k-b)/m
যেসব ভগ্নাংশের হর একই হয় তার বিয়োগের উদাহরণ
আসুন একটি উদাহরণে এটি দেখতে কেমন লাগে:
7/19 - 3/19=(7 - 3)/19=4/19।
হ্রাস করা ভগ্নাংশের সংখ্যা থেকে "7" বিয়োগ ভগ্নাংশ "3" এর সংখ্যাটি বিয়োগ করে, আমরা "4" পাই। আমরা উত্তরের লবটিতে এই সংখ্যাটি লিখি, এবং প্রথম এবং দ্বিতীয় ভগ্নাংশের হরগুলিতে একই সংখ্যাটি রাখি - "19"।
নীচের ছবিটি আরও কয়েকটি অনুরূপ উদাহরণ দেখায়।
আসুন একটি আরও জটিল উদাহরণ বিবেচনা করা যাক যেখানে একই হর সহ ভগ্নাংশ বিয়োগ করা হয়:
২৯/৪৭ - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47=(29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47=9/47।
কমিত ভগ্নাংশের লব "29" থেকে পরবর্তী সমস্ত ভগ্নাংশের লব বিয়োগ করে - "3", "8", "2", "7"। ফলস্বরূপ, আমরা ফলাফল "9" পাই যা আমরা উত্তরের লবটিতে লিখি এবং হরটিতে আমরা সেই সংখ্যাটি লিখি যা এই সমস্ত ভগ্নাংশের হরগুলিতে রয়েছে - "47"।
একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করা
সাধারণ ভগ্নাংশের যোগ ও বিয়োগ একই নীতি অনুসারে করা হয়।
একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করতে, আপনাকে লব যোগ করতে হবে। ফলস্বরূপ সংখ্যাটি যোগফলের লব, এবং হর একই থাকে: k/m + b/m=(k + b)/m
আসুন একটি উদাহরণে এটি দেখতে কেমন লাগে:
1/4 + 2/4=3/4.
Kভগ্নাংশের প্রথম পদের লব - "1" - ভগ্নাংশের দ্বিতীয় পদের লব যোগ করুন - "2"। ফলাফল - "3" - রাশির লবটিতে লেখা হয়, এবং হরটি ভগ্নাংশে বর্তমানের সমান - "4"।
বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ এবং তাদের বিয়োগ
ভগ্নাংশের সাথে যে ক্রিয়াটি একই হর রয়েছে, আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করেছি। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সাধারণ নিয়মগুলি জেনে, এই জাতীয় উদাহরণগুলি সমাধান করা বেশ সহজ। কিন্তু আপনি যদি বিভিন্ন হর আছে এমন ভগ্নাংশের সাথে একটি ক্রিয়া সম্পাদন করতে চান? অনেক হাই স্কুল ছাত্র এই ধরনের উদাহরণ দ্বারা বিভ্রান্ত হয়. তবে এখানেও, আপনি যদি সমাধানের নীতিটি জানেন তবে উদাহরণগুলি আপনার পক্ষে আর কঠিন হবে না। এখানেও একটি নিয়ম আছে, যা ছাড়া এই ধরনের ভগ্নাংশের সমাধান অসম্ভব।
-
বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগ করতে, আপনাকে তাদের একই ক্ষুদ্রতম হর-এ আনতে হবে।
বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ
এটি কীভাবে করা যায় সে সম্পর্কে আমরা আরও কথা বলব৷
একটি ভগ্নাংশের সম্পত্তি
একই হরকে কয়েকটি ভগ্নাংশ কমাতে, আপনাকে সমাধানে ভগ্নাংশের প্রধান বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে হবে: লব এবং হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ বা গুণ করার পরে, আপনি একটি ভগ্নাংশের সমান পাবেন দেওয়া হয়েছে।
সুতরাং, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশ 2/3-এ "6", "9", "12" ইত্যাদির মতো হর থাকতে পারে, অর্থাৎ, এটি "এর গুণিতক যে কোনও সংখ্যার মতো দেখতে পারে। 3"। আমরা লব এবং হরকে দ্বারা গুণ করার পরে"2", আপনি ভগ্নাংশ 4/6 পাবেন। মূল ভগ্নাংশের লব এবং হরকে "3" দ্বারা গুণ করার পরে, আমরা 6/9 পাব, এবং যদি আমরা "4" সংখ্যার সাথে অনুরূপ ক্রিয়া সম্পাদন করি তবে আমরা 8/12 পাব। একটি সমীকরণে, এটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
2/3=4/6=6/9=8/12…
কীভাবে একই হরকে একাধিক ভগ্নাংশ আনা যায়
আসুন বিবেচনা করা যাক কিভাবে একই হরকে বিভিন্ন ভগ্নাংশ কমানো যায়। উদাহরণস্বরূপ, নীচের ছবিতে দেখানো ভগ্নাংশগুলি নিন। প্রথমে আপনাকে নির্ধারণ করতে হবে কোন সংখ্যাটি তাদের সকলের জন্য হর হতে পারে। এটি সহজ করার জন্য, আসুন উপলব্ধ ডিনোমিনেটরগুলিকে ফ্যাক্টরাইজ করি।
ভগ্নাংশের হর 1/2 এবং ভগ্নাংশ 2/3 গুণনীয়ক করা যাবে না। 7/9 এর হরটির দুটি গুণনীয়ক রয়েছে 7/9=7/(3 x 3), ভগ্নাংশের হর 5/6=5/(2 x 3)। এখন আপনাকে এই চারটি ভগ্নাংশের জন্য কোন উপাদানগুলি সবচেয়ে ছোট হবে তা নির্ধারণ করতে হবে। যেহেতু প্রথম ভগ্নাংশের হরটিতে "2" নম্বর রয়েছে, এর মানে হল এটি অবশ্যই সমস্ত হরগুলিতে উপস্থিত থাকতে হবে, ভগ্নাংশ 7/9-এ দুটি ট্রিপল রয়েছে, যার মানে তাদের অবশ্যই হরটিতে উপস্থিত থাকতে হবে৷ উপরে দেওয়া, আমরা নির্ধারণ করি যে হর তিনটি ফ্যাক্টর নিয়ে গঠিত: 3, 2, 3 এবং 3 x 2 x 3=18 এর সমান।
প্রথম ভগ্নাংশটি বিবেচনা করুন - 1/2। এর হরটিতে "2" রয়েছে, তবে একটিও "3" নেই, তবে দুটি হওয়া উচিত। এটি করার জন্য, আমরা হরকে দুটি ত্রিগুণ দ্বারা গুণ করি, তবে, একটি ভগ্নাংশের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, আমাদের অবশ্যই লবটিকে দুটি ট্রিপল দ্বারা গুণ করতে হবে:
1/2=(1 x 3 x 3) / (2 x 3 x 3)=9 /18.
একইভাবে, আমরা অবশিষ্টগুলির সাথে ক্রিয়া সম্পাদন করিভগ্নাংশ।
-
2/3 – হর একটি তিনটি এবং একটি দুটি অনুপস্থিত:
2/3=(2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2)=12/18.
-
7/9 বা 7/(3 x 3) - হরটিতে একটি হর নেই:
7/9=(7 x 2)/(9 x 2)=14/18।
-
5/6 বা 5/(2 x 3) - হর একটি ট্রিপল অনুপস্থিত:
5/6=(5 x 3)/(6 x 3)=15/18.
সব মিলিয়ে এটি এইরকম দেখাচ্ছে:
কীভাবে বিয়োগ করবেন এবং বিভিন্ন হর দিয়ে ভগ্নাংশ যোগ করবেন
উপরে উল্লিখিত হিসাবে, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ বা বিয়োগ করার জন্য, তাদের অবশ্যই একই হর-এ আনতে হবে, এবং তারপর একই হর দিয়ে ভগ্নাংশ বিয়োগের নিয়ম ব্যবহার করতে হবে, যা ইতিমধ্যেই বর্ণিত হয়েছে।
আসুন এটিকে একটি উদাহরণ হিসাবে নেওয়া যাক: 4/18 – 3/15।
18 এবং 15 এর গুণিতক খুঁজুন:
- 18 নম্বরটি হল 3 x 2 x 3।
- 15 নম্বরটি 5 x 3 নিয়ে গঠিত।
- সাধারণ মাল্টিপল নিম্নলিখিত ফ্যাক্টর নিয়ে গঠিত হবে 5 x 3 x 3 x 2=90।
হর পাওয়া যাওয়ার পরে, গুণকটি গণনা করা প্রয়োজন যা প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য আলাদা হবে, অর্থাৎ, যে সংখ্যা দ্বারা কেবল হরকে নয়, লবকেও গুণ করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা যে সংখ্যাটি পেয়েছি (সাধারণ একাধিক) ভগ্নাংশের হর দিয়ে ভাগ করি যার জন্য অতিরিক্ত গুণনীয়কগুলি নির্ধারণ করতে হবে৷
- 90কে 15 দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। ফলে সংখ্যা "6" হবে 3/15 এর একটি গুণক।
- 90 কে 18 দিয়ে ভাগ করা হয়েছে। ফলস্বরূপ সংখ্যা "5" হবে 4/18 এর একটি গুণক।
আমাদের সিদ্ধান্তের পরবর্তী ধাপপ্রতিটি ভগ্নাংশকে "90" হর-এ আনা হচ্ছে।
এটি কীভাবে করা হয়, আমরা আগেই বলেছি। উদাহরণে এটি কীভাবে লেখা হয়েছে তা বিবেচনা করুন:
(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6)=20/90 - 18/90=2/90=1/45।
যদি ছোট সংখ্যা সহ ভগ্নাংশ হয়, তাহলে নিচের ছবিতে দেখানো উদাহরণের মতো আপনি সাধারণ হর নির্ধারণ করতে পারেন।
একইভাবে, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশ যোগ করা হয়।
পূর্ণসংখ্যার অংশ সহ ভগ্নাংশের বিয়োগ এবং যোগ
ভগ্নাংশের বিয়োগ এবং তাদের যোগ, আমরা ইতিমধ্যে বিস্তারিতভাবে বিশ্লেষণ করেছি। কিন্তু ভগ্নাংশের একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ থাকলে কীভাবে বিয়োগ করবেন? আবার, আসুন কিছু নিয়ম ব্যবহার করি:
- একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ সহ সমস্ত ভগ্নাংশকে অনুপযুক্তগুলিতে অনুবাদ করুন। সহজ কথায়, পুরো অংশটি সরিয়ে ফেলুন। এটি করার জন্য, পূর্ণসংখ্যার অংশের সংখ্যাটি ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করা হয়, ফলস্বরূপ গুণফলটি লবের সাথে যোগ করা হয়। এই ক্রিয়াগুলির পরে যে সংখ্যাটি পাওয়া যাবে তা একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশের লব। হর একই থাকে।
- যদি ভগ্নাংশের বিভিন্ন হর থাকে, তবে সেগুলিকে কমিয়ে একই করা উচিত।
- একই হর দিয়ে যোগ বা বিয়োগ করুন।
- একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ পাওয়ার সময়, পূর্ণসংখ্যার অংশটি নির্বাচন করুন।
আরেকটি উপায় আছে যার মাধ্যমে আপনি পূর্ণসংখ্যার অংশগুলির সাথে ভগ্নাংশ যোগ এবং বিয়োগ করতে পারেন। এর জন্য, পূর্ণসংখ্যার অংশগুলির সাথে আলাদাভাবে এবং ভগ্নাংশের সাথে আলাদাভাবে কাজ করা হয় এবং ফলাফলগুলি একসাথে রেকর্ড করা হয়৷
উপরের উদাহরণটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত যার একই হর রয়েছে। সেক্ষেত্রে যখন হর ভিন্ন হয়, তাদের অবশ্যই কমাতে হবে, এবং তারপর উদাহরণে দেখানো ধাপগুলি অনুসরণ করুন।
পূর্ণসংখ্যা থেকে ভগ্নাংশ বিয়োগ করা
ভগ্নাংশের সাথে অন্য ধরনের অপারেশন হল যখন একটি ভগ্নাংশকে একটি স্বাভাবিক সংখ্যা থেকে বিয়োগ করতে হবে। প্রথম নজরে, যেমন একটি উদাহরণ সমাধান করা কঠিন বলে মনে হয়। যাইহোক, এখানে সবকিছু বেশ সহজ। এটি সমাধান করার জন্য, একটি পূর্ণসংখ্যাকে একটি ভগ্নাংশে রূপান্তর করা প্রয়োজন এবং এমন একটি হর দিয়ে, যা বিয়োগ করতে হবে। এর পরে, আমরা একই হর দিয়ে বিয়োগের অনুরূপ একটি বিয়োগ সম্পাদন করি। একটি উদাহরণে, এটি এই মত দেখায়:
7 - 4/9=(7 x 9)/9 - 4/9=53/9 - 4/9=49/9।
এই নিবন্ধে উপস্থাপিত ভগ্নাংশের বিয়োগ (গ্রেড 6) হল আরও জটিল উদাহরণ সমাধানের ভিত্তি যা পরবর্তী ক্লাসে বিবেচনা করা হয়। এই বিষয়ের জ্ঞান পরবর্তীতে ফাংশন, ডেরিভেটিভ ইত্যাদি সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়। অতএব, উপরে আলোচিত ভগ্নাংশ সহ অপারেশনগুলি বোঝা এবং বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ৷
