ভগ্নাংশ। সাধারণ, দশমিক, মিশ্র ভগ্নাংশের গুণ

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

মিডল স্কুল এবং হাই স্কুলের শিক্ষার্থীরা "ভগ্নাংশ" বিষয় অধ্যয়ন করেছিল। যাইহোক, এই ধারণাটি শেখার প্রক্রিয়ার তুলনায় অনেক বিস্তৃত। আজ, একটি ভগ্নাংশের ধারণাটি প্রায়শই ঘটে, এবং প্রত্যেকেই কোনো অভিব্যক্তি গণনা করতে পারে না, উদাহরণস্বরূপ, ভগ্নাংশকে গুণ করা।

ভগ্নাংশ কি?

এটি ঐতিহাসিকভাবে ঘটেছে যে পরিমাপের প্রয়োজনের কারণে ভগ্নাংশ সংখ্যাগুলি উপস্থিত হয়েছিল৷ অনুশীলন দেখায়, একটি অংশের দৈর্ঘ্য, একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপের আয়তন, একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য প্রায়শই উদাহরণ রয়েছে৷

প্রাথমিকভাবে, ছাত্রদের শেয়ারের ধারণার সাথে পরিচয় করিয়ে দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি একটি তরমুজকে 8টি ভাগে ভাগ করেন, তবে প্রতিটি তরমুজের অষ্টমাংশ পাবে। আটটির এই এক অংশকে শেয়ার বলা হয়।

যেকোনো মূল্যের ½ এর সমান একটি শেয়ারকে অর্ধ বলা হয়; ⅓ - তৃতীয়; ¼ - এক চতুর্থাংশ। ⁵/₈, ⁴/₅, ²/_{4কে সাধারণ ভগ্নাংশ বলা হয়। একটি সাধারণ ভগ্নাংশ বিভক্ত করা হয়লব এবং হর। তাদের মধ্যে একটি ভগ্নাংশ লাইন, বা ভগ্নাংশ লাইন। একটি ভগ্নাংশ বার অনুভূমিক বা একটি তির্যক রেখা হিসাবে আঁকা যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, এটি বিভাজন চিহ্নের জন্য দাঁড়ায়।}

হরটি প্রতিনিধিত্ব করে যে কতগুলি সমান ভাগের মান, বস্তুকে ভাগ করা হয়েছে; এবং লব হল কত সমান শেয়ার নেওয়া হয়েছে। লবটি ভগ্নাংশের বারের উপরে লেখা হয়, হরটি এর নীচে লেখা হয়।

স্থানাঙ্ক রশ্মিতে সাধারণ ভগ্নাংশ দেখানো সবচেয়ে সুবিধাজনক। যদি একটি একক সেগমেন্টকে 4টি সমান অংশে ভাগ করা হয়, প্রতিটি অংশকে একটি ল্যাটিন অক্ষর দিয়ে মনোনীত করা হয়, তাহলে ফলস্বরূপ আপনি একটি চমৎকার ভিজ্যুয়াল সাহায্য পেতে পারেন। সুতরাং, বিন্দু A সমগ্র ইউনিট সেগমেন্টের ¹/₄ এর সমান একটি ভাগ দেখায়, এবং বিন্দু বি চিহ্নিত করে ^2/8 _{এই বিভাগ থেকে।}

ভগ্নাংশের বিভিন্নতা

ভগ্নাংশগুলি সাধারণ, দশমিক এবং মিশ্র সংখ্যা। উপরন্তু, ভগ্নাংশ সঠিক এবং অনুপযুক্ত বিভক্ত করা যেতে পারে. এই শ্রেণীবিভাগ সাধারণ ভগ্নাংশের জন্য আরও উপযুক্ত৷

একটি সঠিক ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে কম। তদনুসারে, একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হল এমন একটি সংখ্যা যার লব হর থেকে বড়। দ্বিতীয় প্রকার সাধারণত মিশ্র সংখ্যা হিসাবে লেখা হয়। এই ধরনের একটি অভিব্যক্তি একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ এবং একটি ভগ্নাংশ নিয়ে গঠিত। উদাহরণস্বরূপ, 1½। 1 - পূর্ণসংখ্যা অংশ, ½ - ভগ্নাংশ। যাইহোক, যদি আপনার অভিব্যক্তির সাথে কিছু হেরফের করার প্রয়োজন হয় (ভগ্নাংশকে ভাগ করা বা গুণ করা, তাদের হ্রাস করা বা রূপান্তর করা), মিশ্র সংখ্যাটি অনুবাদ করা হয়অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ।

একটি সঠিক ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি সর্বদা একের চেয়ে কম হয় এবং একটি ভুল সর্বদা 1 এর থেকে বড় বা সমান হয়।

দশমিক ভগ্নাংশের জন্য, এই অভিব্যক্তিটিকে একটি রেকর্ড হিসাবে বোঝা যায় যেখানে যেকোন সংখ্যাকে উপস্থাপন করা হয়, যেটির ভগ্নাংশের হরকে বেশ কয়েকটি শূন্য সহ একটির মাধ্যমে প্রকাশ করা যেতে পারে। যদি ভগ্নাংশটি সঠিক হয়, তবে দশমিক স্বরলিপিতে পূর্ণসংখ্যার অংশটি শূন্য হবে।

দশমিক লিখতে, আপনাকে প্রথমে পূর্ণসংখ্যার অংশ লিখতে হবে, একটি কমা দিয়ে ভগ্নাংশ থেকে আলাদা করতে হবে এবং তারপর ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি লিখতে হবে। এটা অবশ্যই মনে রাখতে হবে যে কমার পরে লবটিতে অবশ্যই যতগুলি সাংখ্যিক অক্ষর থাকবে ততগুলি হরতে শূন্য রয়েছে৷

উদাহরণ। ভগ্নাংশ 7²¹/_{1000 দশমিক স্বরলিপিতে উপস্থাপন করুন।}

একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করার জন্য অ্যালগরিদম এবং এর বিপরীতে

সমস্যার উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ লেখা ভুল, তাই এটিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করতে হবে:

• উপলব্ধ হর দ্বারা লবকে ভাগ করুন;
• একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে, অসম্পূর্ণ ভাগফল একটি পূর্ণসংখ্যা;
• এবং অবশিষ্টাংশ ভগ্নাংশের লব, এবং হর অপরিবর্তিত থাকে।

উদাহরণ। অনুপযুক্ত ভগ্নাংশকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করুন: ⁴⁷/_5.

সিদ্ধান্ত। 47: 5. আংশিক ভাগফল 9, অবশিষ্ট=2। সুতরাং ⁴⁷/₅ =9² /_5.

কখনও কখনও আপনাকে একটি মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে উপস্থাপন করতে হবে। তারপর ব্যবহার করতে হবেনিম্নলিখিত অ্যালগরিদম:

• পূর্ণসংখ্যার অংশটিকে ভগ্নাংশের হর দ্বারা গুণ করা হয়;
• ফলিত পণ্যটি অংকের সাথে যোগ করা হয়েছে;
• ফলটি লবটিতে লেখা হয়েছে, হর অপরিবর্তিত রয়েছে।

উদাহরণ। একটি মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করুন: 9⁸/_10।

সিদ্ধান্ত। 9 x 10 + 8=90 + 8=98 হল লব৷

উত্তর: ⁹⁸/_10.

সাধারণ ভগ্নাংশের গুণন

সাধারণ ভগ্নাংশের উপর বিভিন্ন বীজগণিতীয় অপারেশন করা যেতে পারে। দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনাকে লবের সাথে লব এবং হরকে হর দিয়ে গুণ করতে হবে। অধিকন্তু, বিভিন্ন হর সহ ভগ্নাংশের গুণ একই হর সহ ভগ্নাংশের সংখ্যার গুণফল থেকে আলাদা নয়।

এটা হয় যে ফলাফল খোঁজার পরে, আপনাকে ভগ্নাংশ কমাতে হবে। ফলাফলের অভিব্যক্তিটিকে যতটা সম্ভব সরলীকরণ করা অপরিহার্য। অবশ্যই, এটা বলা যাবে না যে উত্তরে একটি অনুপযুক্ত ভগ্নাংশ একটি ভুল, তবে এটিকে সঠিক উত্তর বলাও কঠিন।

উদাহরণ। দুটি সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল খুঁজুন: ½ এবং ²⁰/_18।

যেমন আপনি উদাহরণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন, পণ্যটি খুঁজে পাওয়ার পরে, আমরা একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশের স্বরলিপি পাই। এই ক্ষেত্রে লব এবং হর উভয়ই 4 দ্বারা বিভাজ্য, এবং ফলাফল হল উত্তর ⁵/_9.

দশমিক ভগ্নাংশের গুণন

আর্টওয়ার্কদশমিক ভগ্নাংশ তার নীতিতে সাধারণ ভগ্নাংশের গুণফল থেকে বেশ ভিন্ন। সুতরাং, ভগ্নাংশগুলিকে নিম্নরূপ গুণ করা হয়:

• দুটি দশমিক ভগ্নাংশ একে অপরের নীচে লিখতে হবে যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি একটির নীচে থাকে;
• আপনাকে লিখিত সংখ্যাগুলিকে গুণ করতে হবে, কমা সত্ত্বেও, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যা হিসাবে;
• প্রতিটি সংখ্যায় কমার পরে অঙ্কের সংখ্যা গণনা করুন;
• গুণের পরে প্রাপ্ত ফলাফলে, আপনাকে ডানদিকে যতগুলি সাংখ্যিক অক্ষর গণনা করতে হবে যতগুলি দশমিক বিন্দুর পরে উভয় গুণকের যোগফলের মধ্যে রয়েছে এবং একটি পৃথক চিহ্ন বসাতে হবে;
• যদি পণ্যটিতে কম সংখ্যা থাকে, তাহলে এই সংখ্যাটি কভার করার জন্য আপনাকে তাদের সামনে যতগুলি শূন্য লিখতে হবে, একটি কমা দিতে হবে এবং শূন্যের সমান একটি পূর্ণসংখ্যা অংশ বরাদ্দ করতে হবে।

উদাহরণ। দুই দশমিকের গুণফল গণনা করুন: 2, 25 এবং 3, 6।

সিদ্ধান্ত।

মিশ্র ভগ্নাংশের গুণন

দুটি মিশ্র ভগ্নাংশের গুণফল নির্ণয় করতে, আপনাকে ভগ্নাংশ গুণ করার নিয়মটি ব্যবহার করতে হবে:

• মিশ্র সংখ্যাকে অনুপযুক্ত ভগ্নাংশে রূপান্তর করুন;
• অঙ্কের গুণফল খুঁজুন;
• হরের গুণফল খুঁজুন;
• ফল লিখুন;
• অভিব্যক্তি যতটা সম্ভব সরল করুন।

উদাহরণ। 4½ এবং 6²/_{5. এর গুণফল খুঁজুন}

একটি সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করা(সংখ্যা প্রতি ভগ্নাংশ)

দুটি ভগ্নাংশ, মিশ্র সংখ্যার গুণফল খুঁজে বের করার পাশাপাশি, এমন কিছু কাজ রয়েছে যেখানে আপনাকে একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাকে ভগ্নাংশ দ্বারা গুণ করতে হবে।

সুতরাং, দশমিক ভগ্নাংশ এবং একটি স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফল খুঁজে পেতে আপনার প্রয়োজন:

• ভগ্নাংশের নীচে সংখ্যাটি লিখুন যাতে ডানদিকের সংখ্যাগুলি অন্যটির উপরে থাকে;
• কমা সত্ত্বেও পণ্য খুঁজুন;
• ফলাফলের মধ্যে, ভগ্নাংশের দশমিক বিন্দুর পরে থাকা অক্ষরের সংখ্যা ডানদিকে গণনা করে কমা ব্যবহার করে ভগ্নাংশ থেকে পূর্ণসংখ্যার অংশটিকে আলাদা করুন।

একটি সাধারণ ভগ্নাংশকে একটি সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে লবের গুণফল এবং প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করতে হবে। যদি উত্তরটি একটি হ্রাসকৃত ভগ্নাংশ হয় তবে এটি রূপান্তরিত করা উচিত।

উদাহরণ। ⁵/_{8 এবং 12 এর গুণফল গণনা করুন।}

সিদ্ধান্ত। ⁵/₈12=⁽⁵¹²⁾/₈₌60^/8 ₌30^/4 ₌15^/2 ₌₇1^/2.

উত্তর: ৭¹/_2.

আপনি আগের উদাহরণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন, ফলাফলের ফলাফল কমাতে এবং ভুল ভগ্নাংশের অভিব্যক্তিকে মিশ্র সংখ্যায় রূপান্তর করা প্রয়োজন ছিল।

এছাড়াও, ভগ্নাংশের গুণফল মিশ্র আকারে একটি সংখ্যার গুণফল এবং একটি প্রাকৃতিক গুণনীয়ক খুঁজে বের করার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। এই দুটি সংখ্যাকে গুণ করার জন্য, আপনার মিশ্র ফ্যাক্টরের পূর্ণসংখ্যাকে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা উচিত, লবটিকে একই মান দ্বারা গুণ করা উচিত এবং হরটিকে অপরিবর্তিত রাখা উচিত। যদি প্রয়োজন হয়, ফলাফল যতটা সম্ভব সহজ করুন।

উদাহরণ। খুঁজতে9⁵/_{6 এবং 9.}

সিদ্ধান্ত। 9⁵/₆ x 9=9 x 9 + ^{(5 x 9)}/ 6 _{=81 +} 45^/6 _{=81 + 7}3^/ 6 ₌₈₈1^/2.

উত্তর: ৮৮¹/_2.

গুণনীয়ক 10, 100, 1000 বা 0, 1 দ্বারা গুণ করুন; 0.01; 0, 001

নিম্নলিখিত নিয়মটি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ থেকে অনুসরণ করে। একটি দশমিক ভগ্নাংশকে 10, 100, 1000, 10000, ইত্যাদি দ্বারা গুণ করতে, আপনাকে কমাটিকে ডানদিকে নিয়ে যেতে হবে যতগুলি সংখ্যার অক্ষর দিয়ে গুণকটিতে একটির পরে শূন্য রয়েছে৷

উদাহরণ ১। 0, 065 এবং 1000 এর গুণফল খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত। 0.065 x 1000=0065=65.

উত্তর: ৬৫.

উদাহরণ 2। 3, 9 এবং 1000 এর গুণফল খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত। 3.9 x 1000=3.900 x 1000=3900।

উত্তর: 3900.

আপনি যদি একটি স্বাভাবিক সংখ্যা এবং 0, 1 গুণ করতে চান; 0.01; 0.001; 0, 0001, ইত্যাদি, আপনার ফলস্বরূপ পণ্যটিতে কমাটিকে বাম দিকে নিয়ে যাওয়া উচিত যতগুলি সংখ্যার অক্ষরের আগে শূন্য রয়েছে। প্রয়োজনে, স্বাভাবিক সংখ্যার আগে পর্যাপ্ত সংখ্যক শূন্য লেখা হয়।

উদাহরণ ১। 56 এবং 0, 01 এর গুণফল খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত। 56 x 0.01=0056=0.56.

উত্তর: 0, 56.

উদাহরণ 2। 4 এবং 0, 001 এর গুণফল খুঁজুন।

সিদ্ধান্ত। 4 x 0.001=0004=0.004।

উত্তর: 0, 004.

সুতরাং, বিভিন্ন ভগ্নাংশের গুণফল খুঁজে পাওয়া কঠিন হবে না, সম্ভবত ফলাফলের গণনা ছাড়া; এই ক্ষেত্রে, আপনি কেবল ক্যালকুলেটর ছাড়া করতে পারবেন না।