অনেকের জন্য, গাণিতিক বিশ্লেষণ হল অবোধ্য সংখ্যা, আইকন এবং সংজ্ঞাগুলির একটি সেট যা বাস্তব জীবন থেকে অনেক দূরে। যাইহোক, আমরা যে বিশ্বে বিদ্যমান তা সংখ্যাগত নিদর্শনগুলির উপর নির্মিত, যার সনাক্তকরণ কেবল আমাদের চারপাশের বিশ্ব সম্পর্কে জানতে এবং এর জটিল সমস্যাগুলি সমাধান করতে সহায়তা করে না, তবে দৈনন্দিন ব্যবহারিক কাজগুলিকে সহজ করতেও সহায়তা করে। একজন গণিতবিদ যখন বলেন যে একটি সংখ্যা ক্রম একত্রিত হয় তখন তাকে কী বোঝায়? এই বিষয়ে আরো বিস্তারিত আলোচনা করা উচিত।
অসীম কি?
আসুন কল্পনা করা যাক ম্যাট্রিওশকা পুতুল যেগুলো একটার সাথে আরেকটা মানানসই। তাদের আকারগুলি, সংখ্যার আকারে লিখিত, বৃহত্তম দিয়ে শুরু করে এবং তাদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট দিয়ে শেষ হয়, একটি ক্রম তৈরি করে। আপনি যদি এই জাতীয় উজ্জ্বল পরিসংখ্যানের অসীম সংখ্যক কল্পনা করেন, তবে ফলস্বরূপ সারিটি দুর্দান্তভাবে দীর্ঘ হবে। এটি একটি অভিসারী সংখ্যা ক্রম। এবং এটি শূন্যের দিকে ঝোঁক, যেহেতু প্রতিটি পরবর্তী নেস্টিং পুতুলের আকার, বিপর্যয়মূলকভাবে হ্রাস, ধীরে ধীরে কিছুইতে পরিণত হয়। তাই এটা সহজব্যাখ্যা করা যেতে পারে: অসীম কি।
একটি অনুরূপ উদাহরণ হবে দূরত্বের দিকে নিয়ে যাওয়া একটি রাস্তা। এবং গাড়ির চাক্ষুষ মাত্রাগুলি এটি বরাবর পর্যবেক্ষক থেকে দূরে চলে যাচ্ছে, ধীরে ধীরে সঙ্কুচিত হয়ে একটি বিন্দুর মতো একটি আকৃতিহীন দাগে পরিণত হচ্ছে। এইভাবে, যন্ত্রটি, বস্তুর মতো, অজানা দিকে সরে গিয়ে অসীমভাবে ছোট হয়ে যায়। নির্দিষ্ট বডির প্যারামিটারগুলি কখনই শব্দের আক্ষরিক অর্থে শূন্য হবে না, তবে চূড়ান্ত সীমাতে সর্বদা এই মানের দিকে ঝোঁক। অতএব, এই ক্রমটি আবার শূন্যে রূপান্তরিত হয়।
ড্রপ করে সবকিছু গণনা করুন
আসুন এখন একটা জাগতিক অবস্থা কল্পনা করা যাক। ডাক্তার রোগীকে ওষুধ খাওয়ার পরামর্শ দেন, দিনে দশটি ফোঁটা দিয়ে শুরু করে এবং পরের দিন দুটি যোগ করে। এবং তাই ডাক্তার ওষুধের শিশির বিষয়বস্তু, যার পরিমাণ 190 ফোঁটা, ফুরিয়ে না যাওয়া পর্যন্ত চালিয়ে যাওয়ার পরামর্শ দিয়েছেন। এটি পূর্বোক্ত থেকে অনুসরণ করে যে এই ধরনের সংখ্যা, দিনের দ্বারা নির্ধারিত, নিম্নলিখিত সংখ্যা সিরিজ হবে: 10, 12, 14 এবং আরও অনেক কিছু৷
পুরো কোর্স শেষ করার সময় এবং সিকোয়েন্সের সদস্য সংখ্যা কীভাবে বের করবেন? এখানে, অবশ্যই, কেউ একটি আদিম উপায়ে ড্রপ গণনা করতে পারে। কিন্তু প্যাটার্ন অনুযায়ী, একটি ধাপ d=2 সহ একটি গাণিতিক অগ্রগতির যোগফলের সূত্রটি ব্যবহার করা অনেক সহজ। এবং এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে, সংখ্যা সিরিজের সদস্য সংখ্যা 10। এই ক্ষেত্রে, a10=28। লিঙ্গ নম্বর নির্দেশ করে যে কত দিন ওষুধ খাওয়ার সংখ্যা, এবং 28 রোগীর কতগুলি ড্রপের সংখ্যার সাথে মিলে যায়।শেষ দিনে ব্যবহার করুন। এই ক্রম একত্রিত হয়? না, কারণ এটি নীচে থেকে 10 এবং উপরে থেকে 28-এর মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকা সত্ত্বেও, এই জাতীয় সংখ্যা সিরিজের কোনও সীমা নেই, আগের উদাহরণগুলির থেকে আলাদা৷
পার্থক্য কি?
আসুন এখন স্পষ্ট করার চেষ্টা করি: যখন সংখ্যা সিরিজটি একটি অভিসারী ক্রম হিসাবে পরিণত হয়। এই ধরণের একটি সংজ্ঞা, যেমনটি উপরের থেকে উপসংহারে আসা যেতে পারে, সরাসরি একটি সীমাবদ্ধ সীমার ধারণার সাথে সম্পর্কিত, যার উপস্থিতি সমস্যাটির সারমর্ম প্রকাশ করে। তাহলে পূর্বে দেওয়া উদাহরণগুলির মধ্যে মৌলিক পার্থক্য কি? এবং কেন তাদের সর্বশেষে, 28 নম্বরটিকে X =10 + 2(n-1) সংখ্যা সিরিজের সীমা হিসাবে বিবেচনা করা যায় না?
এই প্রশ্নটি স্পষ্ট করার জন্য, নীচের সূত্র দ্বারা প্রদত্ত আরেকটি ক্রম বিবেচনা করুন, যেখানে n প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটের অন্তর্গত।
সদস্যদের এই সম্প্রদায়টি সাধারণ ভগ্নাংশের একটি সেট, যার লব হল 1, এবং হর ক্রমাগত বাড়ছে: 1, ½ …
এছাড়াও, এই সিরিজের প্রতিটি ধারাবাহিক প্রতিনিধি সংখ্যা রেখায় অবস্থানের পরিপ্রেক্ষিতে আরও বেশি করে 0-এর কাছে পৌঁছেছে। এবং এর মানে হল এমন একটি আশেপাশের এলাকা দেখা যাচ্ছে যেখানে পয়েন্টগুলি শূন্যের চারপাশে রয়েছে, যা সীমা। এবং তারা এটির যত কাছে আসবে, সংখ্যা রেখায় তাদের ঘনত্ব তত ঘন হবে। এবং তাদের মধ্যে দূরত্ব বিপর্যয়মূলকভাবে হ্রাস পেয়েছে, একটি অসীম দূরত্বে পরিণত হয়েছে। এটি একটি চিহ্ন যে ক্রমটি রূপান্তরিত হচ্ছে৷
অনুরূপএইভাবে, চিত্রে দেখানো বহু রঙের আয়তক্ষেত্রগুলি, যখন মহাকাশে সরে যায়, তখন দৃশ্যত আরও ভিড় হয়, অনুমানিক সীমাতে পরিণত হয় নগণ্য৷
অসীমভাবে বড় সিকোয়েন্স
একটি অভিসারী অনুক্রমের সংজ্ঞা বিশ্লেষণ করার পরে, আসুন পাল্টা উদাহরণগুলিতে এগিয়ে যাই। তাদের অনেকগুলি প্রাচীনকাল থেকেই মানুষের কাছে পরিচিত। ভিন্ন ভিন্ন ক্রমগুলির সহজতম রূপগুলি হল প্রাকৃতিক এবং জোড় সংখ্যার সিরিজ। তাদেরকে ভিন্নভাবে অসীমভাবে বড় বলা হয়, যেহেতু তাদের সদস্যরা ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে, ক্রমবর্ধমানভাবে ইতিবাচক অসীমের দিকে যাচ্ছে।
এমন একটি উদাহরণ হল পাটিগণিত এবং জ্যামিতিক অগ্রগতির যেকোনো একটি ধাপ এবং হর সহ, যথাক্রমে, শূন্যের চেয়ে বেশি। উপরন্তু, সাংখ্যিক ধারাগুলিকে ভিন্ন ভিন্ন ক্রম হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যার কোনো সীমা নেই। উদাহরণস্বরূপ, X =(-2)-1.
ফিবোনাচি ক্রম
মানবতার জন্য পূর্বে উল্লিখিত সংখ্যা সিরিজের ব্যবহারিক সুবিধা অনস্বীকার্য। তবে আরও অসংখ্য মহান উদাহরণ রয়েছে। তার মধ্যে একটি হল ফিবোনাচি সিকোয়েন্স। এর প্রতিটি সদস্য, যা একটি দিয়ে শুরু হয়, পূর্ববর্তীগুলির সমষ্টি। এর প্রথম দুটি প্রতিনিধি হল 1 এবং 1। তৃতীয়টি 1+1=2, চতুর্থটি 1+2=3, পঞ্চমটি 2+3=5। আরও, একই যুক্তি অনুসারে, সংখ্যাগুলি 8, 13, 21 এবং আরও অনুসরণ করে৷
সংখ্যার এই সিরিজটি অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায় এবং নেইচূড়ান্ত সীমা। কিন্তু এর আরেকটি চমৎকার সম্পত্তি আছে। প্রতিটি পূর্ববর্তী সংখ্যার সাথে পরবর্তী সংখ্যার অনুপাত 0.618 এর মানের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি হচ্ছে। এখানে আপনি একটি অভিসারী এবং ভিন্ন ক্রমগুলির মধ্যে পার্থক্য বুঝতে পারবেন, কারণ আপনি যদি প্রাপ্ত আংশিক বিভাজনের একটি সিরিজ তৈরি করেন তবে নির্দেশিত সংখ্যাসূচক সিস্টেমটি হবে 0.618 এর সমান একটি সীমাবদ্ধ সীমা আছে।
ফিবোনাচি অনুপাতের ক্রম
উপরে নির্দেশিত নম্বর সিরিজটি বাজারের প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। তবে এটি কেবল তার ক্ষমতার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়, যা মিশরীয় এবং গ্রীকরা জানত এবং প্রাচীনকালে অনুশীলন করতে সক্ষম হয়েছিল। এটি তাদের নির্মিত পিরামিড এবং পার্থেনন দ্বারা প্রমাণিত। সর্বোপরি, 0.618 সংখ্যাটি সোনালী বিভাগের একটি ধ্রুবক সহগ, যা পুরানো দিনে সুপরিচিত। এই নিয়ম অনুসারে, যেকোন নির্বিচারে সেগমেন্টকে ভাগ করা যেতে পারে যাতে এর অংশগুলির মধ্যে অনুপাতটি সবচেয়ে বড় অংশ এবং মোট দৈর্ঘ্যের মধ্যে অনুপাতের সাথে মিলে যায়৷
আসুন নির্দেশিত সম্পর্কের একটি সিরিজ তৈরি করি এবং এই ক্রমটি বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করি। সংখ্যা সিরিজ নিম্নরূপ হবে: 1; 0.5; 0.67; 0.6; 0.625; 0.615; 0, 619 এবং তাই। এভাবে চলতে থাকলে, আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে অভিসারী ক্রমটির সীমা প্রকৃতপক্ষে 0.618 হবে। যাইহোক, এই নিয়মিততার অন্যান্য বৈশিষ্ট্যগুলি নোট করা প্রয়োজন। এখানে সংখ্যাগুলি এলোমেলোভাবে চলে বলে মনে হচ্ছে, এবং মোটেই আরোহী বা অবরোহ ক্রমে নয়। এর মানে হল এই অভিসারী ক্রমটি একঘেয়ে নয়। কেন এমন হল তা নিয়ে আরও আলোচনা করা হবে।
একঘেয়েমি এবং সীমাবদ্ধতা
সংখ্যা সিরিজের সদস্যরা সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে স্পষ্টভাবে হ্রাস পেতে পারে (যদি x1>x2>x3>…>x >…) বা বাড়ছে (যদি x1<x2<x3<…<x <…)। এই ক্ষেত্রে, ক্রমটি কঠোরভাবে একঘেয়ে বলা হয়। অন্যান্য নিদর্শনগুলিও লক্ষ্য করা যেতে পারে, যেখানে সংখ্যাসূচক সিরিজ হবে অ-হ্রাস এবং অ-বাড়বে (x1≧x2≧x 3≧ …≧x≧… অথবা x1≦x2≦x 3 ≦…≦x≦…), তারপর ধারাবাহিকভাবে অভিসারীটিও একঘেয়ে, শুধুমাত্র কঠোর অর্থে নয়। এই বিকল্পগুলির প্রথমটির একটি ভাল উদাহরণ হল নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা প্রদত্ত সংখ্যা সিরিজ।
এই সিরিজের সংখ্যাগুলি আঁকার পরে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এর যে কোনও সদস্য, অনির্দিষ্টভাবে 1-এর কাছাকাছি, কখনই এই মানটিকে অতিক্রম করবে না। এই ক্ষেত্রে, অভিসারী ক্রমকে আবদ্ধ বলা হয়। এটি ঘটে যখনই এমন একটি ধনাত্মক সংখ্যা M থাকে, যা সর্বদা সিরিজ মডুলোর যেকোনো পদের থেকে বড় হয়। যদি একটি সংখ্যা সিরিজে একঘেয়েতার লক্ষণ থাকে এবং এর একটি সীমা থাকে এবং সেইজন্য একত্রিত হয়, তবে এটি অবশ্যই এই জাতীয় সম্পত্তির সাথে সমৃদ্ধ। এবং বিপরীত সত্য হতে হবে না. এটি একটি অভিসারী অনুক্রমের সীমাবদ্ধতা উপপাদ্য দ্বারা প্রমাণিত।
অভ্যাসে এই ধরনের পর্যবেক্ষণের প্রয়োগ খুবই উপযোগী। ক্রম X =ক্রমটির বৈশিষ্ট্যগুলি পরীক্ষা করে একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ দেওয়া যাকn/n+1, এবং এর অভিসার প্রমাণ করুন। এটা দেখানো সহজ যে এটি একঘেয়ে, যেহেতু (x +1 – x ) একটি ধনাত্মক সংখ্যা যেকোনো n মানগুলির জন্য। অনুক্রমের সীমা সংখ্যা 1 এর সমান, যার মানে উপরের উপপাদ্যটির সমস্ত শর্ত, যাকে Weierstrass উপপাদ্যও বলা হয়, সন্তুষ্ট। একটি অভিসারী অনুক্রমের সীমাবদ্ধতার উপর উপপাদ্যটি বলে যে যদি এটির একটি সীমা থাকে তবে যে কোনও ক্ষেত্রে এটি সীমাবদ্ধ বলে প্রমাণিত হয়। যাইহোক, আসুন নিম্নলিখিত উদাহরণ নেওয়া যাক। সংখ্যা সিরিজ X =(-1) নীচে থেকে -1 দ্বারা এবং উপরে থেকে 1 দ্বারা আবদ্ধ৷ তবে এই ক্রমটি একঘেয়ে নয়, এর কোনো নেই সীমা, এবং তাই একত্রিত হয় না। অর্থাৎ, একটি সীমা এবং অভিসারের অস্তিত্ব সবসময় সীমাবদ্ধতা থেকে অনুসরণ করে না। এটি কাজ করার জন্য, ফিবোনাচি অনুপাতের ক্ষেত্রে নিম্ন এবং উপরের সীমা অবশ্যই মিলতে হবে।
মহাবিশ্বের সংখ্যা এবং নিয়ম
একটি অভিসারী এবং ভিন্ন ক্রম-এর সহজতম রূপগুলি সম্ভবত সংখ্যাসূচক সিরিজ X =n এবং X =1/n। তাদের মধ্যে প্রথমটি সংখ্যার একটি স্বাভাবিক সিরিজ। এটি, ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে, অসীম বড়. দ্বিতীয় অভিসারী ক্রমটি আবদ্ধ, এবং এর পদগুলি মাত্রায় অসীমের কাছাকাছি। এই সূত্রগুলির প্রত্যেকটি বহুমুখী মহাবিশ্বের একটি দিককে প্রকাশ করে, একজন ব্যক্তিকে সংখ্যা এবং চিহ্নের ভাষায় সীমিত উপলব্ধির কাছে অজ্ঞাত, অপ্রাপ্য কিছু কল্পনা করতে এবং গণনা করতে সাহায্য করে৷
মহাবিশ্বের নিয়মগুলি, নগণ্য থেকে অবিশ্বাস্যভাবে বড় পর্যন্ত, 0.618 এর সোনালী অনুপাতও প্রকাশ করে। বিজ্ঞানীরাতারা বিশ্বাস করে যে এটি জিনিসের সারাংশের ভিত্তি এবং প্রকৃতির দ্বারা এর অংশগুলি গঠনের জন্য ব্যবহৃত হয়। ফিবোনাচি সিরিজের পরবর্তী এবং পূর্ববর্তী সদস্যদের মধ্যে সম্পর্ক, যা আমরা ইতিমধ্যে উল্লেখ করেছি, এই অনন্য সিরিজের আশ্চর্যজনক বৈশিষ্ট্যগুলির প্রদর্শন সম্পূর্ণ করে না। আমরা যদি পূর্ববর্তী পদটিকে পরবর্তী একটি দ্বারা এক দ্বারা ভাগ করার ভাগফল বিবেচনা করি, তাহলে আমরা 0.5 এর একটি সিরিজ পাই; 0.33; 0.4; 0.375; 0.384; 0.380; 0, 382 এবং তাই। এটি আকর্ষণীয় যে এই সীমিত ক্রমটি একত্রিত হয়, এটি একঘেয়ে নয়, তবে একটি নির্দিষ্ট সদস্যের কাছ থেকে প্রতিবেশী সংখ্যার অনুপাত সর্বদা প্রায় 0.382 এর সমান হয়, যা স্থাপত্য, প্রযুক্তিগত বিশ্লেষণ এবং অন্যান্য শিল্পেও ব্যবহার করা যেতে পারে।
ফিবোনাচি সিরিজের অন্যান্য আকর্ষণীয় সহগ রয়েছে, তারা সবই প্রকৃতিতে একটি বিশেষ ভূমিকা পালন করে এবং মানুষ ব্যবহারিক উদ্দেশ্যে ব্যবহার করে। গণিতবিদরা নিশ্চিত যে মহাবিশ্ব একটি নির্দিষ্ট "সোনালী সর্পিল" অনুযায়ী বিকশিত হয়, যা নির্দেশিত সহগ থেকে গঠিত হয়। তাদের সাহায্যে, নির্দিষ্ট ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা বৃদ্ধি থেকে দূরবর্তী ধূমকেতুর গতিবিধি পর্যন্ত পৃথিবীতে এবং মহাকাশে ঘটে যাওয়া অনেক ঘটনা গণনা করা সম্ভব। দেখা যাচ্ছে, ডিএনএ কোড অনুরূপ আইন মেনে চলে।
জ্যামিতিক অগ্রগতি কমছে
এমন একটি উপপাদ্য রয়েছে যা একটি অভিসারী ক্রম সীমার স্বতন্ত্রতা নিশ্চিত করে। এর মানে হল এর দুই বা তার বেশি সীমা থাকতে পারে না, যা এর গাণিতিক বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করার জন্য নিঃসন্দেহে গুরুত্বপূর্ণ।
আসুন কিছু দেখিমামলা একটি পাটিগণিতের অগ্রগতির সদস্যদের দ্বারা গঠিত যেকোন সংখ্যাসূচক সিরিজ ভিন্ন, একটি শূন্য ধাপের ক্ষেত্রে ছাড়া। এটি একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য, যার হর 1-এর বেশি। এই ধরনের সংখ্যাসূচক সিরিজের সীমা হল অসীমের "প্লাস" বা "মাইনাস"। যদি হর -1 এর কম হয়, তবে কোন সীমা নেই। অন্যান্য বিকল্পগুলি সম্ভব।
সূত্র X =(1/4) -1প্রথম নজরে, এটি দেখতে সহজ যে এই অভিসারী ক্রমটি আবদ্ধ কারণ এটি কঠোরভাবে হ্রাস পাচ্ছে এবং কোনভাবেই নেতিবাচক মান গ্রহণ করতে সক্ষম নয়৷
আসুন একটানা এর সদস্যদের সংখ্যা লিখি।
এটা চালু হবে: 1; 0.25; 0.0625; 0.015625; 0, 00390625 ইত্যাদি। 0<q<1 হর থেকে এই জ্যামিতিক অগ্রগতি কত দ্রুত হ্রাস পায় তা বোঝার জন্য বেশ সাধারণ গণনাই যথেষ্ট। যদিও পদগুলির হর অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায়, তারা নিজেরাই অসীম হয়ে যায়। এর মানে হল সংখ্যা সিরিজের সীমা 0। এই উদাহরণটি আবারও অভিসারী ক্রমটির সীমিত প্রকৃতি প্রদর্শন করে।
মৌলিক ক্রম
অগাস্টিন লুই কাউচি, একজন ফরাসি বিজ্ঞানী, গাণিতিক বিশ্লেষণ সম্পর্কিত অনেক কাজ বিশ্বের কাছে প্রকাশ করেছিলেন। তিনি ডিফারেনশিয়াল, ইন্টিগ্রাল, সীমা এবং ধারাবাহিকতার মতো ধারণাগুলির সংজ্ঞা দিয়েছেন। তিনি অভিসারী ক্রমগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিও অধ্যয়ন করেছিলেন। তার ধারণার সারমর্ম বোঝার জন্য,কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিবরণ সংক্ষিপ্ত করা প্রয়োজন।
নিবন্ধের একেবারে শুরুতে, এটি দেখানো হয়েছিল যে এমন একটি অনুক্রম রয়েছে যার জন্য একটি আশেপাশের এলাকা রয়েছে যেখানে প্রকৃত লাইনে একটি নির্দিষ্ট সিরিজের সদস্যদের প্রতিনিধিত্বকারী পয়েন্টগুলি ক্লাস্টার হতে শুরু করে, আরও বেশি করে লাইন আপ করে। ঘনত্বে একই সময়ে, পরবর্তী প্রতিনিধির সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে সাথে তাদের মধ্যে দূরত্ব হ্রাস পায়, অসীমভাবে ছোট হয়ে যায়। এইভাবে, এটি দেখা যাচ্ছে যে একটি প্রদত্ত পাড়ায় একটি প্রদত্ত সিরিজের অসীম সংখ্যক প্রতিনিধিকে গোষ্ঠীভুক্ত করা হয়েছে, যখন এর বাইরে তাদের একটি সীমিত সংখ্যক রয়েছে। এই ধরনের ক্রমগুলিকে মৌলিক বলা হয়৷
একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা তৈরি বিখ্যাত কচি মানদণ্ড স্পষ্টভাবে নির্দেশ করে যে এই ধরনের সম্পত্তির উপস্থিতি প্রমাণ করার জন্য যথেষ্ট যে ক্রমটি একত্রিত হয়। বিপরীতটিও সত্য।
এটা লক্ষ করা উচিত যে ফরাসি গণিতজ্ঞের এই উপসংহারটি বেশিরভাগই বিশুদ্ধ তাত্ত্বিক আগ্রহের। বাস্তবে এর প্রয়োগ একটি বরং জটিল বিষয় হিসাবে বিবেচিত হয়, তাই, সিরিজের অভিসারকে স্পষ্ট করার জন্য, একটি অনুক্রমের জন্য একটি সীমাবদ্ধ সীমার অস্তিত্ব প্রমাণ করা অনেক বেশি গুরুত্বপূর্ণ। অন্যথায়, এটি ভিন্ন বলে বিবেচিত হয়৷
সমস্যার সমাধান করার সময়, অভিসারী ক্রমগুলির মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিকেও বিবেচনা করা উচিত। সেগুলি নীচে দেখানো হয়েছে৷
অসীম যোগফল
আর্কিমিডিস, ইউক্লিড, ইউডক্সাসের মতো প্রাচীনকালের বিখ্যাত বিজ্ঞানীরা বক্ররেখার দৈর্ঘ্য, দেহের আয়তন গণনা করতে অসীম সংখ্যা সিরিজের যোগফল ব্যবহার করেছিলেন।এবং পরিসংখ্যান এলাকা. বিশেষ করে, এইভাবে প্যারাবোলিক সেগমেন্টের ক্ষেত্রফল বের করা সম্ভব হয়েছিল। এর জন্য, q=1/4 সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির সংখ্যাসূচক সিরিজের যোগফল ব্যবহার করা হয়েছিল। অন্যান্য নির্বিচারে পরিসংখ্যানের আয়তন এবং ক্ষেত্রগুলি একইভাবে পাওয়া গেছে। এই বিকল্পটিকে "ক্লান্তি" পদ্ধতি বলা হত। ধারণাটি ছিল যে অধ্যয়ন করা শরীর, আকৃতিতে জটিল, অংশে বিভক্ত ছিল, যা সহজে পরিমাপ করা পরামিতি সহ পরিসংখ্যান ছিল। এই কারণে, তাদের এলাকা এবং আয়তন গণনা করা কঠিন ছিল না, এবং তারপরে তারা যোগ করেছে।
যাইহোক, অনুরূপ কাজগুলি আধুনিক স্কুলছাত্রীদের কাছে খুব পরিচিত এবং USE টাস্কগুলিতে পাওয়া যায়৷ দূরবর্তী পূর্বপুরুষদের দ্বারা পাওয়া অনন্য পদ্ধতিটি এখন পর্যন্ত সবচেয়ে সহজ সমাধান। এমনকি যদি মাত্র দুই বা তিনটি অংশে সংখ্যাসূচক চিত্রকে ভাগ করা হয়, তবুও তাদের ক্ষেত্রগুলির যোগফল সংখ্যা সিরিজের যোগফল।
প্রাচীন গ্রীক বিজ্ঞানী লাইবনিজ এবং নিউটনের চেয়ে অনেক পরে, তাদের জ্ঞানী পূর্বসূরিদের অভিজ্ঞতার ভিত্তিতে, অখণ্ড গণনার ধরণগুলি শিখেছিলেন। অনুক্রমের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে জ্ঞান তাদের ডিফারেনশিয়াল এবং বীজগাণিতিক সমীকরণগুলি সমাধান করতে সাহায্য করেছিল। বর্তমানে, বহু প্রজন্মের প্রতিভাবান বিজ্ঞানীদের প্রচেষ্টায় নির্মিত সিরিজের তত্ত্বটি বিপুল সংখ্যক গাণিতিক এবং ব্যবহারিক সমস্যা সমাধানের সুযোগ দেয়। এবং সংখ্যাসূচক অনুক্রমের অধ্যয়ন তার শুরু থেকেই গাণিতিক বিশ্লেষণের দ্বারা সমাধান করা প্রধান সমস্যা।
