আয়তন হল যেকোন চিত্রের একটি বৈশিষ্ট্য যা স্থানের তিনটি মাত্রাতেই শূন্য নয়। এই নিবন্ধে, স্টেরিওমেট্রির দৃষ্টিকোণ থেকে (স্থানিক চিত্রের জ্যামিতি), আমরা একটি প্রিজম বিবেচনা করব এবং দেখাব কীভাবে বিভিন্ন ধরণের প্রিজমের আয়তন খুঁজে বের করা যায়।
প্রিজম কি?
স্টেরিওমেট্রিতে এই প্রশ্নের সঠিক উত্তর আছে। এটিতে একটি প্রিজম দুটি অভিন্ন বহুভুজ মুখ এবং কয়েকটি সমান্তরালগ্রাম দ্বারা গঠিত একটি চিত্র হিসাবে বোঝা যায়। নীচের ছবিটি চারটি ভিন্ন প্রিজম দেখায়৷
তাদের প্রত্যেকটি নিম্নরূপ প্রাপ্ত করা যেতে পারে: আপনাকে একটি বহুভুজ (ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ ইত্যাদি) এবং একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যের একটি অংশ নিতে হবে। তারপর বহুভুজের প্রতিটি শীর্ষকে অন্য সমতলে সমান্তরাল অংশগুলি ব্যবহার করে স্থানান্তর করা উচিত। নতুন সমতলে, যা আসলটির সমান্তরাল হবে, একটি নতুন বহুভুজ পাওয়া যাবে, যা প্রাথমিকভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে।
প্রিজম বিভিন্ন ধরনের হতে পারে। সুতরাং, তারা সোজা, তির্যক এবং সঠিক হতে পারে। যদি প্রিজমের পার্শ্বীয় প্রান্ত (সেগমেন্ট,ঘাঁটিগুলির শীর্ষবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করা) চিত্রের ভিত্তিগুলির সাথে লম্ব, তারপর পরবর্তীটি একটি সরল রেখা। তদনুসারে, যদি এই শর্তটি পূরণ করা না হয়, তবে আমরা একটি ঝোঁক প্রিজমের কথা বলছি। একটি নিয়মিত চিত্র হল একটি সমকোণী এবং সমবাহু ভিত্তি সহ একটি ডান প্রিজম৷
পরে নিবন্ধে আমরা দেখাব কিভাবে এই ধরনের প্রতিটি প্রিজমের আয়তন গণনা করা যায়।
নিয়মিত প্রিজমের আয়তন
আসুন সহজতম কেস দিয়ে শুরু করা যাক। আমরা একটি এন-গোনাল বেস সহ একটি নিয়মিত প্রিজমের আয়তনের সূত্র দিই। বিবেচনাধীন শ্রেণীর যেকোনো চিত্রের জন্য ভলিউম সূত্র V নিম্নরূপ:
V=Soh.
অর্থাৎ, আয়তন নির্ণয় করার জন্য, এটি So বেসের একটির ক্ষেত্রফল গণনা করা এবং চিত্রের উচ্চতা h দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট।
রেগুলার প্রিজমের ক্ষেত্রে, এর বেসের পাশের দৈর্ঘ্য a অক্ষর দিয়ে এবং উচ্চতা, যা পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সমান, h অক্ষর দিয়ে বোঝাই। যদি n-gon-এর ভিত্তি সঠিক হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল নিম্নলিখিত সার্বজনীন সূত্রটি ব্যবহার করা:
S=n/4a2ctg(pi/n)।
n বাহুর সংখ্যা এবং এক বাহুর a এর দৈর্ঘ্যকে সমতায় প্রতিস্থাপন করে, আপনি n-গোনাল বেসের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে পারেন। উল্লেখ্য যে এখানে কোট্যাঞ্জেন্ট ফাংশনটি কোণ pi/n এর জন্য গণনা করা হয়েছে, যা রেডিয়ানে প্রকাশ করা হয়েছে।
S এর জন্য লেখা সমতা দেওয়া হলে, আমরা একটি নিয়মিত প্রিজমের আয়তনের চূড়ান্ত সূত্রটি পাই:
V=n/4a2hctg(pi/n).
প্রতিটি নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে, আপনি V এর জন্য সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলি লিখতে পারেন, তবে সেগুলি সবইলিখিত সাধারণ অভিব্যক্তি থেকে অনন্যভাবে অনুসরণ করুন। উদাহরণস্বরূপ, একটি নিয়মিত চতুর্ভুজাকার প্রিজমের জন্য, যা সাধারণ ক্ষেত্রে একটি আয়তক্ষেত্রাকার সমান্তরাল পাইপ, আমরা পাই:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 ঘ.
যদি আমরা এই রাশিতে h=a নিই, তাহলে আমরা ঘনকের আয়তনের সূত্র পাব।
সরাসরি প্রিজমের আয়তন
আমরা এখনই লক্ষ্য করি যে সোজা পরিসংখ্যানগুলির জন্য আয়তন গণনার জন্য কোনও সাধারণ সূত্র নেই, যা নিয়মিত প্রিজমের জন্য উপরে দেওয়া হয়েছিল। প্রশ্নে মান খুঁজে বের করার সময়, মূল অভিব্যক্তি ব্যবহার করা উচিত:
V=Soh.
এখানে h হল পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য, আগের ক্ষেত্রে যেমন। বেস এলাকার জন্য So, এটি বিভিন্ন মান নিতে পারে। আয়তনের একটি সরল প্রিজম গণনা করার কাজটি এর ভিত্তির ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জন্য হ্রাস করা হয়।
So এর মানের গণনা বেসের বৈশিষ্ট্যের উপর ভিত্তি করে করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, যদি এটি একটি ত্রিভুজ হয়, তাহলে ক্ষেত্রফলটি এভাবে গণনা করা যেতে পারে:
So3=1/2aha.
এখানে ha হল ত্রিভুজের অ্যাপোথেম, অর্থাৎ, এর উচ্চতা বেসের দিকে নামানো হয়েছে।
যদি ভিত্তিটি চতুর্ভুজ হয়, তবে এটি একটি ট্র্যাপিজয়েড, একটি সমান্তরাল, একটি আয়তক্ষেত্র বা সম্পূর্ণ নির্বিচারে হতে পারে। এই সমস্ত ক্ষেত্রে, এলাকা নির্ধারণের জন্য আপনার উপযুক্ত প্ল্যানমিট্রি সূত্র ব্যবহার করা উচিত। উদাহরণস্বরূপ, একটি ট্র্যাপিজয়েডের জন্য, এই সূত্রটি এরকম দেখাচ্ছে:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
যেখানে ha হল ট্র্যাপিজয়েডের উচ্চতা, a1 এবং a2 হল দৈর্ঘ্য এর সমান্তরাল বাহুর.
একটি উচ্চতর ক্রমে বহুভুজগুলির জন্য ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে, আপনাকে সেগুলিকে সরল আকারে বিভক্ত করতে হবে (ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ) এবং পরবর্তীগুলির ক্ষেত্রফলের যোগফল গণনা করতে হবে৷
কাত প্রিজম ভলিউম
এটি প্রিজমের আয়তন গণনার সবচেয়ে কঠিন ঘটনা। এই ধরনের পরিসংখ্যানের জন্য সাধারণ সূত্রটিও প্রযোজ্য:
V=Soh.
তবে, একটি নির্বিচারে বহুভুজের প্রতিনিধিত্বকারী বেসের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করার জটিলতার সাথে, চিত্রের উচ্চতা নির্ধারণের সমস্যা যুক্ত হয়েছে। এটি একটি আনত প্রিজমে পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের চেয়ে সর্বদা কম।
এই উচ্চতা খুঁজে বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল যদি আপনি চিত্রের যেকোন কোণ (সমতল বা ডাইহেড্রাল) জানেন। যদি এমন একটি কোণ দেওয়া হয়, তাহলে প্রিজমের অভ্যন্তরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করতে এটি ব্যবহার করা উচিত, যার উচ্চতা h থাকবে একটি বাহুর হিসাবে এবং, ত্রিকোণমিতিক ফাংশন এবং পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, h মানটি বের করুন।
জ্যামিতিক ভলিউম সমস্যা
একটি ত্রিভুজাকার ভিত্তি সহ একটি নিয়মিত প্রিজম দেওয়া হয়েছে, যার উচ্চতা 14 সেমি এবং একটি পাশের দৈর্ঘ্য 5 সেমি। ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন কত?
যেহেতু আমরা সঠিক চিত্রের কথা বলছি, তাই আমাদের সুপরিচিত সূত্রটি ব্যবহার করার অধিকার রয়েছে। আমাদের আছে:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 সেমি3.
একটি ত্রিভুজাকার প্রিজম একটি মোটামুটি প্রতিসম চিত্র, যার আকারে প্রায়শই বিভিন্ন স্থাপত্য কাঠামো তৈরি করা হয়। এই গ্লাস প্রিজম অপটিক্সে ব্যবহৃত হয়।
