নিয়মিত হেক্সাগোনাল পিরামিড। আয়তন এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সূত্র। জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

স্টেরিওমেট্রি, মহাকাশে জ্যামিতির একটি শাখা হিসাবে, প্রিজম, সিলিন্ডার, শঙ্কু, বল, পিরামিড এবং অন্যান্য ত্রিমাত্রিক চিত্রগুলির বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করে। এই নিবন্ধটি একটি ষড়ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের বৈশিষ্ট্য এবং বৈশিষ্ট্যগুলির একটি বিশদ পর্যালোচনার জন্য উত্সর্গীকৃত৷

কোন পিরামিড অধ্যয়ন করা হবে

একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিড হল মহাকাশের একটি চিত্র, যা একটি সমবাহু এবং সমভুজাকার ষড়ভুজ এবং ছয়টি অভিন্ন সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ দ্বারা সীমাবদ্ধ। এই ত্রিভুজগুলি নির্দিষ্ট অবস্থার অধীনেও সমবাহু হতে পারে। এই পিরামিডটি নীচে দেখানো হয়েছে৷

একই চিত্রটি এখানে দেখানো হয়েছে, শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে এটি তার পার্শ্বীয় মুখটি পাঠকের দিকে এবং অন্যটিতে - এটির পার্শ্বীয় প্রান্ত দিয়ে।

একটি নিয়মিত ষড়ভুজাকার পিরামিডের ৭টি মুখ রয়েছে, যা উপরে উল্লেখ করা হয়েছে। এটিতে 7টি শীর্ষবিন্দু এবং 12টি প্রান্ত রয়েছে। প্রিজমের বিপরীতে, সমস্ত পিরামিডের একটি বিশেষ শীর্ষবিন্দু থাকে, যা পার্শ্বীয় ছেদ দ্বারা গঠিত হয়ত্রিভুজ একটি নিয়মিত পিরামিডের জন্য, এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেহেতু এটি থেকে চিত্রের ভিত্তি পর্যন্ত লম্বটি উচ্চতা। আরও, উচ্চতা h অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

দেখানো পিরামিডটিকে দুটি কারণে সঠিক বলা হয়:

• এর গোড়ায় একটি ষড়ভুজ যার সমান বাহুর দৈর্ঘ্য a এবং সমান কোণ 120o;
• পিরামিড h এর উচ্চতা ষড়ভুজটিকে ঠিক তার কেন্দ্রে ছেদ করে (ছেদের বিন্দুটি সমস্ত দিক থেকে এবং ষড়ভুজের সমস্ত শীর্ষ থেকে একই দূরত্বে অবস্থিত)।

পৃষ্ঠের এলাকা

একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের বৈশিষ্ট্যগুলি এর ক্ষেত্রফলের সংজ্ঞা থেকে বিবেচনা করা হবে। এটি করার জন্য, একটি সমতলে চিত্রটি উন্মোচন করা প্রথমে কার্যকর। এটির একটি পরিকল্পিত উপস্থাপনা নীচে দেখানো হয়েছে৷

এটা দেখা যায় যে ঝাড়ুর ক্ষেত্রফল, এবং তাই বিবেচনাধীন চিত্রটির পুরো পৃষ্ঠটি ছয়টি অভিন্ন ত্রিভুজ এবং একটি ষড়ভুজের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।

একটি ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে S_{6, একটি নিয়মিত এন-গনের জন্য সর্বজনীন সূত্র ব্যবহার করুন:}

S=n/4a2ctg(pi/n)=>

S₆=3√3/2a^2.

যেখানে a ষড়ভুজের পাশের দৈর্ঘ্য।

একটি ত্রিভুজের পার্শ্বীয় বাহুর S₃ এর ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে যদি আপনি এর উচ্চতার মান জানেন তাহলে h_b:

S₃=1/2h_ba.

কারণ সব ছয়ত্রিভুজগুলি একে অপরের সমান, তারপর আমরা সঠিক ভিত্তি সহ একটি ষড়ভুজ পিরামিডের ক্ষেত্রফল নির্ধারণের জন্য একটি কার্যকরী অভিব্যক্তি পাই:

S=S₆+ 6S₃=3√3/2a^{2 + 61/2h}b_{a=3a(√3/2a + h}b_)।

পিরামিড ভলিউম

ক্ষেত্রফলের মতোই, একটি ষড়ভুজাকার নিয়মিত পিরামিডের আয়তন হল এর গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। এই ভলিউমটি সমস্ত পিরামিড এবং শঙ্কুগুলির জন্য সাধারণ সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়। আসুন এটি লিখে রাখি:

V=1/3S_oh.

এখানে, S_o হল ষড়ভুজ ভিত্তির ক্ষেত্রফল, যেমন S_o=S _6।

S_{6 এর জন্য উপরের অভিব্যক্তিটিকে V-এর সূত্রে প্রতিস্থাপন করে, আমরা একটি নিয়মিত ষড়ভুজাকার পিরামিডের আয়তন নির্ধারণের জন্য চূড়ান্ত সমতায় পৌঁছেছি:}

V=√3/2a2h.

একটি জ্যামিতিক সমস্যার উদাহরণ

একটি নিয়মিত ষড়ভুজাকার পিরামিডে, পার্শ্বীয় প্রান্তটি বেস পাশের দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ। শেষেরটি 7 সেমি জেনে, এই চিত্রটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন গণনা করা প্রয়োজন৷

আপনি যেমন অনুমান করতে পারেন, এই সমস্যার সমাধানে S এবং V-এর জন্য উপরে প্রাপ্ত অভিব্যক্তিগুলি ব্যবহার করা জড়িত। তবুও, এগুলি এখনই ব্যবহার করা সম্ভব হবে না, যেহেতু আমরা apothem এবং একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের উচ্চতা। আসুন তাদের হিসাব করি।

অ্যাপোথেম h_b b, a/2 এবং h_{b বাহুতে নির্মিত একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করে নির্ধারণ করা যেতে পারে। এখানে b হল পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য। সমস্যার অবস্থা ব্যবহার করে, আমরা পাই:}

h_b=√(b²-a²/4)=√(14 ²-7^{2/4)=13, 555 সেমি।}

পিরামিডের উচ্চতা h একটি অ্যাপোথেমের মতো ঠিক একইভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে, তবে এখন আমাদের পিরামিডের ভিতরে অবস্থিত h, b এবং a বাহু বিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ বিবেচনা করা উচিত। উচ্চতা হবে:

h=√(b²- a²)=√(14²- 7 ^{2)=12, 124 সেমি।}

এটা দেখা যায় যে গণনাকৃত উচ্চতার মান অ্যাপোথেমের চেয়ে কম, যা যেকোনো পিরামিডের জন্য সত্য।

এখন আপনি আয়তন এবং ক্ষেত্রফলের জন্য এক্সপ্রেশন ব্যবহার করতে পারেন:

S=3a(√3/2a + h_b)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm^2;

V=√3/2a²h=√3/27²12, 124=514, 48cm^3.

এইভাবে, একটি নিয়মিত ষড়ভুজ পিরামিডের যে কোনো বৈশিষ্ট্য দ্ব্যর্থহীনভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে এর যেকোনো দুটি রৈখিক পরামিতি জানতে হবে।