উচ্চ বিদ্যালয়ে, সমতলে চিত্রের বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করার পরে, তারা স্থানিক জ্যামিতিক বস্তু যেমন প্রিজম, গোলক, পিরামিড, সিলিন্ডার এবং শঙ্কুগুলির বিবেচনায় চলে যায়৷ এই নিবন্ধে, আমরা একটি সরল ত্রিভুজাকার প্রিজমের সবচেয়ে সম্পূর্ণ বিবরণ দেব।
ত্রিভুজাকার প্রিজম কি?
আসুন চিত্রটির সংজ্ঞা দিয়ে নিবন্ধটি শুরু করা যাক, যা আরও আলোচনা করা হবে। জ্যামিতির দৃষ্টিকোণ থেকে প্রিজম হল মহাকাশের একটি চিত্র যা সমান্তরাল সমতলে অবস্থিত দুটি অভিন্ন এন-গন দ্বারা গঠিত, যার একই কোণগুলি সরলরেখার অংশ দ্বারা সংযুক্ত। এই অংশগুলিকে পার্শ্বীয় পাঁজর বলা হয়। বেসের বাহুগুলির সাথে একসাথে, তারা একটি পার্শ্ব পৃষ্ঠ তৈরি করে, যা সাধারণত সমান্তরালগ্রাম দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।
দুটি এন-গন হল চিত্রটির ভিত্তি। যদি পাশের প্রান্তগুলি তাদের লম্ব হয়, তবে তারা একটি সরল প্রিজমের কথা বলে। তদনুসারে, বেসে বহুভুজের n বাহুর সংখ্যা তিন হলে, এই ধরনের চিত্রটিকে ত্রিভুজাকার প্রিজম বলা হয়।
চিত্রে উপরে ত্রিভুজাকার সোজা প্রিজম দেখানো হয়েছে। এই চিত্রটিকে নিয়মিত বলা হয়, কারণ এর ভিত্তিগুলি সমবাহু ত্রিভুজ। চিত্রের পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য, চিত্রে h অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত, এর উচ্চতা বলা হয়।
চিত্রটি দেখায় যে একটি ত্রিভুজাকার ভিত্তি সহ একটি প্রিজম পাঁচটি মুখ দ্বারা গঠিত, যার মধ্যে দুটি সমবাহু ত্রিভুজ এবং তিনটি অভিন্ন আয়তক্ষেত্র। মুখগুলি ছাড়াও, প্রিজমের ভিত্তি এবং নয়টি প্রান্তে ছয়টি শীর্ষবিন্দু রয়েছে। বিবেচিত উপাদানগুলির সংখ্যা অয়লার উপপাদ্য দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত:
প্রান্তের সংখ্যা=শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা + বাহুর সংখ্যা - 2.
একটি ডান ত্রিভুজাকার প্রিজমের ক্ষেত্রফল
আমরা উপরে জানতে পেরেছি যে প্রশ্নে থাকা চিত্রটি দুটি ধরণের পাঁচটি মুখ (দুটি ত্রিভুজ, তিনটি আয়তক্ষেত্র) দ্বারা গঠিত। এই সমস্ত মুখগুলি প্রিজমের সম্পূর্ণ পৃষ্ঠ তৈরি করে। তাদের মোট ক্ষেত্রফল হল চিত্রের ক্ষেত্রফল। নীচে একটি ত্রিভুজাকার প্রিজম উন্মোচন করা হয়েছে, যা প্রথমে চিত্র থেকে দুটি ভিত্তি কেটে এবং তারপর একটি প্রান্ত বরাবর কেটে পাশের পৃষ্ঠটি উন্মোচন করে পাওয়া যেতে পারে।
আসুন এই সুইপের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য সূত্র দেওয়া যাক। একটি ডান ত্রিভুজাকার প্রিজমের ভিত্তি দিয়ে শুরু করা যাক। যেহেতু তারা ত্রিভুজকে প্রতিনিধিত্ব করে, তাই তাদের প্রত্যেকটির S3 ক্ষেত্রটি নিম্নরূপ পাওয়া যেতে পারে:
S3=1/2aha.
এখানে a হল ত্রিভুজের বাহু, ha হল ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু থেকে এই দিকের দিকে নামানো উচ্চতা।
যদি ত্রিভুজটি সমবাহু (নিয়মিত) হয়, তাহলে S3এর সূত্রটি শুধুমাত্র একটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করে। দেখে মনে হচ্ছে:
S3=√3/4a2.
এই রাশিটি a, a/2, ha. দ্বারা গঠিত একটি সমকোণী ত্রিভুজ বিবেচনা করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে।
একটি নিয়মিত চিত্রের জন্য ঘাঁটির ক্ষেত্রফল So S3: এর দ্বিগুণ
So=2S3=√3/2a2।
যেমন পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল Sb, এটি গণনা করা কঠিন নয়। এটি করার জন্য, a এবং h বাহুর দ্বারা গঠিত একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলকে তিনটি দ্বারা গুণ করা যথেষ্ট। সংশ্লিষ্ট সূত্র হল:
Sb=3ah.
এইভাবে, ত্রিভুজাকার ভিত্তি সহ একটি নিয়মিত প্রিজমের ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:
S=So+ Sb=√3/2a2+ 3 ah.
যদি প্রিজম সোজা কিন্তু অনিয়মিত হয়, তাহলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আপনাকে আলাদাভাবে আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রগুলি যোগ করতে হবে যেগুলি একে অপরের সমান নয়।
একটি চিত্রের আয়তন নির্ণয় করা
একটি প্রিজমের আয়তন বোঝা যায় তার পাশ (মুখ) দ্বারা সীমাবদ্ধ স্থান হিসাবে। একটি ডান ত্রিভুজাকার প্রিজমের আয়তন গণনা করা তার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনার চেয়ে অনেক সহজ। এটি করার জন্য, বেসের ক্ষেত্রফল এবং চিত্রের উচ্চতা জানা যথেষ্ট। যেহেতু একটি সরল চিত্রের উচ্চতা h হল এর পার্শ্বীয় প্রান্তের দৈর্ঘ্য এবং কিভাবে ভিত্তি ক্ষেত্রফল নির্ণয় করা যায়, আমরা পূর্বে দিয়েছি।পয়েন্ট, তারপর পছন্দসই ভলিউম পাওয়ার জন্য এই দুটি মান একে অপরের সাথে গুণ করা বাকি থাকে। এর সূত্রটি হয়ে যায়:
V=S3h.
উল্লেখ্য যে একটি বেস এবং উচ্চতার ক্ষেত্রফলের গুণফল শুধুমাত্র একটি সরল প্রিজমের আয়তন দেবে না, বরং একটি তির্যক চিত্র এবং এমনকি একটি সিলিন্ডারও দেবে।
সমস্যা সমাধান
বিচ্ছুরণের ঘটনার কারণে ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক রেডিয়েশনের বর্ণালী অধ্যয়নের জন্য কাচের ত্রিভুজাকার প্রিজমগুলি অপটিক্সে ব্যবহার করা হয়। এটি জানা যায় যে একটি নিয়মিত কাচের প্রিজমের বেস সাইডের দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং একটি প্রান্তের দৈর্ঘ্য 15 সেমি। এর কাচের মুখের ক্ষেত্রফল কত এবং এতে কী পরিমাণ থাকে?
ক্ষেত্র নির্ধারণ করতে, আমরা নিবন্ধে লেখা সূত্রটি ব্যবহার করব। আমাদের আছে:
S=√3/2a2+ 3ah=√3/2102 + 3 1015=536.6 সেমি2।
ভলিউম V নির্ধারণ করতে, আমরা উপরের সূত্রটিও ব্যবহার করি:
V=S3h=√3/4a2h=√3/410 215=649.5 সেমি3.
প্রিজমের প্রান্তগুলি 10 সেমি এবং 15 সেমি লম্বা হওয়া সত্ত্বেও, চিত্রটির আয়তন মাত্র 0.65 লিটার (10 সেমি পাশের একটি ঘনক্ষেত্রের আয়তন 1 লিটার)।
