এটা অসম্ভাব্য যে অনেক লোক চিন্তা করে যে ঘটনাগুলি কমবেশি এলোমেলোভাবে গণনা করা সম্ভব কিনা। সহজ কথায়, ডাইসের ডাই এর কোন পাশ থেকে পরে পড়বে তা জানা কি বাস্তবসম্মত। এই প্রশ্নটিই দুজন মহান বিজ্ঞানী জিজ্ঞাসা করেছিলেন, যিনি সম্ভাব্যতার তত্ত্বের মতো একটি বিজ্ঞানের ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন, যেখানে একটি ঘটনার সম্ভাবনা বেশ ব্যাপকভাবে অধ্যয়ন করা হয়৷
উৎপত্তি
যদি আপনি সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হিসাবে এই জাতীয় ধারণাটিকে সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করেন তবে আপনি নিম্নলিখিতগুলি পাবেন: এটি গণিতের একটি শাখা যা এলোমেলো ঘটনাগুলির স্থিরতা অধ্যয়ন করে। অবশ্যই, এই ধারণাটি প্রকৃতপক্ষে সম্পূর্ণ সারমর্ম প্রকাশ করে না, তাই এটি আরও বিশদে বিবেচনা করা প্রয়োজন৷
আমি তত্ত্বের নির্মাতাদের সাথে শুরু করতে চাই। উপরে উল্লিখিত হিসাবে, তাদের মধ্যে দুটি ছিল, তারা হলেন পিয়েরে ফার্মাট এবং ব্লেইস পাসকাল। তারাই প্রথম যারা সূত্র এবং গাণিতিক গণনা ব্যবহার করে একটি ঘটনার ফলাফল গণনা করার চেষ্টা করেছিল। সামগ্রিকভাবে, এই বিজ্ঞানের মূল বিষয়গুলি যত তাড়াতাড়ি উপস্থিত হয়েছিলমধ্যবয়সী. সেই সময়ে, বিভিন্ন চিন্তাবিদ এবং বিজ্ঞানীরা জুয়াকে বিশ্লেষণ করার চেষ্টা করেছিলেন, যেমন রুলেট, ক্র্যাপস এবং আরও অনেক কিছু, যার ফলে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার পতনের একটি প্যাটার্ন এবং শতাংশ স্থাপন করা হয়েছিল। সপ্তদশ শতাব্দীতে পূর্বোক্ত বিজ্ঞানীরা ভিত্তি স্থাপন করেছিলেন।
প্রথম দিকে, তাদের কাজকে এই ক্ষেত্রের মহান কৃতিত্বের জন্য দায়ী করা যায় না, কারণ তারা যা করেছে তা ছিল কেবলমাত্র অভিজ্ঞতামূলক তথ্য, এবং পরীক্ষাগুলি সূত্রের ব্যবহার ছাড়াই দৃশ্যত সেট করা হয়েছিল। সময়ের সাথে সাথে, এটি দুর্দান্ত ফলাফল অর্জনে পরিণত হয়েছিল, যা পাশা নিক্ষেপ পর্যবেক্ষণের ফলাফল হিসাবে উপস্থিত হয়েছিল। এই টুলটিই প্রথম বোধগম্য সূত্র বের করতে সাহায্য করেছিল৷
সহযোগী
"সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" নামক একটি বিষয় অধ্যয়নের প্রক্রিয়ার মধ্যে ক্রিশ্চিয়ান হাইজেনসের মতো একজন ব্যক্তির কথা উল্লেখ না করা অসম্ভব (একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা এই বিজ্ঞানে সুনির্দিষ্টভাবে আচ্ছাদিত করা হয়েছে)। এই ব্যক্তি খুব আকর্ষণীয়. তিনি, উপরে উপস্থাপিত বিজ্ঞানীদের মত, গাণিতিক সূত্র আকারে এলোমেলো ঘটনাগুলির নিয়মিততা বের করার চেষ্টা করেছিলেন। এটি লক্ষণীয় যে তিনি প্যাসকেল এবং ফার্মাটের সাথে একসাথে এটি করেননি, অর্থাৎ, তার সমস্ত কাজ কোনওভাবেই এই মনের সাথে ছেদ করেনি। হাইজেনস সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলি নিয়েছিলেন৷
একটি মজার তথ্য হল যে তার কাজ অগ্রগামীদের কাজের ফলাফলের অনেক আগে বা বরং বিশ বছর আগে প্রকাশিত হয়েছিল। মনোনীত ধারণাগুলির মধ্যে, সর্বাধিক বিখ্যাত হল:
- সম্ভাব্যতার ধারণা সুযোগের মাত্রা হিসেবে;
- বিচ্ছিন্ন জন্য প্রত্যাশাকেস;
- সম্ভাব্যতার গুণ ও যোগের উপপাদ্য।
জ্যাকব বার্নোলির কথা মনে না রাখাও অসম্ভব, যিনি সমস্যার অধ্যয়নেও গুরুত্বপূর্ণ অবদান রেখেছিলেন। কারও থেকে স্বাধীনভাবে নিজের পরীক্ষা পরিচালনা করে, তিনি বিপুল সংখ্যক আইনের প্রমাণ উপস্থাপন করতে সক্ষম হন। পরিবর্তে, বিজ্ঞানী পয়সন এবং ল্যাপ্লেস, যারা উনিশ শতকের শুরুতে কাজ করেছিলেন, তারা মূল উপপাদ্য প্রমাণ করতে সক্ষম হন। এই মুহূর্ত থেকেই সম্ভাব্যতা তত্ত্বটি পর্যবেক্ষণের সময় ত্রুটিগুলি বিশ্লেষণ করতে ব্যবহার করা শুরু হয়েছিল। রাশিয়ান বিজ্ঞানীরা, বা বরং মার্কভ, চেবিশেভ এবং দিয়াপুনভ, এই বিজ্ঞানকেও বাইপাস করতে পারেননি। মহান প্রতিভাদের দ্বারা করা কাজের উপর ভিত্তি করে, তারা এই বিষয়টিকে গণিতের একটি শাখা হিসাবে নির্ধারণ করেছিল। এই পরিসংখ্যানগুলি উনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে ইতিমধ্যেই কাজ করেছে, এবং তাদের অবদানের জন্য ধন্যবাদ, ঘটনা যেমন:
- বড় সংখ্যার আইন;
- মার্কভ চেইন তত্ত্ব;
- কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্য।
সুতরাং, বিজ্ঞানের জন্মের ইতিহাস এবং প্রধান ব্যক্তিদের সাথে যারা এটিকে প্রভাবিত করেছিল, সবকিছুই কমবেশি পরিষ্কার। এখন সময় এসেছে সব ঘটনাকে সংহত করার।
মৌলিক ধারণা
আইন এবং উপপাদ্যগুলি স্পর্শ করার আগে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাগুলি অধ্যয়ন করা মূল্যবান৷ ঘটনা এটি নেতৃস্থানীয় ভূমিকা নেয়. এই বিষয়টা বেশ বড়, কিন্তু এটা ছাড়া বাকি সব বোঝা সম্ভব হবে না।
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের একটি ঘটনা হল একটি পরীক্ষার ফলাফলের কোনো সেট। এই ঘটনার এতগুলি ধারণা নেই। সুতরাং, বিজ্ঞানী লটম্যান,এই এলাকায় কাজ করা, বলেছেন যে এই ক্ষেত্রে আমরা এমন কিছু সম্পর্কে কথা বলছি যা "ঘটেছে, যদিও এটি ঘটেনি।"
এলোমেলো ঘটনা (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব তাদের প্রতি বিশেষ মনোযোগ দেয়) এমন একটি ধারণা যা ঘটতে পারে এমন কোনো ঘটনাকে বোঝায়। অথবা, বিপরীতভাবে, অনেক শর্ত পূরণ হলে এই দৃশ্যটি ঘটতে পারে না। এটিও জানার মতো যে এটি এলোমেলো ঘটনা যা ঘটে যাওয়া ঘটনার পুরো আয়তনকে ক্যাপচার করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব নির্দেশ করে যে সমস্ত শর্ত ক্রমাগত পুনরাবৃত্তি হতে পারে। এটি তাদের আচরণ ছিল যাকে "অভিজ্ঞতা" বা "পরীক্ষা" বলা হত।
একটি নির্দিষ্ট ঘটনা এমন একটি যা একটি প্রদত্ত পরীক্ষায় 100% ঘটবে। তদনুসারে, একটি অসম্ভব ঘটনা যা ঘটবে না।
একজোড়া ক্রিয়ার সংমিশ্রণ (প্রচলিত ক্ষেত্রে A এবং কেস B) একটি ঘটনা যা একই সাথে ঘটে। তাদের AB হিসাবে মনোনীত করা হয়েছে।
A এবং B ঘটনাগুলির জোড়ার যোগফল হল C, অন্য কথায়, যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটি ঘটে (A বা B), তাহলে C পাওয়া যাবে। বর্ণিত ঘটনার সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে: C=A + B.
সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলি বোঝায় যে দুটি ক্ষেত্রে পারস্পরিক একচেটিয়া। তারা একই সময়ে ঘটতে পারে না। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের যৌথ ঘটনা তাদের প্রতিষেধক। এটি বোঝায় যে যদি A ঘটে থাকে তবে এটি B এর সাথে হস্তক্ষেপ করে না।
বিপরীত ঘটনাগুলি (সম্ভাব্যতা তত্ত্ব তাদের সাথে বিশদভাবে ডিল করে) বোঝা সহজ। তুলনামূলকভাবে তাদের সাথে মোকাবিলা করা ভাল। তারা প্রায় একই রকমএবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বে বেমানান ঘটনা। কিন্তু তাদের পার্থক্য এই যে অনেক ঘটনার মধ্যে একটি অবশ্যই ঘটতে হবে।
সমতুল ঘটনা হল সেই ক্রিয়া, যার সম্ভাবনা সমান। এটিকে আরও পরিষ্কার করার জন্য, আমরা একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলার কথা কল্পনা করতে পারি: এর একটি পাশ পড়ে গেলে অন্যটির পতনের সমান সম্ভাবনা থাকে৷
একটি উদাহরণ দিয়ে শুভ ঘটনাটি দেখা সহজ। ধরা যাক পর্ব B এবং পর্ব A আছে। প্রথমটি হল একটি বিজোড় সংখ্যার উপস্থিতি সহ ডাইসের রোল, এবং দ্বিতীয়টি হল ডাই-এ পাঁচ নম্বরের উপস্থিতি। তারপর দেখা যাচ্ছে যে A B এর পক্ষে।
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বাধীন ঘটনাগুলি শুধুমাত্র দুই বা ততোধিক ক্ষেত্রে অনুমান করা হয় এবং অন্যের থেকে যে কোনও কর্মের স্বাধীনতাকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, A হল একটি মুদ্রা ছুঁড়ে ফেলার সময় লেজের ক্ষতি, এবং B হল ডেক থেকে একটি জ্যাকের অঙ্কন। তারা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বাধীন ঘটনা। এই মুহুর্তে এটি আরও পরিষ্কার হয়ে গেল।
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উপর নির্ভরশীল ঘটনাগুলি শুধুমাত্র তাদের সেটের জন্য গ্রহণযোগ্য। তারা একে অপরের উপর নির্ভরতা বোঝায়, অর্থাৎ, ঘটনা B ঘটতে পারে শুধুমাত্র যদি A ইতিমধ্যে ঘটে থাকে বা বিপরীতভাবে, ঘটেনি, যখন এটি B এর প্রধান শর্ত।
একটি উপাদান নিয়ে গঠিত এলোমেলো পরীক্ষার ফলাফল হল প্রাথমিক ঘটনা। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ব্যাখ্যা করে যে এটি এমন একটি ঘটনা যা শুধুমাত্র একবারই ঘটেছে৷
মৌলিক সূত্র
সুতরাং, "ঘটনা", "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" এর ধারণাএই বিজ্ঞানের মৌলিক পদের সংজ্ঞাও দেওয়া হয়েছিল। এখন গুরুত্বপূর্ণ সূত্রগুলির সাথে সরাসরি পরিচিত হওয়ার সময়। এই অভিব্যক্তিগুলি গাণিতিকভাবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মতো কঠিন বিষয়ের সমস্ত মূল ধারণাকে নিশ্চিত করে। একটি ইভেন্টের সম্ভাবনা এখানেও একটি বিশাল ভূমিকা পালন করে৷
সংযোজনবিদ্যার প্রাথমিক সূত্র দিয়ে শুরু করা ভালো। এবং তাদের দিকে এগিয়ে যাওয়ার আগে, এটি কী তা বিবেচনা করা উচিত।
সংযোজনবিদ্যা প্রাথমিকভাবে গণিতের একটি শাখা, এটি বিপুল সংখ্যক পূর্ণসংখ্যার অধ্যয়ন, সেইসাথে উভয় সংখ্যার নিজেদের এবং তাদের উপাদানগুলির বিভিন্ন স্থানান্তর, বিভিন্ন ডেটা ইত্যাদির সাথে সম্পর্কিত, যা এর উপস্থিতির দিকে পরিচালিত করে। সমন্বয় একটি সংখ্যা. সম্ভাব্যতা তত্ত্ব ছাড়াও, এই শাখাটি পরিসংখ্যান, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং ক্রিপ্টোগ্রাফির জন্য গুরুত্বপূর্ণ।
সুতরাং এখন আমরা ফর্মুলাগুলি নিজেরাই উপস্থাপন করতে এবং সেগুলিকে সংজ্ঞায়িত করতে এগিয়ে যেতে পারি৷
প্রথমটি হবে পারমুটেশনের সংখ্যার এক্সপ্রেশন, এটি এইরকম দেখাচ্ছে:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
সমীকরণ শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য হয় যদি উপাদানগুলি শুধুমাত্র ক্রম অনুসারে আলাদা হয়।
এখন স্থান নির্ধারণের সূত্রটি বিবেচনা করা হবে, এটি এইরকম দেখাচ্ছে:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
এই অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র উপাদানের ক্রম নয়, এর গঠনের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য।
সংযোজনবিদ্যা থেকে তৃতীয় সমীকরণ, এবং এটিও শেষ সমীকরণ, যাকে সংমিশ্রণের সংখ্যার সূত্র বলা হয়:
C_n^m=n !: ((n -মি))!:m !
সংমিশ্রণগুলি এমন নির্বাচন যা যথাক্রমে অর্ডার করা হয় না এবং এই নিয়ম তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য৷
কম্বিনেটরিক্সের সূত্র বের করা সহজ হয়েছে, এখন আমরা সম্ভাব্যতার ক্লাসিক্যাল সংজ্ঞায় যেতে পারি। এই অভিব্যক্তিটি এইরকম দেখাচ্ছে:
P(A)=m: n.
এই সূত্রে, m হল ঘটনা A এর জন্য অনুকূল অবস্থার সংখ্যা এবং n হল একেবারে সমানভাবে সম্ভাব্য এবং প্রাথমিক ফলাফলের সংখ্যা।
এখানে প্রচুর সংখ্যক অভিব্যক্তি রয়েছে, নিবন্ধটি সেগুলিকে কভার করবে না, তবে তাদের মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণটি স্পর্শ করা হবে, যেমন, উদাহরণ স্বরূপ, ঘটনার যোগফলের সম্ভাবনা:
P(A + B)=P(A) + P(B) - এই উপপাদ্যটি শুধুমাত্র বেমানান ঘটনা যোগ করার জন্য;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - এবং এটি শুধুমাত্র সামঞ্জস্যপূর্ণ যোগ করার জন্য।
ইভেন্ট তৈরির সম্ভাবনা:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – এই উপপাদ্যটি স্বাধীন ঘটনার জন্য;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - এবং এটি এর জন্য আসক্ত।
ইভেন্টের সূত্র তালিকাটি শেষ করে। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব আমাদের বেয়েসের উপপাদ্য সম্পর্কে বলে, যা দেখতে এইরকম:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
এই সূত্রে, H1, H2, …, H হল অনুমানের সম্পূর্ণ গ্রুপ।
আসুন এখানেই থামি, তারপর অনুশীলন থেকে নির্দিষ্ট সমস্যা সমাধানের জন্য সূত্র প্রয়োগের উদাহরণ বিবেচনা করা হবে।
উদাহরণ
যদি আপনি মনোযোগ সহকারে কোন বিভাগ অধ্যয়ন করেনগণিত, এটি ব্যায়াম এবং নমুনা সমাধান ছাড়া কাজ করে না। সম্ভাবনার তত্ত্বটিও তাই: ঘটনা, উদাহরণ এখানে একটি অবিচ্ছেদ্য উপাদান যা বৈজ্ঞানিক গণনা নিশ্চিত করে৷
ক্রমানুযায়ী সংখ্যার জন্য সূত্র
ধরা যাক তাসের একটি ডেকে ত্রিশটি কার্ড রয়েছে, একটি অভিহিত মূল্য থেকে শুরু করে। পরের প্রশ্ন. ডেক স্ট্যাক করার জন্য কতগুলি উপায় আছে যাতে এক এবং দুটি অভিহিত মূল্যের কার্ড একে অপরের পাশে না থাকে?
টাস্ক সেট করা হয়েছে, এখন এর সমাধানের দিকে এগিয়ে যাওয়া যাক। প্রথমে আপনাকে ত্রিশটি উপাদানের পারমুটেশনের সংখ্যা নির্ধারণ করতে হবে, এর জন্য আমরা উপরের সূত্রটি গ্রহণ করি, এটি P_30=30!।
এই নিয়মের উপর ভিত্তি করে, আমরা বিভিন্ন উপায়ে ডেক ভাঁজ করার জন্য কতগুলি বিকল্প আছে তা খুঁজে বের করব, তবে আমাদের সেগুলি থেকে বিয়োগ করতে হবে যেগুলির মধ্যে প্রথম এবং দ্বিতীয় কার্ডগুলি রয়েছে৷ এটি করার জন্য, প্রথমটি দ্বিতীয়টির উপরে হলে বিকল্পটি দিয়ে শুরু করা যাক। দেখা যাচ্ছে যে প্রথম কার্ডটি ঊনবিংশটি স্থান নিতে পারে - প্রথম থেকে ঊনবিংশ পর্যন্ত এবং দ্বিতীয় কার্ডটি দ্বিতীয় থেকে ত্রিশতম পর্যন্ত, এটি এক জোড়া তাসের জন্য ঊনবিংশটি জায়গায় পরিণত হয়। ঘুরে, বাকি আঠাশ জায়গা নিতে পারেন, এবং যে কোনো ক্রমে. অর্থাৎ, আঠাশটি কার্ডের স্থানান্তরের জন্য, আঠাশটি বিকল্প রয়েছে P_28=28!
ফলস্বরূপ, দেখা যাচ্ছে যে প্রথম কার্ডটি দ্বিতীয়টির বেশি হলে সমাধানটি বিবেচনা করলে 29 ⋅ 28টি অতিরিক্ত সম্ভাবনা রয়েছে!=২৯!
একই পদ্ধতি ব্যবহার করে, প্রথম কার্ডটি দ্বিতীয়টির নিচে থাকলে আপনাকে ক্ষেত্রের জন্য অপ্রয়োজনীয় বিকল্পের সংখ্যা গণনা করতে হবে।এটাও দেখা যাচ্ছে 29 ⋅ 28!=২৯!
এটি অনুসরণ করে যে 2 ⋅ 29টি অতিরিক্ত বিকল্প রয়েছে!, যেখানে একটি ডেক তৈরি করার জন্য 30টি প্রয়োজনীয় উপায় রয়েছে! - 2 ⋅ 29!। এটা শুধুমাত্র গণনা বাকি।
৩০!=২৯! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=২৯! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ ২৮
এখন আপনাকে এক থেকে ঊনবিংশ পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যাকে একসাথে গুণ করতে হবে এবং তারপর শেষে সবকিছুকে 28 দিয়ে গুণ করতে হবে। উত্তর হল 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
উদাহরণের সমাধান। প্লেসমেন্ট নম্বরের সূত্র
এই সমস্যায়, আপনাকে একটি শেলফে পনেরটি খণ্ড রাখার কতগুলি উপায় আছে তা খুঁজে বের করতে হবে, তবে শর্তে যে মোট ত্রিশটি খণ্ড আছে।
এই সমস্যার আগেরটির তুলনায় কিছুটা সহজ সমাধান রয়েছে। ইতিমধ্যে পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে, পনেরটির ত্রিশটি ভলিউম থেকে মোট অবস্থানের সংখ্যা গণনা করা প্রয়োজন।
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 204 93100731
উত্তর, যথাক্রমে, হবে 202 843 204 931 727 360 000।
এখন কাজটা আরেকটু কঠিন করা যাক। দুটি বুকশেল্ফে ত্রিশটি বই সাজানোর কত উপায় আছে তা আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে, তবে শর্ত থাকে যে একটি শেলফে মাত্র পনেরটি খণ্ড থাকতে পারে।
সমাধান শুরু করার আগে, আমি স্পষ্ট করতে চাই যে কিছু সমস্যা বিভিন্ন উপায়ে সমাধান করা হয়, তাই এই একটিতে দুটি উপায় আছে, কিন্তু উভয় ক্ষেত্রে একই সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে।
এই সমস্যায়, আপনি আগেরটি থেকে উত্তর নিতে পারেন, কারণ সেখানে আমরা গণনা করেছি আপনি কতবার পনেরটি বই দিয়ে একটি শেলফ পূরণ করতে পারবেন-ভিন্নভাবে দেখা গেল A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
আমরা পারমুটেশন সূত্রটি ব্যবহার করে দ্বিতীয় শেল্ফটি গণনা করব, কারণ পনেরোটি বই এতে রাখা হয়েছে, যখন কেবল পনেরো রয়ে গেছে। P_15=15! সূত্র ব্যবহার করুন।
এটা দেখা যাচ্ছে যে মোট হবে A_30^15 ⋅ P_15 উপায়, তবে, উপরন্তু, ত্রিশ থেকে ষোল পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যার গুণফলকে এক থেকে পনের নম্বরের সংখ্যার গুণফল দিয়ে গুণ করতে হবে, যেমন ফলস্বরূপ, এক থেকে ত্রিশ পর্যন্ত সমস্ত সংখ্যার গুণফল, তাই উত্তর হল 30!
কিন্তু এই সমস্যাটি অন্যভাবে সমাধান করা যেতে পারে - সহজ। এটি করার জন্য, আপনি কল্পনা করতে পারেন যে ত্রিশটি বইয়ের জন্য একটি তাক রয়েছে। তাদের সকলকে এই সমতলে স্থাপন করা হয়েছে, কিন্তু যেহেতু শর্তের জন্য দুটি তাক থাকা প্রয়োজন, তাই আমরা একটি লম্বা একটিকে অর্ধেক করে কেটে ফেলি, এটি প্রতিটিতে দুটি পনেরটি করে। এর থেকে দেখা যাচ্ছে যে প্লেসমেন্টের বিকল্পগুলি হতে পারে P_30=30!।
উদাহরণের সমাধান। সংমিশ্রণ নম্বরের সূত্র
এখন আমরা কম্বিনেটরিক্স থেকে তৃতীয় সমস্যার একটি রূপ বিবেচনা করব। আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে পনেরটি বই সাজানোর জন্য কতগুলো উপায় আছে, যদি আপনি ত্রিশটি থেকে একেবারে অভিন্ন বাছাই করতে চান।
সমাধানের জন্য, অবশ্যই, সংমিশ্রণের সংখ্যার সূত্র প্রয়োগ করা হবে। শর্ত থেকে এটা স্পষ্ট যে অভিন্ন পনেরটি বইয়ের ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয়। অতএব, প্রাথমিকভাবে আপনাকে পনেরটির ত্রিশটি বইয়ের মোট সংখ্যা বের করতে হবে।
C_30^15=30 !: ((30-15))!: পনের !=155 117 520
এটাই। এই সূত্রটি ব্যবহার করে, সবচেয়ে কম সময়ে এটি সম্ভব হয়েছিলযেমন একটি সমস্যা সমাধান, উত্তর, যথাক্রমে, 155 117 520.
উদাহরণের সমাধান। সম্ভাব্যতার ক্লাসিক সংজ্ঞা
উপরের সূত্রটি দিয়ে, আপনি একটি সাধারণ সমস্যার উত্তর খুঁজে পেতে পারেন। তবে এটি দৃশ্যত দেখতে এবং কর্মের গতিপথ অনুসরণ করতে সাহায্য করবে৷
এটি সমস্যাটিতে দেওয়া হয়েছে যে ভুঁড়িতে দশটি একেবারে অভিন্ন বল রয়েছে। এর মধ্যে চারটি হলুদ এবং ছয়টি নীল। কলস থেকে একটি বল নেওয়া হয়। আপনাকে নীল হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজে বের করতে হবে।
সমস্যা সমাধানের জন্য, নীল বলটিকে ইভেন্ট A হিসাবে মনোনীত করা প্রয়োজন। এই অভিজ্ঞতার দশটি ফলাফল হতে পারে, যা, ফলস্বরূপ, প্রাথমিক এবং সমানভাবে সম্ভাব্য। একই সময়ে, দশটির মধ্যে ছয়টি ইভেন্ট A-এর জন্য অনুকূল। আমরা সূত্র অনুযায়ী সমাধান করি:
P(A)=6: 10=0, 6
এই সূত্রটি প্রয়োগ করে, আমরা জানতে পেরেছি যে নীল বল পাওয়ার সম্ভাবনা 0.6।
উদাহরণের সমাধান। ইভেন্টের যোগফলের সম্ভাবনা
এখন একটি বৈকল্পিক উপস্থাপন করা হবে, যা ঘটনার যোগফলের সম্ভাব্যতার সূত্র ব্যবহার করে সমাধান করা হয়েছে। সুতরাং, শর্তে যে দুটি বাক্স রয়েছে, প্রথমটিতে একটি ধূসর এবং পাঁচটি সাদা বল রয়েছে এবং দ্বিতীয়টিতে আটটি ধূসর এবং চারটি সাদা বল রয়েছে। ফলস্বরূপ, তাদের মধ্যে একটি প্রথম এবং দ্বিতীয় বাক্স থেকে নেওয়া হয়েছিল। আপনাকে খুঁজে বের করতে হবে যে বলগুলি আপনি ধূসর এবং সাদা হবে তার সম্ভাবনা কি।
এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আপনাকে ইভেন্টগুলিকে লেবেল করতে হবে৷
- সুতরাং, A - প্রথম বক্স থেকে একটি ধূসর বল নিন: P(A)=1/6.
- A’ – প্রথম বক্স থেকেও একটি সাদা বল নিন: P(A')=5/6.
- B – ধূসর বলটি ইতিমধ্যেই দ্বিতীয় বক্স থেকে বের করে নেওয়া হয়েছে: P(B)=2/3.
- B’ – দ্বিতীয় বক্স থেকে একটি ধূসর বল নিন: P(B')=1/3.
সমস্যার অবস্থা অনুসারে, একটি ঘটনা ঘটতে হবে: AB' বা A'B। সূত্র ব্যবহার করে, আমরা পাই: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18।
এখন সম্ভাব্যতা গুণন সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে। এর পরে, উত্তরটি খুঁজে পেতে, আপনাকে তাদের যোগ করার জন্য সমীকরণটি প্রয়োগ করতে হবে:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
এইভাবে, সূত্র ব্যবহার করে, আপনি অনুরূপ সমস্যার সমাধান করতে পারেন।
ফলাফল
নিবন্ধটি "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" বিষয়ে তথ্য প্রদান করেছে, যেখানে একটি ঘটনার সম্ভাবনা একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। অবশ্যই, সবকিছু বিবেচনায় নেওয়া হয়নি, তবে, উপস্থাপিত পাঠ্যের উপর ভিত্তি করে, কেউ তাত্ত্বিকভাবে গণিতের এই বিভাগের সাথে পরিচিত হতে পারে। প্রশ্নবিদ্ধ বিজ্ঞান শুধুমাত্র পেশাগত কাজেই নয়, দৈনন্দিন জীবনেও কার্যকর হতে পারে। এটির সাহায্যে, আপনি যে কোনও ইভেন্টের সম্ভাব্যতা গণনা করতে পারেন৷
পাঠ্যটি বিজ্ঞান হিসাবে সম্ভাব্যতা তত্ত্ব গঠনের ইতিহাসের উল্লেখযোগ্য তারিখগুলি এবং যাদের কাজ এতে বিনিয়োগ করা হয়েছিল তাদের নামগুলিকেও স্পর্শ করেছে৷ এভাবেই মানুষের কৌতূহল এই সত্যের দিকে পরিচালিত করে যে মানুষ এমনকি এলোমেলো ঘটনাগুলিও গণনা করতে শিখেছে। একবার তারা এটিতে আগ্রহী ছিল, কিন্তু আজ সবাই ইতিমধ্যে এটি সম্পর্কে জানে। এবং কেউ বলবে না যে ভবিষ্যতে আমাদের জন্য কী অপেক্ষা করছে, বিবেচনাধীন তত্ত্বের সাথে সম্পর্কিত অন্যান্য উজ্জ্বল আবিষ্কারগুলি করা হবে। তবে একটি বিষয় নিশ্চিত - গবেষণা স্থির নয়!
