অনেকে, "সম্ভাব্যতা তত্ত্বের" ধারণার মুখোমুখি হয়ে ভীত, এই ভেবে যে এটি অপ্রতিরোধ্য, খুব জটিল কিছু। কিন্তু এটা সত্যিই যে সব দুঃখজনক না. আজ আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা বিবেচনা করব, নির্দিষ্ট উদাহরণ ব্যবহার করে কীভাবে সমস্যার সমাধান করতে হয় তা শিখব।
বিজ্ঞান
গণিতের এমন একটি শাখা "সম্ভাব্যতা তত্ত্ব" কী অধ্যয়ন করে? এটি এলোমেলো ঘটনা এবং পরিমাণের নিদর্শন নোট করে। প্রথমবারের মতো, বিজ্ঞানীরা অষ্টাদশ শতাব্দীতে এই বিষয়ে আগ্রহী হয়েছিলেন, যখন তারা জুয়া নিয়ে অধ্যয়ন করেছিলেন। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণা একটি ঘটনা। এটা অভিজ্ঞতা বা পর্যবেক্ষণ দ্বারা নিশ্চিত করা হয় যে কোনো সত্য. কিন্তু অভিজ্ঞতা কি? সম্ভাব্যতা তত্ত্বের আরেকটি মৌলিক ধারণা। এর অর্থ এই যে পরিস্থিতির এই রচনাটি সুযোগ দ্বারা তৈরি হয়নি, তবে একটি নির্দিষ্ট উদ্দেশ্যে। পর্যবেক্ষণের জন্য, এখানে গবেষক নিজে পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করেন না, তবে কেবল এই ঘটনাগুলির একজন সাক্ষী, তিনি যা ঘটছে তা কোনোভাবেই প্রভাবিত করেন না।
ইভেন্টস
আমরা শিখেছি যে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের মৌলিক ধারণাটি একটি ঘটনা, কিন্তু শ্রেণিবিন্যাস বিবেচনা করিনি। তাদের সকলকে নিম্নলিখিত শ্রেণীতে বিভক্ত করা হয়েছে:
- নির্ভরযোগ্য।
- অসম্ভব।
- এলোমেলো।
কোন ব্যাপার নাঅভিজ্ঞতার পরিপ্রেক্ষিতে কী ধরনের ঘটনা পর্যবেক্ষণ করা হয় বা তৈরি করা হয়, সেগুলি সবই এই শ্রেণীবিভাগের অধীন। আমরা প্রতিটি প্রজাতির সাথে আলাদাভাবে পরিচিত হওয়ার প্রস্তাব দিই।
নিশ্চিত ঘটনা
এটি এমন একটি পরিস্থিতি যার আগে প্রয়োজনীয় ব্যবস্থা নেওয়া হয়েছে। সারমর্মটি আরও ভালভাবে বোঝার জন্য, কয়েকটি উদাহরণ দেওয়া ভাল। পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, অর্থনীতি এবং উচ্চতর গণিত এই আইনের অধীন। সম্ভাব্যতা তত্ত্ব একটি নির্দিষ্ট ঘটনা হিসাবে যেমন একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা অন্তর্ভুক্ত. এখানে কিছু উদাহরণ আছে:
- আমরা কাজ করি এবং মজুরি আকারে পারিশ্রমিক পাই।
- আমরা ভালোভাবে পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হয়েছি, প্রতিযোগিতায় উত্তীর্ণ হয়েছি, এর জন্য আমরা একটি শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ভর্তির আকারে একটি পুরস্কার পাই।
- আমরা ব্যাঙ্কে টাকা বিনিয়োগ করেছি, প্রয়োজনে তা ফেরত পাব।
এই ধরনের ঘটনা নির্ভরযোগ্য। আমরা যদি সমস্ত প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করি, তাহলে আমরা অবশ্যই প্রত্যাশিত ফলাফল পাব।
অসম্ভব ঘটনা
এখন আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উপাদান বিবেচনা করছি। আমরা পরবর্তী ধরণের ইভেন্টের ব্যাখ্যায় এগিয়ে যাওয়ার প্রস্তাব দিই, যথা, অসম্ভব। প্রথমে, সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নিয়মটি উল্লেখ করা যাক - একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য৷
সমস্যার সমাধান করার সময় আপনি এই শব্দ থেকে বিচ্যুত হতে পারবেন না। স্পষ্ট করার জন্য, এখানে এই ধরনের ঘটনাগুলির উদাহরণ রয়েছে:
- প্লাস টেন এ পানি জমে গেছে (এটা অসম্ভব)।
- বিদ্যুতের অভাব কোনোভাবেই উৎপাদনকে প্রভাবিত করে না (আগের উদাহরণের মতোই অসম্ভব)।
আরো উদাহরণএটি উদ্ধৃত করার মতো নয়, যেহেতু উপরে বর্ণিতগুলি খুব স্পষ্টভাবে এই বিভাগের সারমর্মকে প্রতিফলিত করে। কোনো পরিস্থিতিতেই অভিজ্ঞতার সময় অসম্ভব ঘটনা ঘটবে না।
এলোমেলো ঘটনা
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উপাদানগুলি অধ্যয়ন করে, এই বিশেষ ধরণের ঘটনার প্রতি বিশেষ মনোযোগ দেওয়া উচিত। বিজ্ঞানের অধ্যয়ন তাই। অভিজ্ঞতার ফলস্বরূপ, কিছু ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে। এছাড়াও, পরীক্ষাটি সীমাহীন সংখ্যক বার পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে। উজ্জ্বল উদাহরণ হল:
- একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা একটি অভিজ্ঞতা, বা একটি পরীক্ষা, শিরোনাম একটি ইভেন্ট৷
- অন্ধভাবে একটি ব্যাগ থেকে একটি বল বের করা একটি পরীক্ষা, একটি লাল বল ধরা একটি ঘটনা ইত্যাদি।
এমন উদাহরণের সীমাহীন সংখ্যক থাকতে পারে, তবে, সাধারণভাবে, সারমর্মটি পরিষ্কার হওয়া উচিত। ইভেন্ট সম্পর্কে অর্জিত জ্ঞানের সংক্ষিপ্তকরণ এবং পদ্ধতিগত করার জন্য, একটি টেবিল দেওয়া হয়। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের অধ্যয়ন শুধুমাত্র শেষ প্রকারের উপস্থাপিত হয়।
| শিরোনাম | সংজ্ঞা | উদাহরণ |
| নির্ভরযোগ্য | ইভেন্ট যা কিছু নির্দিষ্ট শর্তে 100% গ্যারান্টি সহ ঘটে। | একটি শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে ভালো প্রবেশিকা পরীক্ষা দিয়ে ভর্তি। |
| অসম্ভব | ইভেন্ট যা কোন অবস্থাতেই ঘটবে না। | এটি প্লাস ত্রিশ ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপমাত্রায় তুষারপাত হচ্ছে। |
| এলোমেলো | একটি ঘটনা যা একটি পরীক্ষা/পরীক্ষার সময় ঘটতে পারে বা নাও হতে পারে। | হুপে বাস্কেটবল নিক্ষেপ করার সময় আঘাত বা মিস করুন। |
আইন
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব হল একটি বিজ্ঞান যা ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা অধ্যয়ন করে। অন্যদের মত, এর কিছু নিয়ম আছে। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের নিম্নলিখিত আইন রয়েছে:
- এলোমেলো ভেরিয়েবলের সিকোয়েন্সের কনভারজেন্স।
- বড় সংখ্যার আইন।
একটি কমপ্লেক্সের সম্ভাবনা গণনা করার সময়, আপনি একটি সহজ এবং দ্রুত উপায়ে ফলাফল অর্জন করতে সহজ ইভেন্টের একটি জটিল ব্যবহার করতে পারেন। উল্লেখ্য, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সূত্রগুলো কিছু উপপাদ্যের সাহায্যে সহজেই প্রমাণিত হয়। প্রথম আইন দিয়ে শুরু করা যাক।
এলোমেলো ভেরিয়েবলের অনুক্রমের কনভারজেন্স
উল্লেখ্য যে বিভিন্ন ধরনের কনভারজেন্স আছে:
- এলোমেলো ভেরিয়েবলের ক্রম সম্ভাব্যতায় একত্রিত হয়।
- প্রায় অসম্ভব।
- RMS কনভারজেন্স।
- বণ্টনে অভিসারন।
সুতরাং, উড়ে যাওয়ার সময়, এটির নীচে যাওয়া খুব কঠিন। এই বিষয়টি বুঝতে আপনাকে সাহায্য করার জন্য এখানে কিছু সংজ্ঞা রয়েছে। প্রথম চেহারা দিয়ে শুরু করা যাক। একটি ক্রমকে সম্ভাব্যতার অভিসারী বলা হয় যদি নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ করা হয়: n অসীমের দিকে ঝোঁক, যে সংখ্যার দিকে ক্রমটি শূন্যের চেয়ে বেশি এবং একের কাছাকাছি থাকে।
পরবর্তী দৃশ্যে যাচ্ছি, প্রায় নিশ্চিত। তারা বলল যেক্রমটি প্রায় নিশ্চিতভাবে একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলে রূপান্তরিত হয় যার সাথে n অসীমের দিকে প্রবণ হয় এবং P একটি মানের কাছাকাছি থাকে৷
পরের প্রকারটি হল রুট-মিন-স্কয়ার কনভারজেন্স। SC-কনভারজেন্স ব্যবহার করার সময়, ভেক্টর র্যান্ডম প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়ন তাদের স্থানাঙ্ক র্যান্ডম প্রক্রিয়াগুলির অধ্যয়নের জন্য হ্রাস করা হয়৷
শেষ প্রকারটি রয়ে গেছে, আসুন সরাসরি সমস্যা সমাধানে এগিয়ে যাওয়ার জন্য এটিকে সংক্ষিপ্তভাবে দেখে নেওয়া যাক। ডিস্ট্রিবিউশন কনভারজেন্সের আরেকটি নাম রয়েছে - "দুর্বল", আমরা নীচে ব্যাখ্যা করব কেন। দুর্বল কনভারজেন্স হল সীমা ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের ধারাবাহিকতার সমস্ত পয়েন্টে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশনের কনভারজেন্স।
প্রতিশ্রুতি পূরণ করতে ভুলবেন না: দুর্বল কনভারজেন্স উপরের সমস্ত থেকে আলাদা যে র্যান্ডম ভেরিয়েবল সম্ভাব্যতার স্থানের উপর সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। এটি সম্ভব কারণ শর্তটি একচেটিয়াভাবে ডিস্ট্রিবিউশন ফাংশন ব্যবহার করে গঠিত হয়৷
বড় সংখ্যার আইন
এই আইন প্রমাণ করার জন্য চমৎকার সাহায্যকারীরা হবে সম্ভাব্যতা তত্ত্বের উপপাদ্য, যেমন:
- চেবিশেভের অসমতা।
- চেবিশেভের উপপাদ্য।
- চেবিশেভের উপপাদ্য।
- মার্কভের উপপাদ্য।
যদি আমরা এই সমস্ত উপপাদ্যগুলি বিবেচনা করি, তাহলে এই প্রশ্নটি কয়েক ডজন শীটের জন্য টানতে পারে। আমাদের প্রধান কাজ হল সম্ভাব্যতার তত্ত্বকে বাস্তবে প্রয়োগ করা। আমরা আপনাকে এখনই এটি করার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি। তবে তার আগে, আসুন সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ বিবেচনা করা যাক, তারা সমস্যা সমাধানে প্রধান সহায়ক হবে।
স্বতঃসিদ্ধ
আমরা ইতিমধ্যেই প্রথমটির সাথে দেখা করেছি যখন আমরা অসম্ভব ঘটনার কথা বলেছিলাম। আসুন মনে রাখবেন: একটি অসম্ভব ঘটনার সম্ভাবনা শূন্য। আমরা একটি খুব প্রাণবন্ত এবং স্মরণীয় উদাহরণ দিয়েছি: এটি ত্রিশ ডিগ্রি সেলসিয়াস তাপমাত্রায় তুষারপাত হয়েছে।
দ্বিতীয়টি এইরকম শোনাচ্ছে: একটি নির্ভরযোগ্য ঘটনা ঘটে যার একটি সমান সম্ভাবনা রয়েছে৷ এখন দেখা যাক কিভাবে গাণিতিক ভাষা ব্যবহার করে লিখতে হয়: P(B)=1.
তৃতীয়: একটি এলোমেলো ঘটনা ঘটতে পারে বা ঘটতে পারে, কিন্তু সম্ভাবনা সবসময় শূন্য থেকে এক পর্যন্ত থাকে। একটি মান কাছাকাছি, বৃহত্তর সুযোগ; যদি মান শূন্যের কাছে পৌঁছায়, সম্ভাবনা খুব কম। আসুন এটিকে গাণিতিক ভাষায় লিখি: 0<Р(С)<1.
আসুন শেষ, চতুর্থ স্বতঃসিদ্ধ বিবেচনা করা যাক, যা এইরকম শোনাচ্ছে: দুটি ঘটনার যোগফলের সম্ভাবনা তাদের সম্ভাব্যতার যোগফলের সমান। আমরা গাণিতিক ভাষায় লিখি: P (A + B) u003d P (A) + P (B)।
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের স্বতঃসিদ্ধ হল সবচেয়ে সহজ নিয়ম যা মনে রাখা সহজ। ইতিমধ্যে অর্জিত জ্ঞানের ভিত্তিতে কিছু সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করা যাক।
লটারি টিকিট
প্রথমে, সবচেয়ে সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুন - লটারি। কল্পনা করুন যে আপনি সৌভাগ্যের জন্য একটি লটারির টিকিট কিনেছেন। আপনি কমপক্ষে বিশ রুবেল জিতবেন এমন সম্ভাবনা কত? মোট, এক হাজার টিকিট প্রচলনে অংশ নেয়, যার মধ্যে একটি পাঁচশ রুবেল, দশটি একশ রুবেল, বিশ রুবেলের পঞ্চাশ এবং পাঁচটির মধ্যে একশো। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি সম্ভাবনা খোঁজার উপর ভিত্তি করেসৌভাগ্য এখন একসাথে আমরা উপরের উপস্থাপিত কাজের সমাধান বিশ্লেষণ করব।
যদি আমরা A অক্ষর দ্বারা বোঝাই পাঁচশ রুবেলের জয়, তাহলে A পাওয়ার সম্ভাবনা 0.001 হবে। আমরা কিভাবে পেলাম? আপনাকে শুধু "ভাগ্যবান" টিকিটের সংখ্যাকে তাদের মোট সংখ্যা দিয়ে ভাগ করতে হবে (এই ক্ষেত্রে: 1/1000)।
B হল একশো রুবেলের জয়, সম্ভাব্যতা হবে ০.০১৷ এখন আমরা আগের অ্যাকশনের মতো একই নীতি অনুসারে কাজ করেছি (১০/১০০০)
C - জয়গুলি বিশ রুবেলের সমান। সম্ভাব্যতা খুঁজুন, এটি 0.05 এর সমান।
বাকী টিকিটগুলো আমাদের কাছে কোনো আগ্রহের বিষয় নয়, কারণ তাদের পুরস্কারের তহবিল শর্তে উল্লেখিত একটি থেকে কম। আসুন চতুর্থ স্বতঃসিদ্ধ প্রয়োগ করি: কমপক্ষে বিশ রুবেল জেতার সম্ভাবনা হল P(A)+P(B)+P(C)। P অক্ষরটি এই ইভেন্টের সংঘটনের সম্ভাবনাকে নির্দেশ করে, আমরা তাদের পূর্ববর্তী ধাপে ইতিমধ্যেই খুঁজে পেয়েছি। এটি শুধুমাত্র প্রয়োজনীয় ডেটা যোগ করার জন্য অবশিষ্ট থাকে, উত্তরে আমরা 0, 061 পাব। এই নম্বরটি হবে অ্যাসাইনমেন্টের প্রশ্নের উত্তর।
কার্ড ডেক
সম্ভাব্যতা তত্ত্বের সমস্যাগুলি আরও জটিল হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত কাজটি নিন। আপনার আগে ছত্রিশ তাসের ডেক। আপনার কাজ হল গাদা মিশ্রিত না করে পরপর দুটি কার্ড আঁকতে হবে, প্রথম এবং দ্বিতীয় কার্ডটি অবশ্যই টেপ হতে হবে, স্যুট কোন ব্যাপার না।
প্রথম, আসুন সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করি যে প্রথম কার্ডটি একটি টেক্কা হবে, এর জন্য আমরা চারটিকে ছত্রিশ দিয়ে ভাগ করি। তারা এটা একপাশে রাখা. আমরা দ্বিতীয় কার্ডটি বের করি, এটি তিন পঁয়ত্রিশ ভাগের সম্ভাবনা সহ একটি টেক্কা হবে। দ্বিতীয় ইভেন্টের সম্ভাবনা নির্ভর করে কোন কার্ডটি আমরা প্রথমে আঁকেছি, তাতে আমরা আগ্রহীএটা একটি টেক্কা বা না ছিল. এটি অনুসরণ করে যে ঘটনা B ইভেন্ট A এর উপর নির্ভর করে।
পরবর্তী ধাপ হল একযোগে বাস্তবায়নের সম্ভাবনা খুঁজে বের করা, অর্থাৎ, আমরা A এবং B গুণ করি। তাদের গুণফল নিম্নরূপ পাওয়া যায়: একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা অন্যটির শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা দ্বারা গুণ করা হয়, যা আমরা গণনা করি, ধরে নিচ্ছি যে প্রথম ঘটনাটি ঘটেছে, অর্থাৎ প্রথম কার্ড দিয়ে আমরা একটি টেক্কা আঁকলাম।
সবকিছু পরিষ্কার করার জন্য, আসুন একটি ইভেন্টের শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতার মতো একটি উপাদানকে একটি উপাধি দেওয়া যাক। এটি অনুমান করা হয় যে ঘটনা A ঘটেছে। নিম্নরূপ গণনা করা হয়েছে: P(B/A)।
আমাদের সমস্যার সমাধান চালিয়ে যান: P(AB)=P(A)P(B/A) অথবা P (AB)=P(B)P(A/B)। সম্ভাব্যতা হল (4/36)((3/35)/(4/36)। শতভাগে রাউন্ডিং করে গণনা করুন। আমাদের আছে: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09। আমরা পরপর দুটি টেক্কা আঁকানোর সম্ভাবনা নয় শততম মানটি খুবই ছোট, এটি অনুসরণ করে যে ঘটনাটি ঘটার সম্ভাবনা খুবই কম৷
ভুলে যাওয়া নম্বর
আমরা সম্ভাব্যতা তত্ত্ব দ্বারা অধ্যয়ন করা কাজের জন্য আরও কয়েকটি বিকল্প বিশ্লেষণ করার প্রস্তাব করছি। আপনি ইতিমধ্যে এই নিবন্ধে তাদের কিছু সমাধানের উদাহরণ দেখেছেন, আসুন নিম্নলিখিত সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করি: ছেলেটি তার বন্ধুর ফোন নম্বরের শেষ সংখ্যাটি ভুলে গিয়েছিল, কিন্তু যেহেতু কলটি খুব গুরুত্বপূর্ণ ছিল, সে পালাক্রমে সবকিছু ডায়াল করতে শুরু করে। আমাদের সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে যে তিনি তিনবারের বেশি কল করবেন না। সম্ভাব্যতা তত্ত্বের নিয়ম, আইন এবং স্বতঃসিদ্ধ জানা থাকলে সমস্যার সমাধান সবচেয়ে সহজ।
দেখার আগেসমাধান, নিজেই সমাধান করার চেষ্টা করুন। আমরা জানি যে শেষ অঙ্কটি শূন্য থেকে নয় পর্যন্ত হতে পারে, অর্থাৎ মোট দশটি মান রয়েছে। সঠিকটি পাওয়ার সম্ভাবনা হল 1/10৷
পরবর্তী, আমাদের ইভেন্টের উত্সের জন্য বিকল্পগুলি বিবেচনা করতে হবে, ধরুন যে ছেলেটি সঠিক অনুমান করেছে এবং অবিলম্বে সঠিক স্কোর করেছে, এই ধরনের ঘটনার সম্ভাবনা 1/10। দ্বিতীয় বিকল্প: প্রথম কলটি একটি মিস, এবং দ্বিতীয়টি লক্ষ্যে। আমরা এই ধরনের ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করি: 9/10 কে 1/9 দ্বারা গুণ করুন, ফলস্বরূপ আমরা 1/10ও পাই। তৃতীয় বিকল্প: প্রথম এবং দ্বিতীয় কলগুলি ভুল ঠিকানায় পরিণত হয়েছিল, শুধুমাত্র তৃতীয় থেকে ছেলেটি যেখানে চেয়েছিল সেখানে পৌঁছেছিল। আমরা এই ধরনের ঘটনার সম্ভাব্যতা গণনা করি: আমরা 9/10 কে 8/9 দ্বারা গুণ করি এবং 1/8 দ্বারা গুন করি, ফলস্বরূপ আমরা 1/10 পাই। সমস্যার শর্ত অনুসারে, আমরা অন্যান্য বিকল্পগুলিতে আগ্রহী নই, তাই ফলাফলগুলি যোগ করা আমাদের জন্য রয়ে গেছে, ফলস্বরূপ আমাদের 3/10 আছে। উত্তর: ছেলেটি তিনবারের বেশি কল না করার সম্ভাবনা 0.3।
নম্বর সহ কার্ড
আপনার সামনে নয়টি কার্ড রয়েছে, যার প্রতিটিতে এক থেকে নয় পর্যন্ত একটি সংখ্যা লেখা আছে, সংখ্যাগুলি পুনরাবৃত্তি হয় না। এগুলিকে একটি বাক্সে রাখা হয়েছিল এবং পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে মিশ্রিত করা হয়েছিল। আপনাকে সম্ভাব্যতা গণনা করতে হবে যে
- একটি জোড় সংখ্যা আসবে;
- দুই-সংখ্যা।
সমাধানে এগিয়ে যাওয়ার আগে, আসুন নির্ধারণ করি যে m হল সফল মামলার সংখ্যা, এবং n হল বিকল্পের মোট সংখ্যা। সংখ্যাটি জোড় হওয়ার সম্ভাবনা খুঁজুন। এটি গণনা করা কঠিন হবে না যে চারটি জোড় সংখ্যা রয়েছে, এটি আমাদের m হবে, মোট নয়টি বিকল্প রয়েছে, অর্থাৎ, m=9। তারপর সম্ভাবনা0, 44, বা 4/9 এর সমান।
দ্বিতীয় ক্ষেত্রে বিবেচনা করুন: বিকল্পের সংখ্যা নয়টি, এবং কোন সফল ফলাফল হতে পারে না, অর্থাৎ, m শূন্যের সমান। টানা কার্ডে একটি দুই-সংখ্যার সংখ্যা থাকার সম্ভাবনাও শূন্য৷
