সেকেন্ড, স্পর্শক - এই সব জ্যামিতি পাঠে শত শত বার শোনা যায়। কিন্তু স্কুল থেকে স্নাতক শেষ হয়েছে, বছর পার হয়ে গেছে, এবং এই সমস্ত জ্ঞান ভুলে গেছে। কি মনে রাখা উচিত?
সারাংশ
"বৃত্তের স্পর্শক" শব্দটি সম্ভবত সবার কাছে পরিচিত। কিন্তু এটা অসম্ভাব্য যে সবাই দ্রুত এর সংজ্ঞা প্রণয়ন করতে সক্ষম হবে। এদিকে, একটি স্পর্শক হল এমন একটি সরল রেখা যা একই সমতলে অবস্থিত একটি বৃত্তের সাথে যা এটিকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে ছেদ করে। তাদের মধ্যে একটি বিশাল বৈচিত্র্য থাকতে পারে, তবে তাদের সকলের একই বৈশিষ্ট্য রয়েছে, যা নীচে আলোচনা করা হবে। আপনি অনুমান করতে পারেন, যোগাযোগের বিন্দু হল সেই জায়গা যেখানে বৃত্ত এবং রেখা ছেদ করে। প্রতিটি ক্ষেত্রে, এটি একটি, তবে যদি আরও বেশি থাকে তবে এটি একটি সেক্যান্ট হবে৷
আবিষ্কার এবং অধ্যয়নের ইতিহাস
একটি স্পর্শক ধারণাটি প্রাচীনকালে উপস্থিত হয়েছিল। এই সরল রেখাগুলির নির্মাণ, প্রথমে একটি বৃত্তে এবং তারপরে একটি শাসক এবং একটি কম্পাসের সাহায্যে উপবৃত্ত, প্যারাবোলাস এবং হাইপারবোলাস, এমনকি জ্যামিতির বিকাশের প্রাথমিক পর্যায়েও সম্পাদিত হয়েছিল। অবশ্য ইতিহাস আবিষ্কারকের নাম সংরক্ষণ করেনি, কিন্তুএটা স্পষ্ট যে সেই সময়েও, লোকেরা বৃত্তের স্পর্শকটির বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে যথেষ্ট সচেতন ছিল৷
আধুনিক সময়ে, এই ঘটনাটির প্রতি আগ্রহ আবার বেড়েছে - নতুন বক্ররেখার আবিষ্কারের সাথে মিলিত এই ধারণাটি অধ্যয়নের একটি নতুন রাউন্ড শুরু হয়েছে। সুতরাং, গ্যালিলিও একটি সাইক্লয়েডের ধারণাটি প্রবর্তন করেছিলেন, এবং ফার্মাট এবং দেকার্তস এটিতে একটি স্পর্শক তৈরি করেছিলেন। চেনাশোনাগুলির জন্য, মনে হচ্ছে এই অঞ্চলে প্রাচীনদের জন্য কোনও গোপন রহস্য অবশিষ্ট নেই৷
বৈশিষ্ট্য
ছেদ বিন্দুতে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ রেখার লম্ব হবে। এই
প্রধান, কিন্তু একমাত্র সম্পত্তি নয় যা একটি বৃত্তের স্পর্শক থাকে। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য ইতিমধ্যে দুটি সরল রেখা অন্তর্ভুক্ত. সুতরাং, বৃত্তের বাইরে থাকা একটি বিন্দুর মাধ্যমে, দুটি স্পর্শক আঁকা যাবে, যখন তাদের অংশগুলি সমান হবে। এই বিষয়ে অন্য একটি উপপাদ্য রয়েছে, তবে এটি খুব কমই একটি আদর্শ স্কুল কোর্সের কাঠামোর মধ্যে আচ্ছাদিত হয়, যদিও এটি কিছু সমস্যা সমাধানের জন্য অত্যন্ত সুবিধাজনক। এটা এই মত শোনাচ্ছে. বৃত্তের বাইরে অবস্থিত একটি বিন্দু থেকে এটিতে একটি স্পর্শক এবং একটি সেকেন্ট টানা হয়। AB, AC এবং AD অংশগুলি গঠিত হয়। A হল লাইনের ছেদ, B হল যোগাযোগের বিন্দু, C এবং D হল ছেদ। এই ক্ষেত্রে, নিম্নলিখিত সমতা বৈধ হবে: বৃত্তের স্পর্শকের দৈর্ঘ্য, বর্গক্ষেত্র, AC এবং AD সেগমেন্টের গুণফলের সমান হবে।
উপরের থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি রয়েছে। বৃত্তের প্রতিটি বিন্দুর জন্য, আপনি একটি স্পর্শক তৈরি করতে পারেন, কিন্তু শুধুমাত্র একটি। এর প্রমাণটি বেশ সহজ: তাত্ত্বিকভাবে ব্যাসার্ধ থেকে একটি লম্বকে এটিতে ফেলে, আমরা খুঁজে পাই যে গঠিতত্রিভুজ থাকতে পারে না। এবং এর অর্থ হল স্পর্শকটি একমাত্র।
ভবন
জ্যামিতির অন্যান্য সমস্যাগুলির মধ্যে, একটি বিশেষ বিভাগ রয়েছে, একটি নিয়ম হিসাবে, নয়
শিক্ষার্থী এবং ছাত্রদের দ্বারা প্রিয়. এই বিভাগ থেকে কাজগুলি সমাধান করতে, আপনার শুধুমাত্র একটি কম্পাস এবং একটি শাসক প্রয়োজন। এগুলো নির্মাণ কাজ। একটি স্পর্শক নির্মাণের পদ্ধতিও রয়েছে।
সুতরাং, একটি বৃত্ত এবং একটি বিন্দু তার সীমানার বাইরে রয়েছে। এবং তাদের মাধ্যমে একটি স্পর্শক আঁকা প্রয়োজন। এটা কিভাবে করতে হবে? প্রথমত, আপনাকে O বৃত্তের কেন্দ্র এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর মধ্যে একটি অংশ আঁকতে হবে। তারপর, একটি কম্পাস ব্যবহার করে, এটি অর্ধেক ভাগ করুন। এটি করার জন্য, আপনাকে ব্যাসার্ধ সেট করতে হবে - মূল বৃত্তের কেন্দ্র এবং প্রদত্ত বিন্দুর মধ্যে অর্ধেকের একটু বেশি দূরত্ব। এর পরে, আপনাকে দুটি ছেদকারী আর্ক তৈরি করতে হবে। তাছাড়া, কম্পাসের ব্যাসার্ধ পরিবর্তন করার প্রয়োজন নেই এবং বৃত্তের প্রতিটি অংশের কেন্দ্র হবে যথাক্রমে প্রাথমিক বিন্দু এবং O। আর্কসের ছেদগুলি অবশ্যই সংযুক্ত থাকতে হবে, যা সেগমেন্টটিকে অর্ধেক ভাগ করবে। এই দূরত্বের সমান কম্পাসে একটি ব্যাসার্ধ সেট করুন। এর পরে, ছেদ বিন্দুতে কেন্দ্রের সাথে, আরেকটি বৃত্ত আঁকুন। প্রারম্ভিক বিন্দু এবং O উভয়ই এর উপর থাকবে। এই ক্ষেত্রে, সমস্যাটিতে প্রদত্ত বৃত্তের সাথে আরও দুটি ছেদ থাকবে। তারা প্রাথমিকভাবে দেওয়া পয়েন্টের জন্য স্পর্শ পয়েন্ট হবে।
আকর্ষণীয়
এটি বৃত্তের স্পর্শক নির্মাণের ফলে
এর জন্ম হয়েছিল
ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস। এই বিষয়ে প্রথম কাজ ছিলবিখ্যাত জার্মান গণিতবিদ লাইবনিজ দ্বারা প্রকাশিত। তিনি ভগ্নাংশ এবং অযৌক্তিক মান নির্বিশেষে ম্যাক্সিমা, মিনিমা এবং স্পর্শক খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনার জন্য প্রদান করেছিলেন। ঠিক আছে, এখন এটি অন্যান্য অনেক গণনার জন্যও ব্যবহৃত হয়।
এছাড়া, বৃত্তের স্পর্শকটি স্পর্শকের জ্যামিতিক অর্থের সাথে সম্পর্কিত। যেখান থেকে এর নাম এসেছে। ল্যাটিন থেকে অনুবাদ, ট্যানজেন মানে "স্পর্শক"। সুতরাং, এই ধারণাটি কেবল জ্যামিতি এবং ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের সাথেই নয়, ত্রিকোণমিতির সাথেও যুক্ত।
দুটি চেনাশোনা
সর্বদা একটি স্পর্শক শুধুমাত্র একটি আকৃতিকে প্রভাবিত করে না। যদি একটি বৃত্তে বিপুল সংখ্যক সরলরেখা আঁকা যায়, তবে কেন উল্টো নয়? করতে পারা. তবে এই ক্ষেত্রে কাজটি গুরুতরভাবে জটিল, কারণ দুটি বৃত্তের স্পর্শক কোনো বিন্দুর মধ্য দিয়ে যেতে পারে না এবং এই সমস্ত পরিসংখ্যানের আপেক্ষিক অবস্থান খুব
হতে পারে
আলাদা।
প্রকার এবং জাত
যখন এটি দুটি বৃত্ত এবং এক বা একাধিক রেখার ক্ষেত্রে আসে, এমনকি যদি এটি জানা যায় যে এগুলি স্পর্শক, এটি অবিলম্বে স্পষ্ট হয়ে যায় না যে এই সমস্ত পরিসংখ্যানগুলি একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত কিভাবে অবস্থিত। এর উপর ভিত্তি করে, বেশ কয়েকটি জাত রয়েছে। সুতরাং, চেনাশোনাগুলিতে এক বা দুটি সাধারণ বিন্দু থাকতে পারে বা সেগুলি একেবারেই নেই৷ প্রথম ক্ষেত্রে, তারা ছেদ করবে, এবং দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, তারা স্পর্শ করবে। এবং এখানে দুটি জাত আছে। যদি একটি বৃত্ত, যেমনটি ছিল, দ্বিতীয়টিতে এম্বেড করা হয়, তবে স্পর্শটিকে অভ্যন্তরীণ বলা হয়, যদি না হয় তবে বাহ্যিক। পারস্পরিক বুঝতেপরিসংখ্যানগুলির অবস্থান কেবল অঙ্কনের উপর ভিত্তি করেই নয়, তাদের ব্যাসার্ধের যোগফল এবং তাদের কেন্দ্রগুলির মধ্যে দূরত্ব সম্পর্কেও তথ্য থাকা সম্ভব। যদি এই দুটি পরিমাণ সমান হয়, তাহলে বৃত্ত স্পর্শ করে। যদি প্রথমটি বড় হয়, তারা ছেদ করে, এবং যদি এটি ছোট হয়, তাহলে তাদের সাধারণ বিন্দু নেই।
সরল রেখার সাথে একই। সাধারণ পয়েন্ট নেই এমন যেকোনো দুটি চেনাশোনার জন্য আপনি
চারটি স্পর্শক গঠন করুন। তাদের মধ্যে দুটি পরিসংখ্যানের মধ্যে ছেদ করবে, তাদের অভ্যন্তরীণ বলা হয়। আরও কয়েকজন বহিরাগত।
যদি আমরা এমন চেনাশোনাগুলির কথা বলি যেগুলির মধ্যে একটি সাধারণ বিন্দু রয়েছে, তাহলে কাজটি ব্যাপকভাবে সরলীকৃত হয়েছে৷ আসল বিষয়টি হ'ল এই ক্ষেত্রে যে কোনও পারস্পরিক ব্যবস্থার জন্য তাদের কেবল একটি স্পর্শক থাকবে। এবং এটি তাদের সংযোগ বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাবে। তাই নির্মাণে অসুবিধা হবে না।
যদি পরিসংখ্যানগুলির দুটি ছেদ বিন্দু থাকে, তাহলে তাদের জন্য একটি সরল রেখা তৈরি করা যেতে পারে, বৃত্তের স্পর্শক, এক এবং দ্বিতীয়, তবে শুধুমাত্র বাইরেরটি। এই সমস্যার সমাধান নিচের আলোচনার মতই।
সমস্যা সমাধান
দুটি বৃত্তের অভ্যন্তরীণ এবং বাহ্যিক স্পর্শক গঠন করা এত সহজ নয়, যদিও এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে। আসল বিষয়টি হ'ল এটির জন্য একটি সহায়ক চিত্র ব্যবহার করা হয়, তাই এই পদ্ধতিটি নিজেই চিন্তা করুন
বেশ সমস্যাযুক্ত। সুতরাং, বিভিন্ন ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্র O1 এবং O2 সহ দুটি বৃত্ত দেওয়া হয়েছে। তাদের জন্য, আপনাকে দুটি জোড়া স্পর্শক তৈরি করতে হবে।
প্রথম, বৃহত্তর কেন্দ্রের কাছাকাছিচেনাশোনা অক্জিলিয়ারী নির্মাণ করা প্রয়োজন. এই ক্ষেত্রে, দুটি প্রাথমিক পরিসংখ্যানের ব্যাসার্ধের মধ্যে পার্থক্য অবশ্যই কম্পাসে স্থাপন করতে হবে। অক্জিলিয়ারী বৃত্তের স্পর্শকগুলি ছোট বৃত্তের কেন্দ্র থেকে নির্মিত হয়। এর পরে, O1 এবং O2 থেকে, লম্বগুলি এই রেখাগুলিতে টানা হয় যতক্ষণ না তারা মূল চিত্রগুলির সাথে ছেদ করে। স্পর্শকের প্রধান বৈশিষ্ট্য থেকে নিম্নরূপ, উভয় বৃত্তের কাঙ্খিত বিন্দু পাওয়া যায়। সমস্যা সমাধান করা হয়েছে, অন্তত এর প্রথম অংশ।
অভ্যন্তরীণ স্পর্শক তৈরি করতে, আপনাকে কার্যত সমাধান করতে হবে
একটি অনুরূপ কাজ। আবার, একটি সহায়ক চিত্র প্রয়োজন, তবে এবার এর ব্যাসার্ধটি মূলগুলির যোগফলের সমান হবে। প্রদত্ত বৃত্তগুলির একটির কেন্দ্র থেকে এটিতে স্পর্শকগুলি তৈরি করা হয়। সমাধানের পরবর্তী কোর্সটি আগের উদাহরণ থেকে বোঝা যাবে।
একটি বৃত্তের স্পর্শক বা এমনকি দুই বা তার বেশি এমন কঠিন কাজ নয়। অবশ্যই, গণিতবিদরা দীর্ঘকাল ধরে এই জাতীয় সমস্যাগুলি ম্যানুয়ালি সমাধান করা বন্ধ করে দিয়েছেন এবং বিশেষ প্রোগ্রামগুলিতে গণনাগুলিকে বিশ্বাস করেন। তবে ভাববেন না যে এখন এটি নিজে করতে সক্ষম হওয়া দরকার নেই, কারণ কম্পিউটারের জন্য একটি টাস্ক সঠিকভাবে তৈরি করার জন্য আপনাকে অনেক কিছু করতে হবে এবং বুঝতে হবে। দুর্ভাগ্যবশত, এমন আশঙ্কা রয়েছে যে জ্ঞান নিয়ন্ত্রণের পরীক্ষায় চূড়ান্ত রূপান্তরের পরে, নির্মাণ কাজগুলি শিক্ষার্থীদের জন্য আরও বেশি সমস্যা সৃষ্টি করবে৷
আরো বৃত্তের জন্য সাধারণ স্পর্শক খুঁজে বের করার জন্য, এটি সবসময় সম্ভব নয়, এমনকি যদি তারা একই সমতলে শুয়ে থাকে। তবে কিছু ক্ষেত্রে আপনি এমন একটি সরল রেখা খুঁজে পেতে পারেন।
জীবনের উদাহরণ
দুটি বৃত্তের একটি সাধারণ স্পর্শক প্রায়ই অনুশীলনে সম্মুখীন হয়, যদিও এটি সর্বদা লক্ষণীয় নয়। কনভেয়র, ব্লক সিস্টেম, পুলি ট্রান্সমিশন বেল্ট, একটি সেলাই মেশিনে থ্রেড টান, এমনকি কেবল একটি সাইকেলের চেইন - এই সবই জীবনের উদাহরণ। তাই ভাববেন না যে জ্যামিতিক সমস্যাগুলি শুধুমাত্র তত্ত্বের মধ্যেই থেকে যায়: প্রকৌশল, পদার্থবিদ্যা, নির্মাণ এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে তারা ব্যবহারিক প্রয়োগ খুঁজে পায়।
