লিওনহার্ড অয়লার (1707-1783) - বিখ্যাত সুইস এবং রাশিয়ান গণিতবিদ, সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সেসের সদস্য, তাঁর জীবনের বেশিরভাগ সময় রাশিয়ায় কাটিয়েছেন। গাণিতিক বিশ্লেষণ, পরিসংখ্যান, কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং যুক্তিবিদ্যায় সবচেয়ে বিখ্যাত হল অয়লার বৃত্ত (অয়লার-ভেন ডায়াগ্রাম), যা ধারণার সুযোগ এবং উপাদানের সেট বোঝাতে ব্যবহৃত হয়।
জন ভেন (1834-1923) - ইংরেজ দার্শনিক এবং যুক্তিবিদ, অয়লার-ভেন ডায়াগ্রামের সহ-লেখক।
সঙ্গত এবং বেমানান ধারণা
লজিকের ধারণার অধীনে মানে চিন্তার একটি ধরন যা একশ্রেণীর সমজাতীয় বস্তুর অপরিহার্য বৈশিষ্ট্যগুলিকে প্রতিফলিত করে। এগুলিকে এক বা কয়েকটি শব্দ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়: "বিশ্বের মানচিত্র", "প্রধান পঞ্চম-সপ্তম জ্যা", "সোমবার" ইত্যাদি।
যখন একটি ধারণার সুযোগের উপাদানগুলি সম্পূর্ণ বা আংশিকভাবে অন্যটির সুযোগের অন্তর্গত, তখন একটি সামঞ্জস্যপূর্ণ ধারণার কথা বলে। যাইহোক, যদি একটি নির্দিষ্ট ধারণার সুযোগের কোনো উপাদান অন্যটির সুযোগের অন্তর্গত না হয়, তাহলে আমাদের কাছে বেমানান ধারণা রয়েছে।
পরবর্তীতে, প্রতিটি ধরণের ধারণার নিজস্ব সম্ভাব্য সম্পর্কের সেট রয়েছে। সামঞ্জস্যপূর্ণ ধারণার জন্য, এগুলি হল:
আয়তনের
বেমানানের জন্য:
- অধীনতা (সমন্বয়);
- বিপরীত (বিপরীততা);
- দ্বন্দ্ব (দ্বন্দ্ব)।
পরিকল্পিতভাবে, যুক্তিবিদ্যার ধারণার মধ্যে সম্পর্কগুলি সাধারণত অয়লার-ভেন চেনাশোনাগুলি ব্যবহার করে চিহ্নিত করা হয়৷
সমতুল্য সম্পর্ক
এই ক্ষেত্রে, ধারণাগুলি একই বিষয় বোঝায়। তদনুসারে, এই ধারণাগুলির ভলিউম সম্পূর্ণরূপে একই। যেমন:
A - সিগমুন্ড ফ্রয়েড;
B মনোবিশ্লেষণের প্রতিষ্ঠাতা৷
বা:
A একটি বর্গক্ষেত্র;
B একটি সমবাহু আয়তক্ষেত্র;
C একটি সমভুজাকার রম্বস।
সম্পূর্ণভাবে মিলিত অয়লার চেনাশোনাগুলি উপাধির জন্য ব্যবহৃত হয়৷
ছেদ (আংশিক মিল)
এই বিভাগে এমন ধারণা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে যেগুলির মধ্যে সাধারণ উপাদান রয়েছে যা ক্রসিংয়ের সাথে সম্পর্কিত। অর্থাৎ, একটি ধারণার আয়তন আংশিকভাবে অন্যটির আয়তনে অন্তর্ভুক্ত:
A - শিক্ষক;
B একজন সঙ্গীতপ্রেমী।
এই উদাহরণ থেকে দেখা যায়, ধারণার ভলিউম আংশিকভাবে মিলে যায়: শিক্ষকদের একটি নির্দিষ্ট গোষ্ঠী সঙ্গীত প্রেমী হতে পারে, এবং এর বিপরীতে - সঙ্গীত প্রেমীদের মধ্যে শিক্ষকতা পেশার প্রতিনিধি থাকতে পারে। অনুরূপ মনোভাব সেই ক্ষেত্রেও হবে যখন ধারণা A হল, উদাহরণস্বরূপ, একজন "নাগরিক", এবং B হল "ড্রাইভার"৷
অধীনতা (অধীনতা)
পরিকল্পিতভাবে বিভিন্ন স্কেলের অয়লার চেনাশোনা হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। সম্পর্কএই ক্ষেত্রে ধারণাগুলির মধ্যে এই বিষয়টি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় যে অধস্তন ধারণা (ভলিউমের ছোট) সম্পূর্ণরূপে অধস্তন (ভলিউম বড়) এর অন্তর্ভুক্ত। একই সময়ে, অধস্তন ধারণাটি অধস্তনকে সম্পূর্ণরূপে নিঃশেষ করে দেয় না।
উদাহরণস্বরূপ:
A - গাছ;
B - পাইন।
ধারণা B ধারণা A এর অধীনস্থ হবে। যেহেতু পাইন গাছের অন্তর্গত, এই উদাহরণে ধারণা A অধস্তন হয়ে যায়, ধারণা B এর সুযোগকে "শোষণ করে"।
সমন্বয় (সমন্বয়)
সম্পর্ক দুটি বা ততোধিক ধারণাকে চিহ্নিত করে যা একে অপরকে বাদ দেয়, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট সাধারণ জেনেরিক বৃত্তের অন্তর্গত। যেমন:
A – ক্লারিনেট;
B - গিটার;
C - বেহালা;
D একটি বাদ্যযন্ত্র।
A, B, C ধারণাগুলি একে অপরের সাথে ছেদ করে না, তবে, এগুলি সমস্ত বাদ্যযন্ত্রের (ধারণা D) বিভাগের অন্তর্গত।
বিপরীত (বিপরীত)
ধারণার মধ্যে বিপরীত সম্পর্কগুলি বোঝায় যে এই ধারণাগুলি একই বংশের অন্তর্গত। একই সময়ে, ধারণাগুলির মধ্যে একটির নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য (বৈশিষ্ট্য) রয়েছে, অন্যটি তাদের অস্বীকার করে, প্রকৃতির বিপরীতে তাদের প্রতিস্থাপন করে। এইভাবে, আমরা বিপরীতার্থক শব্দ নিয়ে কাজ করছি। যেমন:
A একটি বামন;
B একটি দৈত্য৷
ধারণার মধ্যে বিপরীত সম্পর্ক সহ অয়লার বৃত্ততিনটি ভাগে বিভক্ত, যার মধ্যে প্রথমটি ধারণা A এর সাথে, দ্বিতীয়টি B ধারণার সাথে এবং তৃতীয়টি অন্যান্য সম্ভাব্য ধারণার সাথে মিলে যায়৷
বিরোধিতা (দ্বন্দ্ব)
এই ক্ষেত্রে, উভয় ধারণাই একই বংশের প্রজাতি। আগের উদাহরণের মতো, একটি ধারণা নির্দিষ্ট গুণাবলী (বৈশিষ্ট্য) নির্দেশ করে, অন্যটি তাদের অস্বীকার করে। যাইহোক, বিপরীতের সম্পর্কের বিপরীতে, দ্বিতীয়, বিপরীত ধারণাটি অস্বীকৃত বৈশিষ্ট্যগুলিকে অন্য, বিকল্পগুলির সাথে প্রতিস্থাপন করে না। যেমন:
A একটি কঠিন কাজ;
B একটি সহজ কাজ (A নয়)।
এই ধরণের ধারণার ভলিউম প্রকাশ করে, অয়লার বৃত্ত দুটি ভাগে বিভক্ত - তৃতীয়, এই ক্ষেত্রে মধ্যবর্তী লিঙ্কটি বিদ্যমান নেই। সুতরাং, ধারণাগুলিও বিপরীত শব্দ। একই সময়ে, তাদের মধ্যে একটি (এ) ইতিবাচক হয়ে যায় (কিছু বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে), এবং দ্বিতীয়টি (বি বা অ-এ) নেতিবাচক হয়ে যায় (সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যটিকে অস্বীকার করে): "সাদা কাগজ" - "সাদা কাগজ নয়", " জাতীয় ইতিহাস" - "বিদেশী ইতিহাস", ইত্যাদি।
এইভাবে, একে অপরের সাথে সম্পর্কিত ধারণাগুলির আয়তনের অনুপাত একটি মূল বৈশিষ্ট্য যা অয়লার চেনাশোনাগুলিকে সংজ্ঞায়িত করে৷
সেটের মধ্যে সম্পর্ক
এটি উপাদান এবং সেটের ধারণাগুলির মধ্যে পার্থক্য করাও প্রয়োজন, যার আয়তন অয়লার চেনাশোনাগুলি দ্বারা প্রদর্শিত হয়। একটি সেটের ধারণাটি গাণিতিক বিজ্ঞান থেকে ধার করা হয়েছে এবং এর একটি মোটামুটি বিস্তৃত অর্থ রয়েছে। যুক্তিবিদ্যা এবং গণিতের উদাহরণগুলি এটিকে বস্তুর একটি নির্দিষ্ট সেট হিসাবে প্রদর্শন করে। বস্তু নিজেই হয়এই সেটের উপাদান। "অনেক অনেককে এক হিসাবে ভাবা হয়" (জর্জ কান্টর, সেট তত্ত্বের প্রতিষ্ঠাতা)।
সেটগুলি বড় হাতের অক্ষরে মনোনীত করা হয়েছে: A, B, C, D… ইত্যাদি, সেটের উপাদানগুলি ছোট হাতের অক্ষরে মনোনীত করা হয়েছে: a, b, c, d… ইত্যাদি। একটি সেটের উদাহরণ হতে পারে এমন ছাত্র যারা একটি শ্রেণীকক্ষে, একটি নির্দিষ্ট শেলফে বই (বা, উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট লাইব্রেরির সমস্ত বই), একটি ডায়েরির পৃষ্ঠা, বন পরিষ্কারের বেরি ইত্যাদি।
পরবর্তীতে, যদি একটি নির্দিষ্ট সেটে একটি উপাদান না থাকে, তাহলে তাকে খালি বলা হয় এবং Ø চিহ্ন দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সমান্তরাল রেখার ছেদ বিন্দুর সেট, সমীকরণের সমাধানের সেট x2=-5.
সমস্যা সমাধান
অয়লার চেনাশোনাগুলি সক্রিয়ভাবে বিপুল সংখ্যক সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত হয়। যুক্তিবিদ্যার উদাহরণ স্পষ্টভাবে লজিক্যাল অপারেশন এবং সেট তত্ত্বের মধ্যে সংযোগ প্রদর্শন করে। এই ক্ষেত্রে, ধারণার সত্য সারণী ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, A লেবেলযুক্ত বৃত্তটি সত্য অঞ্চলের প্রতিনিধিত্ব করে। সুতরাং বৃত্তের বাইরের ক্ষেত্রটি মিথ্যা উপস্থাপন করবে। যৌক্তিক ক্রিয়াকলাপের জন্য ডায়াগ্রামের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে, অয়লার বৃত্তকে সংজ্ঞায়িত করে এমন এলাকাগুলিকে ছায়া দিতে হবে, যেখানে A এবং B উপাদানগুলির জন্য এর মান সত্য হবে।
অয়লার বৃত্তের ব্যবহার বিভিন্ন শিল্পে ব্যাপক ব্যবহারিক প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পেশাদার পছন্দ সঙ্গে একটি পরিস্থিতিতে. যদি বিষয়টি ভবিষ্যতের পেশা বেছে নেওয়ার বিষয়ে উদ্বিগ্ন হয়, তাহলে তিনি নিম্নলিখিত মানদণ্ড দ্বারা পরিচালিত হতে পারেন:
W – আমি কি করতে পছন্দ করি?
D – আমি কি করছি?
P- আমি কিভাবে ভাল অর্থ উপার্জন করতে পারি?
আসুন এটিকে একটি চিত্র হিসাবে আঁকুন: অয়লার চেনাশোনা (যুক্তি - ছেদ সম্পর্কের উদাহরণ):
ফলাফল হবে সেইসব পেশা যা তিনটি চেনাশোনার সংযোগস্থলে থাকবে।
অয়লার-ভেন চেনাশোনাগুলি সংমিশ্রণ এবং বৈশিষ্ট্যগুলি গণনা করার সময় গণিতে (সেট তত্ত্ব) একটি পৃথক স্থান দখল করে। উপাদানগুলির সেটের অয়লার চেনাশোনাগুলি সর্বজনীন সেট (U) নির্দেশ করে একটি আয়তক্ষেত্রের চিত্রে আবদ্ধ। চেনাশোনাগুলির পরিবর্তে, অন্যান্য বদ্ধ পরিসংখ্যানগুলিও ব্যবহার করা যেতে পারে, তবে এর সারাংশ পরিবর্তন হয় না। পরিসংখ্যানগুলি একে অপরের সাথে ছেদ করে, সমস্যার শর্ত অনুসারে (সবচেয়ে সাধারণ ক্ষেত্রে)। এছাড়াও, এই পরিসংখ্যান অনুযায়ী লেবেল করা উচিত. বিবেচনাধীন সেটের উপাদানগুলি ডায়াগ্রামের বিভিন্ন অংশের ভিতরে অবস্থিত পয়েন্ট হতে পারে। এটির উপর ভিত্তি করে, আপনি নির্দিষ্ট এলাকাগুলিকে ছায়া দিতে পারেন, যার ফলে নতুন গঠিত সেটগুলিকে মনোনীত করতে পারেন৷
এই সেটগুলির সাহায্যে মৌলিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করা সম্ভব: যোগ (উপাদানের সেটের যোগফল), বিয়োগ (পার্থক্য), গুণ (গুণ)। উপরন্তু, অয়লার-ভেন ডায়াগ্রামের জন্য ধন্যবাদ, সেটগুলিকে গণনা না করে, তাদের অন্তর্ভুক্ত উপাদানগুলির সংখ্যার সাথে তুলনা করা সম্ভব।
