যদি নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে ধ্রুপদী মেকানিক্সে দেহের রৈখিক গতিবিধি বর্ণনা করা হয়, তাহলে বৃত্তাকার গতিপথ বরাবর যান্ত্রিক সিস্টেমের গতিবিধির বৈশিষ্ট্যগুলি একটি বিশেষ অভিব্যক্তি ব্যবহার করে গণনা করা হয়, যাকে বলা হয় মুহূর্তের সমীকরণ। আমরা কোন মুহূর্ত সম্পর্কে কথা বলছি এবং এই সমীকরণটির অর্থ কী? এই এবং অন্যান্য প্রশ্ন নিবন্ধে প্রকাশ করা হয়েছে৷
বলের মুহূর্ত
প্রত্যেকেই নিউটনীয় শক্তি সম্পর্কে ভালভাবে সচেতন, যা শরীরের উপর কাজ করে, এটিকে ত্বরণ প্রদানের দিকে নিয়ে যায়। ঘূর্ণনের একটি নির্দিষ্ট অক্ষের উপর স্থির থাকা বস্তুতে যখন এই ধরনের বল প্রয়োগ করা হয়, তখন এই বৈশিষ্ট্যটিকে সাধারণত বলের মুহূর্ত বলা হয়। বল সমীকরণের মুহূর্তটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
M¯=L¯F¯
এই অভিব্যক্তিটি ব্যাখ্যা করে এমন ছবিটি নীচে দেখানো হয়েছে৷
এখানে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে বল F¯ ভেক্টর L¯ এর দিকে Φ কোণে নির্দেশিত হয়েছে। ভেক্টর L¯ নিজেই ঘূর্ণনের অক্ষ থেকে প্রয়োগের বিন্দুতে (তীর দ্বারা নির্দেশিত) নির্দেশিত বলে ধরে নেওয়া হয়F¯.
উপরের সূত্রটি দুটি ভেক্টরের একটি গুণফল, তাই M¯ও দিকনির্দেশক। বল M¯ এর মুহূর্ত কোথায় ঘুরবে? এটি ডান হাতের নিয়ম দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে (চারটি আঙুল ভেক্টর L¯ এর শেষ থেকে F¯ এর শেষ পর্যন্ত ট্র্যাজেক্টোরি বরাবর নির্দেশিত হয় এবং বাম বুড়ো আঙুল M¯ এর দিক নির্দেশ করে)।
উপরের চিত্রে, স্কেলার আকারে বলের মুহূর্তটির অভিব্যক্তিটি রূপ নেবে:
M=LFsin(Φ)
আপনি যদি চিত্রটি ঘনিষ্ঠভাবে দেখেন, আপনি দেখতে পাবেন যে Lsin(Φ)=d, তাহলে আমাদের সূত্র আছে:
M=dF
d-এর মান হল বলের মুহূর্ত গণনা করার ক্ষেত্রে একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, কারণ এটি সিস্টেমে প্রয়োগকৃত F-এর কার্যকারিতা প্রতিফলিত করে। এই মানটিকে বলে লিভার অফ ফোর্স।
M এর শারীরিক অর্থ সিস্টেমটিকে ঘোরানোর শক্তির ক্ষমতার মধ্যে নিহিত। প্রত্যেকে এই ক্ষমতা অনুভব করতে পারে যদি তারা হাতল দিয়ে দরজা খুলে, কব্জের কাছে ঠেলে দেয়, অথবা যদি তারা একটি ছোট এবং লম্বা চাবি দিয়ে বাদামটি খুলতে চেষ্টা করে।
ব্যবস্থার ভারসাম্য
একটি সিস্টেমের ভারসাম্য বিবেচনা করার সময় শক্তির মুহূর্ত ধারণাটি খুবই কার্যকর যেটি একাধিক বল দ্বারা কাজ করে এবং একটি অক্ষ বা ঘূর্ণনের বিন্দু রয়েছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে, সূত্রটি প্রয়োগ করুন:
∑iMi¯=0
অর্থাৎ, সিস্টেমটি ভারসাম্য বজায় থাকবে যদি এতে প্রয়োগ করা সমস্ত মুহূর্তের যোগফল শূন্য হয়। মনে রাখবেন যে এই সূত্রে এই মুহূর্তে একটি ভেক্টর চিহ্ন রয়েছে, অর্থাৎ, সমাধান করার সময়, এটির চিহ্নটি বিবেচনা করতে ভুলবেন নাপরিমাণ সাধারণত গৃহীত নিয়ম হল যে ক্রিয়াশীল শক্তি যা সিস্টেমকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘোরায় তা একটি ইতিবাচক Mi¯ তৈরি করে।
এই ধরণের সমস্যার একটি আকর্ষণীয় উদাহরণ হল আর্কিমিডিসের লিভারের ভারসাম্য নিয়ে সমস্যা৷
বেগের মুহূর্ত
এটি বৃত্তাকার গতির আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য। পদার্থবিজ্ঞানে, এটিকে ভরবেগ এবং লিভারের পণ্য হিসাবে বর্ণনা করা হয়। ভরবেগ সমীকরণটি এইরকম দেখাচ্ছে:
T¯=r¯p¯
এখানে p¯ হল ভরবেগ ভেক্টর, r¯ হল ভেক্টর যা ঘূর্ণায়মান উপাদান বিন্দুকে অক্ষের সাথে সংযুক্ত করে।
নীচের চিত্রটি এই অভিব্যক্তিটি তুলে ধরে।
এখানে ω হল কৌণিক বেগ, যা মুহূর্তের সমীকরণে আরও দেখা যাবে। উল্লেখ্য যে ভেক্টর T¯ এর দিকটি M¯ এর মতো একই নিয়মে পাওয়া যায়। উপরের চিত্রে, T¯ দিক কৌণিক বেগ ভেক্টর ω¯ এর সাথে মিলে যাবে।
T¯ এর ভৌত অর্থ রৈখিক গতির ক্ষেত্রে p¯ এর বৈশিষ্ট্যের মতোই, যেমন কৌণিক ভরবেগ ঘূর্ণন গতির পরিমাণ (সঞ্চিত গতিশক্তি) বর্ণনা করে।
জড়তার মুহূর্ত
তৃতীয় গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, যা ছাড়া ঘূর্ণায়মান বস্তুর গতির সমীকরণ তৈরি করা অসম্ভব, তা হল জড়তার মুহূর্ত। এটি পদার্থবিদ্যায় একটি বস্তুগত বিন্দুর কৌণিক ভরবেগের সূত্রের গাণিতিক রূপান্তরের ফলে দেখা যায়। চলুন দেখাই কিভাবে এটি করা হয়েছে।
আসুন মানটি কল্পনা করা যাকT¯ নিম্নরূপ:
T¯=r¯mv¯, যেখানে p¯=mv¯
কৌণিক এবং রৈখিক বেগের মধ্যে সম্পর্ক ব্যবহার করে, আমরা এই অভিব্যক্তিটিকে নিম্নরূপ পুনরায় লিখতে পারি:
T¯=r¯mr¯ω¯, যেখানে v¯=r¯ω¯
শেষের অভিব্যক্তিটি নিম্নরূপ লিখুন:
T¯=r2মিω¯
মান r2m হল একটি ভর m বিন্দুর জন্য জড়তা I এর মুহূর্ত যা এটি থেকে r দূরত্বে একটি অক্ষের চারপাশে একটি বৃত্তাকার গতি তৈরি করে। এই বিশেষ ক্ষেত্রে আমাদেরকে নির্বিচারে আকৃতির শরীরের জন্য জড়তার মুহুর্তের সাধারণ সমীকরণ প্রবর্তন করতে দেয়:
I=∫m (r2dm)
I হল একটি যোজক পরিমাণ, যার অর্থ ঘূর্ণায়মান সিস্টেমের জড়তার মধ্যে রয়েছে। আমি যত বড়, শরীর ঘোরানো তত কঠিন, এবং এটি থামাতে যথেষ্ট প্রচেষ্টা লাগে।
মুহূর্ত সমীকরণ
আমরা তিনটি পরিমাণ বিবেচনা করেছি, যার নাম "মুহূর্ত" শব্দ দিয়ে শুরু হয়েছে। এটি ইচ্ছাকৃতভাবে করা হয়েছিল, যেহেতু তারা সকলেই একটি অভিব্যক্তিতে সংযুক্ত, যাকে বলা হয় 3-মুহূর্ত সমীকরণ। চলুন বের করা যাক।
কৌণিক ভরবেগের জন্য অভিব্যক্তিটি বিবেচনা করুন T¯:
T¯=আমিω¯
সময়ের সাথে T¯ এর মান কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা খুঁজুন, আমাদের আছে:
dT¯/dt=Idω¯/dt
প্রদত্ত যে কৌণিক বেগের ডেরিভেটিভটি r দ্বারা বিভক্ত রৈখিক বেগের সমান, এবং I-এর মানকে প্রসারিত করে, আমরা অভিব্যক্তিতে পৌঁছাই:
dT¯/dt=mr21/rdv¯/dt=rma¯, যেখানে a¯=dv¯/dt হল রৈখিক ত্বরণ।
উল্লেখ্য যে ভর এবং ত্বরণের গুণফল বাহ্যিক শক্তি F¯ ছাড়া আর কিছুই নয়। ফলস্বরূপ, আমরা পাই:
dT¯/dt=rF¯=M¯
আমরা একটি আকর্ষণীয় উপসংহারে এসেছি: কৌণিক ভরবেগের পরিবর্তন বাহ্যিক শক্তির মূহুর্তের সমান। এই অভিব্যক্তিটি সাধারণত একটু ভিন্ন আকারে লেখা হয়:
M¯=Iα¯, যেখানে α¯=dω¯/dt - কৌণিক ত্বরণ।
এই সমতাকে বলা হয় মুহূর্তের সমীকরণ। এটি আপনাকে সিস্টেমের পরামিতি এবং এটিতে বাহ্যিক প্রভাবের মাত্রা জেনে একটি ঘূর্ণায়মান শরীরের যে কোনও বৈশিষ্ট্য গণনা করতে দেয়৷
সংরক্ষণ আইন T¯
পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রাপ্ত উপসংহারটি নির্দেশ করে যে যদি শক্তির বাহ্যিক মুহূর্ত শূন্যের সমান হয়, তবে কৌণিক ভরবেগ পরিবর্তন হবে না। এই ক্ষেত্রে, আমরা অভিব্যক্তি লিখি:
T¯=const. অথবা আমি1ω1¯=I2ω2 ¯
এই সূত্রটিকে T¯ সংরক্ষণের আইন বলা হয়। অর্থাৎ, সিস্টেমের মধ্যে যেকোনো পরিবর্তন মোট কৌণিক ভরবেগকে পরিবর্তন করে না।
এই সত্যটি ফিগার স্কেটার এবং ব্যালেরিনারা তাদের পারফরম্যান্সের সময় ব্যবহার করে। মহাকাশে চলমান একটি কৃত্রিম উপগ্রহকে তার অক্ষের চারপাশে ঘোরানোর প্রয়োজন হলে এটি ব্যবহার করা হয়৷
