দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের পদ্ধতি। দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য ভিয়েটা সূত্র

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

চতুর সমীকরণগুলি প্রায়শই গণিত এবং পদার্থবিদ্যার বেশ কয়েকটি সমস্যায় উপস্থিত হয়, তাই প্রতিটি শিক্ষার্থীর সেগুলি সমাধান করতে সক্ষম হওয়া উচিত। এই নিবন্ধটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের প্রধান পদ্ধতির বিবরণ দেয় এবং তাদের ব্যবহারের উদাহরণও দেয়।

কী সমীকরণকে চতুর্ভুজ বলা হয়

প্রথমত, নিবন্ধটি কী বিষয়ে হবে তা আরও ভালভাবে বোঝার জন্য আমরা এই অনুচ্ছেদের প্রশ্নের উত্তর দেব। সুতরাং, দ্বিঘাত সমীকরণের নিম্নলিখিত সাধারণ রূপ রয়েছে: c + bx+ax²=0, যেখানে a, b, c কিছু সংখ্যা, যেগুলিকে সহগ বলা হয়। এখানে a≠0 একটি বাধ্যতামূলক শর্ত, অন্যথায় নির্দেশিত সমীকরণটি একটি রৈখিক সমীকরণে ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। অবশিষ্ট সহগ (b, c) শূন্য সহ একেবারে যেকোনো মান নিতে পারে। এইভাবে, ax²=0, যেখানে b=0 এবং c=0, অথবা c+ax²=0, যেখানে b=0, বা bx+ax²=0, যেখানে c=0 এছাড়াও দ্বিঘাত সমীকরণ, যেগুলিকে অসম্পূর্ণ বলা হয়, কারণ হয় তাদের মধ্যে রৈখিক সহগ b শূন্য বা শূন্যএকটি বিনামূল্যের শব্দ c, অথবা তারা উভয়ই অদৃশ্য হয়ে যায়৷

একটি সমীকরণ যেখানে a=1 কে হ্রাস বলা হয়, অর্থাৎ, এটির ফর্ম রয়েছে: x² + с/a + (b/a)x=0।

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান হল এমন x মান খুঁজে বের করা যা এর সমতাকে সন্তুষ্ট করে। এই মানগুলিকে শিকড় বলা হয়। যেহেতু বিবেচনাধীন সমীকরণটি দ্বিতীয় ডিগ্রির একটি অভিব্যক্তি, এর অর্থ হল এর মূলের সর্বাধিক সংখ্যা দুটির বেশি হতে পারে না।

বর্গ সমীকরণ সমাধানের জন্য কোন পদ্ধতি বিদ্যমান

সাধারণভাবে, 4টি সমাধান পদ্ধতি রয়েছে। তাদের নাম নীচে তালিকাভুক্ত করা হয়েছে:

1. ফ্যাক্টরিং।
2. স্কোয়ারে সংযোজন।
3. একটি পরিচিত সূত্র ব্যবহার করে (বৈষম্যকারীর মাধ্যমে)।
4. সমাধান পদ্ধতিটি জ্যামিতিক।

আপনি উপরের তালিকা থেকে দেখতে পাচ্ছেন, প্রথম তিনটি পদ্ধতি বীজগণিত, তাই সেগুলি শেষের তুলনায় বেশি ব্যবহৃত হয়, যার মধ্যে একটি ফাংশন প্লট করা জড়িত৷

ভিয়েটা উপপাদ্য ব্যবহার করে বর্গ সমীকরণ সমাধান করার আরেকটি উপায় আছে। এটি উপরের তালিকায় 5 তম অন্তর্ভুক্ত হতে পারে, তবে, এটি করা হয়নি, যেহেতু ভিয়েতার উপপাদ্যটি 3য় পদ্ধতির একটি সহজ পরিণতি৷

পরে প্রবন্ধে আমরা সমাধানের নাম দেওয়া পদ্ধতিগুলিকে আরও বিশদে বিবেচনা করব, এবং নির্দিষ্ট সমীকরণের মূল খুঁজে বের করতে তাদের ব্যবহারের উদাহরণও দেব।

পদ্ধতি 1। ফ্যাক্টরিং

চতুর্ভুজ সমীকরণের গণিতে এই পদ্ধতির জন্য একটি সুন্দরনাম: ফ্যাক্টরাইজেশন। এই পদ্ধতির সারমর্মটি নিম্নরূপ: দ্বিঘাত সমীকরণটিকে দুটি পদ (অভিব্যক্তি) এর গুণফল হিসাবে উপস্থাপন করা প্রয়োজন, যা অবশ্যই শূন্যের সমান হবে। এই ধরনের উপস্থাপনা করার পরে, আপনি পণ্যের সম্পত্তি ব্যবহার করতে পারেন, যা শুধুমাত্র শূন্যের সমান হবে যখন এর এক বা একাধিক সদস্য শূন্য হবে।

এখন সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য নির্দিষ্ট কর্মের ক্রম বিবেচনা করুন:

1. সমস্ত সদস্যকে অভিব্যক্তির একটি অংশে নিয়ে যান (উদাহরণস্বরূপ, বাম দিকে) যাতে অন্য অংশে (ডানে) শুধুমাত্র 0 থাকে।
2. দুটি রৈখিক সমীকরণের গুণফল হিসাবে সমীকরণের একটি অংশে পদের যোগফলকে উপস্থাপন করুন।
3. প্রতিটি লিনিয়ার এক্সপ্রেশনকে শূন্যে সেট করুন এবং সেগুলি সমাধান করুন।

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ফ্যাক্টরাইজেশন অ্যালগরিদমটি বেশ সহজ, তবে, 2য় পয়েন্টটি বাস্তবায়নের সময় বেশিরভাগ শিক্ষার্থীর অসুবিধা হয়, তাই আমরা এটিকে আরও বিশদে ব্যাখ্যা করব।

অনুমান করতে যে 2টি রৈখিক রাশি, একে অপরের দ্বারা গুণ করা হলে, কাঙ্খিত দ্বিঘাত সমীকরণ দেবে, আপনাকে দুটি সাধারণ নিয়ম মনে রাখতে হবে:

• দুটি রৈখিক রাশির রৈখিক সহগ, একে অপরের দ্বারা গুণ করা হলে, দ্বিঘাত সমীকরণের প্রথম সহগ দিতে হবে, অর্থাৎ সংখ্যাটি a.
• রৈখিক অভিব্যক্তির মুক্ত পদ, যখন গুণ করা হয়, তখন কাঙ্খিত সমীকরণের c সংখ্যা দিতে হবে।

সমস্ত গুণনীয়ক সংখ্যা নির্বাচন করার পরে, তাদের গুণ করা উচিত, এবং যদি তারা পছন্দসই সমীকরণ দেয়, তাহলে ধাপ 3 এ যানউপরের অ্যালগরিদম, অন্যথায় আপনার গুণক পরিবর্তন করা উচিত, তবে আপনাকে এটি করতে হবে যাতে উপরের নিয়মগুলি সর্বদা অনুসরণ করা হয়।

ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি দ্বারা সমাধানের উদাহরণ

আসুন পরিষ্কারভাবে দেখাই যে কীভাবে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের অ্যালগরিদম তৈরি করা হয় এবং অজানা শিকড় খুঁজে বের করা হয়। একটি নির্বিচারে অভিব্যক্তি দেওয়া যাক, উদাহরণস্বরূপ, 2x-5+5x²-2x²=x^2+2+x2^{+1। আসুন এর সমাধানের দিকে এগিয়ে যাই, 1 থেকে 3 পর্যন্ত পয়েন্টের ক্রম পর্যবেক্ষণ করে, যা নিবন্ধের পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে সেট করা হয়েছে।}

আইটেম 1. সমস্ত পদগুলিকে বাম দিকে সরান এবং একটি দ্বিঘাত সমীকরণের জন্য শাস্ত্রীয় ক্রম অনুসারে সাজান। আমাদের নিম্নলিখিত সমতা রয়েছে: 2x+(-8)+x²=0.

আইটেম 2. আমরা এটিকে রৈখিক সমীকরণের একটি গুণে বিভক্ত করি। যেহেতু a=1, এবং c=-8, তাহলে আমরা নির্বাচন করব, উদাহরণস্বরূপ, যেমন একটি পণ্য (x-2)(x+4)। এটি উপরের অনুচ্ছেদে সেট করা প্রত্যাশিত কারণগুলি খুঁজে বের করার নিয়মগুলিকে সন্তুষ্ট করে৷ যদি আমরা বন্ধনী খুলি, তাহলে আমরা পাব: -8+2x+x², অর্থাৎ, আমরা সমীকরণের বাম দিকের মতো ঠিক একই অভিব্যক্তি পাব। এর মানে হল যে আমরা গুণকগুলি সঠিকভাবে অনুমান করেছি এবং আমরা অ্যালগরিদমের 3য় ধাপে যেতে পারি৷

আইটেম 3. প্রতিটি ফ্যাক্টরকে শূন্যে সমান করুন, আমরা পাই: x=-4 এবং x=2।

যদি ফলাফল সম্পর্কে কোন সন্দেহ থাকে, তবে মূল সমীকরণে পাওয়া মূলগুলি প্রতিস্থাপন করে পরীক্ষা করার পরামর্শ দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, আমাদের আছে: 22+2²-8=0 এবং 2(-4)+(-4)² -8=0। সঠিকভাবে শিকড় পাওয়া গেছে।

এইভাবে, ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পেলাম যে প্রদত্ত সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছেআছে: 2 এবং -4।

পদ্ধতি 2। সম্পূর্ণ বর্গক্ষেত্রের পরিপূরক

বর্গীয় সমীকরণের বীজগণিতে, গুণক পদ্ধতি সর্বদা ব্যবহার করা যায় না, যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের সহগগুলির ভগ্নাংশের মানের ক্ষেত্রে, অ্যালগরিদমের অনুচ্ছেদ 2 বাস্তবায়নে অসুবিধা দেখা দেয়।

পূর্ণ বর্গাকার পদ্ধতিটি সার্বজনীন এবং যেকোনো ধরনের দ্বিঘাত সমীকরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে। এর সারমর্ম হল নিম্নলিখিত ক্রিয়াকলাপগুলি সম্পাদন করা:

1. a এবং b সহগ সমীকরণের পদগুলিকে সমীকরণের এক অংশে স্থানান্তরিত করতে হবে এবং মুক্ত পদ c অন্য অংশে স্থানান্তরিত করতে হবে।
2. পরবর্তী, সমতার অংশগুলি (ডান এবং বাম) সহগ a দ্বারা ভাগ করা উচিত, অর্থাৎ, হ্রাসকৃত আকারে সমীকরণটি উপস্থাপন করুন (a=1)।
3. একটি রৈখিক সমীকরণের বর্গ হিসাবে উপস্থাপন করতে a এবং b সহগ সহ পদগুলিকে যোগ করুন। যেহেতু একটি \u003d 1, তাহলে রৈখিক সহগ 1 এর সমান হবে, যেমন রৈখিক সমীকরণের মুক্ত পদের জন্য, তাহলে এটি হ্রাস করা দ্বিঘাত সমীকরণের অর্ধেক রৈখিক সহগের সমান হওয়া উচিত। রৈখিক অভিব্যক্তির বর্গটি আঁকার পরে, সমতার ডানদিকে সংশ্লিষ্ট সংখ্যাটি যোগ করা প্রয়োজন, যেখানে মুক্ত পদটি অবস্থিত, যা বর্গটি প্রসারিত করে প্রাপ্ত হয়।
4. "+" এবং "-" চিহ্ন সহ বর্গমূল নিন এবং ইতিমধ্যে প্রাপ্ত রৈখিক সমীকরণটি সমাধান করুন৷

বর্ণিত অ্যালগরিদমটি প্রথম নজরে বরং জটিল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, তবে বাস্তবে এটি ফ্যাক্টরাইজেশন পদ্ধতির চেয়ে কার্যকর করা সহজ৷

পূর্ণ বর্গ পরিপূরক ব্যবহার করে একটি সমাধানের উদাহরণ

আসুন পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে বর্ণিত পদ্ধতি দ্বারা এর সমাধান প্রশিক্ষণের জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ দেওয়া যাক। দ্বিঘাত সমীকরণ -10 - 6x+5x²=0 দেওয়া যাক। আমরা উপরে বর্ণিত অ্যালগরিদম অনুসরণ করে এটি সমাধান করতে শুরু করি।

আইটেম 1. বর্গ সমীকরণ সমাধান করার সময় আমরা স্থানান্তর পদ্ধতি ব্যবহার করি, আমরা পাই: - 6x+5x²=10.

পয়েন্ট 2. এই সমীকরণের সংক্ষিপ্ত রূপটি এর প্রতিটি সদস্যের সংখ্যা 5 দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় (যদি উভয় অংশকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ বা গুণ করা হয় তবে সমতা সংরক্ষিত হবে)। রূপান্তরের ফলস্বরূপ, আমরা পাই: x² - 6/5x=2.

আইটেম 3. সহগের অর্ধেক - 6/5 হল -6/10=-3/5, বর্গটি সম্পূর্ণ করতে এই সংখ্যাটি ব্যবহার করুন, আমরা পাই: (-3/5+x) ² আমরা এটিকে প্রসারিত করি এবং দ্বিঘাত সমীকরণের আসল রূপটি সন্তুষ্ট করার জন্য সমতার বাম দিক থেকে মুক্ত শব্দটি বিয়োগ করা উচিত, যা এটিকে ডান দিকে যোগ করার সমতুল্য। ফলস্বরূপ, আমরা পাই: (-3/5+x)²=59/25.

আইটেম 4. ধনাত্মক এবং নেতিবাচক চিহ্ন সহ বর্গমূল গণনা করুন এবং মূলগুলি খুঁজুন: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5। দুটি পাওয়া মূলের নিম্নলিখিত মান রয়েছে: x₁=(√59+3)/5 এবং x₁=(3-√59)/5.

যেহেতু সম্পাদিত গণনাগুলি শিকড়ের সাথে সম্পর্কিত, তাই ভুল হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। তাই, x₂ এবং x₁ শিকড়ের সঠিকতা পরীক্ষা করার পরামর্শ দেওয়া হয়। আমরা পাই x₁: 5((3+√59)/5)²-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0। এখন বিকল্প করুনx₂: 5((3-√59)/5)²-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.

এইভাবে, আমরা দেখিয়েছি যে সমীকরণের প্রাপ্ত মূল সত্য।

পদ্ধতি 3। সুপরিচিত সূত্রের প্রয়োগ

চতুর্ভুজ সমীকরণগুলি সমাধান করার এই পদ্ধতিটি সম্ভবত সবচেয়ে সহজ, কারণ এটি সহগগুলিকে একটি পরিচিত সূত্রে প্রতিস্থাপন করে। এটি ব্যবহার করার জন্য, আপনাকে সমাধান অ্যালগরিদম কম্পাইল করার বিষয়ে চিন্তা করতে হবে না, এটি শুধুমাত্র একটি সূত্র মনে রাখা যথেষ্ট। এটি উপরের ছবিতে দেখানো হয়েছে৷

এই সূত্রে, আমূল অভিব্যক্তিকে (b²-4ac) বলা হয় বৈষম্যকারী (D)। এর মান থেকে কি শিকড় প্রাপ্ত হয় তার উপর নির্ভর করে। ৩টি ক্ষেত্রে আছে:

• D>0, তারপর মূল দুটি সমীকরণের বাস্তব এবং ভিন্ন সমীকরণ রয়েছে।
• D=0, তারপর একটি রুট পায়, যা এক্সপ্রেশন x=-b/(a2) থেকে গণনা করা যেতে পারে।
• D<0, তাহলে আপনি দুটি ভিন্ন কাল্পনিক মূল পাবেন, যেগুলোকে জটিল সংখ্যা হিসেবে উপস্থাপন করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যা 3-5i জটিল, যখন কাল্পনিক একক i সম্পত্তিটিকে সন্তুষ্ট করে: i²=-1.

বৈষম্যকারী গণনা করে সমাধানের একটি উদাহরণ

আসুন উপরের সূত্রটি ব্যবহার করে অনুশীলন করার জন্য একটি দ্বিঘাত সমীকরণের উদাহরণ দেওয়া যাক। -3x²-6+3x+4x=0 এর জন্য মূল খুঁজুন। প্রথমে, বৈষম্যকারীর মান গণনা করুন, আমরা পাই: D=b ²-4ac=7²-4(-3)(-6)=-23.

যেহেতু D<0 প্রাপ্ত হয়েছে, এর অর্থ হল বিবেচিত সমীকরণের মূলগুলি জটিল সংখ্যা। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে প্রদত্ত সূত্রে পাওয়া মান D প্রতিস্থাপন করে তাদের খুঁজে বের করা যাক (এটি উপরের ফটোতেও দেখানো হয়েছে)। আমরা পাই: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.

পদ্ধতি 4। ফাংশন গ্রাফ ব্যবহার করে

এটিকে বর্গ সমীকরণ সমাধানের গ্রাফিক্যাল পদ্ধতিও বলা হয়। এটা বলা উচিত যে, একটি নিয়ম হিসাবে, এটি পরিমাণগত জন্য নয়, কিন্তু বিবেচনাধীন সমীকরণের গুণগত বিশ্লেষণের জন্য ব্যবহৃত হয়৷

পদ্ধতির সারমর্ম হল একটি দ্বিঘাত ফাংশন y=f(x), যা একটি প্যারাবোলা। তারপর, প্যারাবোলা x-অক্ষকে (X) কোন বিন্দুতে ছেদ করে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন, তারাই হবে সংশ্লিষ্ট সমীকরণের মূল।

একটি প্যারাবোলা X অক্ষকে ছেদ করবে কিনা তা জানার জন্য, এটির সর্বনিম্ন অবস্থান (সর্বোচ্চ) এবং এর শাখাগুলির দিক (তারা বৃদ্ধি বা হ্রাস করতে পারে) জানা যথেষ্ট। মনে রাখার জন্য এই বক্ররেখার দুটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

• যদি a>0 - শাখার প্যারাবোলাগুলি উপরের দিকে নির্দেশিত হয়, বিপরীতে, যদি a<0 হয়, তবে সেগুলি নীচে চলে যায়৷
• একটি প্যারাবোলার সর্বনিম্ন (সর্বোচ্চ) স্থানাঙ্ক সর্বদা x=-b/(2a)।

উদাহরণস্বরূপ, আপনাকে নির্ধারণ করতে হবে সমীকরণ -4x+5x²+10=0 এর মূল আছে কিনা। সংশ্লিষ্ট প্যারাবোলা উপরের দিকে নির্দেশিত হবে, যেহেতু একটি=5>0। এর এক্সট্রিমমে স্থানাঙ্ক রয়েছে: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)²+10=9, 2। যেহেতু বক্ররেখার ন্যূনতম অংশটি x-অক্ষের উপরে অবস্থিত (y=9, 2), তারপর এটি কোনোটির জন্য পরেরটিকে ছেদ করে নাx মান। অর্থাৎ, প্রদত্ত সমীকরণের কোনো প্রকৃত মূল নেই।

ভিয়েটার উপপাদ্য

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, এই উপপাদ্যটি পদ্ধতি নং 3 এর একটি ফলাফল, যা একটি বৈষম্যকারীর সাথে একটি সূত্র প্রয়োগের উপর ভিত্তি করে। ভিয়েটা উপপাদ্যের সারমর্ম হল যে এটি আপনাকে সমীকরণের সহগ এবং এর শিকড়গুলিকে সমতায় সংযুক্ত করতে দেয়। আসুন সংশ্লিষ্ট সমতাগুলি পাই৷

আসুন বৈষম্যকারীর মাধ্যমে শিকড় গণনার জন্য সূত্রটি ব্যবহার করা যাক। দুটি মূল যোগ করুন, আমরা পাই: x₁+x₂=-b/a। এখন একে অপরের দ্বারা শিকড় গুন করা যাক: x₁x₂, সরলীকরণের একটি সিরিজের পরে আমরা c/a সংখ্যাটি পাই।

এইভাবে, ভিয়েটা উপপাদ্য দ্বারা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করতে, আপনি প্রাপ্ত দুটি সমতা ব্যবহার করতে পারেন। যদি একটি সমীকরণের তিনটি সহগই জানা যায়, তাহলে এই দুটি সমীকরণের উপযুক্ত পদ্ধতির সমাধান করে মূল খুঁজে পাওয়া যাবে।

ভিয়েটার উপপাদ্য ব্যবহারের একটি উদাহরণ

আপনাকে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ লিখতে হবে যদি আপনি জানেন যে এর আকার x²+c=-bx এবং এর মূল 3 এবং -4।

যেহেতু বিবেচনাধীন সমীকরণে a=1, ভিয়েটা সূত্রগুলি এরকম দেখাবে: x₂+x₁=-b এবং x2_x1_{=পি. শিকড়ের পরিচিত মানগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: b=1 এবং c=-12। ফলস্বরূপ, পুনরুদ্ধার করা দ্বিঘাত হ্রাস সমীকরণটি এরকম দেখাবে: x}2^{-12=-1x। আপনি এতে শিকড়ের মান প্রতিস্থাপন করতে পারেন এবং নিশ্চিত করতে পারেন যে সমতা বজায় রয়েছে।}

ভিয়েটা উপপাদ্যের বিপরীত প্রয়োগ, অর্থাৎ, দ্বারা শিকড়ের গণনাসমীকরণের পরিচিত ফর্ম, ছোট পূর্ণসংখ্যা a, b এবং cকে দ্রুত (স্বজ্ঞাতভাবে) সমাধান খুঁজে পেতে অনুমতি দেয়৷