একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খুঁজে বের করার জন্য বৈশিষ্ট্য এবং পদ্ধতি

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

পৃথিবীটি এমনভাবে সাজানো হয়েছে যাতে একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজতে গিয়ে বহু সংখ্যক সমস্যার সমাধান নেমে আসে। বিভিন্ন প্যাটার্ন বর্ণনা করার জন্য সমীকরণের শিকড় গুরুত্বপূর্ণ। এটা এমনকি প্রাচীন ব্যাবিলনের জরিপকারীদের কাছেও জানা ছিল। জ্যোতির্বিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীরাও এই ধরনের সমস্যার সমাধান করতে বাধ্য হন। খ্রিস্টীয় 6 শতকে ফিরে, ভারতীয় বিজ্ঞানী আর্যভট্ট একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড় খুঁজে বের করার জন্য বুনিয়াদি তৈরি করেছিলেন। সূত্রগুলি 19 শতকে সম্পন্ন হয়েছিল৷

সাধারণ ধারণা

আমরা আপনাকে দ্বিঘাত সমতার মৌলিক নিয়মিততার সাথে পরিচিত হওয়ার জন্য আমন্ত্রণ জানাচ্ছি। সাধারণভাবে, সমতা নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:

ax2 + bx + c=0, একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল সংখ্যা এক বা দুটি সমান হতে পারে। বৈষম্যকারীর ধারণা ব্যবহার করে একটি দ্রুত বিশ্লেষণ করা যেতে পারে:

D=b2 - 4ac

গণনা করা মানের উপর নির্ভর করে, আমরা পাই:

• যখন D > 0 দুটি ভিন্ন মূল আছে। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল নির্ণয়ের জন্য সাধারণ সূত্রটি (-b± √D) / (2a) এর মত দেখাচ্ছে।
• D=0, এই ক্ষেত্রে রুটটি এক এবং x=-b / (2a) এর সাথে মিলে যায়
• D < 0, বৈষম্যকারীর একটি নেতিবাচক মানের জন্য, সমীকরণের কোন সমাধান নেই।

দ্রষ্টব্য: যদি বৈষম্যকারী নেতিবাচক হয়, তবে সমীকরণের কোনো মূল নেই শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যার অঞ্চলে। যদি বীজগণিতকে জটিল মূলের ধারণা পর্যন্ত প্রসারিত করা হয়, তাহলে সমীকরণটির একটি সমাধান আছে।

আসুন একটি কর্মের শৃঙ্খল দেওয়া যাক যা শিকড় খোঁজার সূত্র নিশ্চিত করে।

সমীকরণের সাধারণ রূপ থেকে, এটি নিম্নরূপ:

ax2 + bx=-c

আমরা ডান এবং বাম অংশকে 4a দ্বারা গুণ করি এবং b2 যোগ করি, আমরা পাই

4a^2x2 ^{+ 4abx + b}2 ^=-4ac+b 2

বাম দিকটিকে বহুপদীর বর্গক্ষেত্রে রূপান্তর করুন (2ax + b)²। আমরা 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2) সমীকরণের উভয় বাহুর বর্গমূল বের করি, b কে ডানদিকে স্থানান্তর করি, আমরা পাই:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

এখান থেকে অনুসরণ করে:

x=(-b ± √(b2 - 4ac)

কী দেখানোর প্রয়োজন ছিল।

বিশেষ কেস

কিছু ক্ষেত্রে, সমস্যার সমাধান সহজ করা যেতে পারে। সুতরাং, একটি সমান সহগ খ-এর জন্য আমরা একটি সহজ সূত্র পাই৷

k=1/2b বোঝান, তারপর দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের সাধারণ ফর্মের সূত্রটি রূপ নেয়:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

যখন D=0, আমরা পাই x=-k / a

আরেকটি বিশেষ ক্ষেত্রে হল a=1 সহ সমীকরণের সমাধান।

x² + bx + c=0 ফর্মের জন্য শিকড় হবে x=-k ± √(k^{2 - c) 0-এর বেশি বৈষম্যকারীর সাথে।ক্ষেত্রে যখন D=0, মূল একটি সহজ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হবে: x=-k.}

চার্ট ব্যবহার করুন

যেকোন ব্যক্তি, এমনকি এটি না জেনেও, ক্রমাগত শারীরিক, রাসায়নিক, জৈবিক এমনকি সামাজিক ঘটনাগুলির মুখোমুখি হয় যা একটি চতুর্মুখী ফাংশন দ্বারা ভালভাবে বর্ণনা করা হয়৷

নোট: দ্বিঘাত ফাংশনের ভিত্তিতে তৈরি বক্ররেখাকে প্যারাবোলা বলা হয়।

এখানে কিছু উদাহরণ দেওয়া হল।

1. একটি প্রক্ষিপ্তের গতিপথ গণনা করার সময়, দিগন্তের একটি কোণে নিক্ষিপ্ত একটি দেহের প্যারাবোলা বরাবর চলাচলের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়৷
2. লোড সমানভাবে বিতরণ করার জন্য একটি প্যারাবোলার বৈশিষ্ট্য স্থাপত্যে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

প্যারাবোলিক ফাংশনের গুরুত্ব বোঝার জন্য, আসুন "বৈষম্যমূলক" এবং "একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল" ধারণাগুলি ব্যবহার করে এর বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করতে গ্রাফটি কীভাবে ব্যবহার করবেন তা বের করা যাক।

a এবং b সহগ-এর মানের উপর নির্ভর করে, বক্ররেখার অবস্থানের জন্য মাত্র ছয়টি বিকল্প রয়েছে:

1. বৈষম্যকারী ইতিবাচক, a এবং b এর আলাদা লক্ষণ রয়েছে। প্যারাবোলার শাখাগুলি উপরের দিকে তাকায়, দ্বিঘাত সমীকরণের দুটি সমাধান রয়েছে৷
2. বৈষম্যকারী এবং সহগ b শূন্যের সমান, সহগ a শূন্যের চেয়ে বড়। গ্রাফটি ধনাত্মক জোনে রয়েছে, সমীকরণটির 1টি মূল রয়েছে৷
3. বৈষম্যকারী এবং সমস্ত সহগ ইতিবাচক। দ্বিঘাত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই।
4. বৈষম্য এবং সহগ a ঋণাত্মক, b শূন্যের চেয়ে বড়। গ্রাফের শাখাগুলি নীচের দিকে নির্দেশিত, সমীকরণটির দুটি মূল রয়েছে৷
5. বৈষম্যমূলক এবংসহগ b শূন্যের সমান, সহগ a ঋণাত্মক। প্যারাবোলা নিচের দিকে দেখায়, সমীকরণটির একটি মূল আছে।
6. বৈষম্যকারীর মান এবং সমস্ত সহগ ঋণাত্মক। কোন সমাধান নেই, ফাংশনের মান সম্পূর্ণভাবে নেতিবাচক জোনে রয়েছে।

দ্রষ্টব্য: বিকল্প a=0 বিবেচনা করা হয় না, যেহেতু এই ক্ষেত্রে প্যারাবোলা একটি সরল রেখায় ক্ষয়প্রাপ্ত হয়৷

উপরের সবগুলোই নিচের চিত্র দ্বারা ভালোভাবে চিত্রিত হয়েছে।

সমস্যা সমাধানের উদাহরণ

শর্ত: সাধারণ বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ তৈরি করুন যার মূল একে অপরের সমান।

সমাধান:

সমস্যার অবস্থা অনুযায়ী x₁ =x₂, বা -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a)। স্বরলিপি সরলীকরণ:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, বন্ধনী খুলুন এবং মত পদ দিন। সমীকরণটি 2√(b² - 4ac)=0 হয়ে যায়। এই বিবৃতিটি সত্য হয় যখন b² - 4ac=0, তাই b ^{2=4ac, তারপর মান b=2√(ac) সমীকরণে প্রতিস্থাপিত হয়}

ax² + 2√(ac)x + c=0, হ্রাসকৃত আকারে আমরা x^{2 + 2√(c/a)x + c=0.}

উত্তর:

0 এবং যেকোনো c এর সমান নয়, শুধুমাত্র একটি সমাধান আছে যদি b=2√(c/a) হয়।

চতুর্মাত্রিক সমীকরণগুলি, তাদের সমস্ত সরলতার জন্য, ইঞ্জিনিয়ারিং গণনার ক্ষেত্রে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। প্রায় কোনো শারীরিক প্রক্রিয়া কিছু আনুমানিক ব্যবহার করে বর্ণনা করা যেতে পারেআদেশের শক্তি ফাংশন n. দ্বিঘাত সমীকরণ হবে প্রথম এই ধরনের আনুমানিক।