কিছু গণিত সমস্যার জন্য বর্গমূল গণনা করার ক্ষমতা প্রয়োজন। এই সমস্যাগুলির মধ্যে দ্বিতীয়-ক্রম সমীকরণগুলি সমাধান করা অন্তর্ভুক্ত। এই নিবন্ধে, আমরা বর্গমূল গণনা করার জন্য একটি কার্যকর পদ্ধতি উপস্থাপন করি এবং একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলগুলির জন্য সূত্রগুলির সাথে কাজ করার সময় এটি ব্যবহার করি৷
বর্গমূল কি?
গণিতে, এই ধারণাটি √ প্রতীকের সাথে মিলে যায়। ঐতিহাসিক তথ্য বলছে যে এটি জার্মানিতে 16 শতকের প্রথমার্ধে প্রথমবারের মতো ব্যবহার করা শুরু হয়েছিল (ক্রিস্টোফ রুডলফের বীজগণিতের উপর প্রথম জার্মান কাজ)। বিজ্ঞানীরা বিশ্বাস করেন যে এই প্রতীকটি একটি রূপান্তরিত ল্যাটিন অক্ষর r (ল্যাটিনে রেডিক্স মানে "মূল")।
যেকোন সংখ্যার মূল এমন একটি মানের সমান, যার বর্গটি মূল অভিব্যক্তির সাথে মিলে যায়। গণিতের ভাষায়, এই সংজ্ঞাটি এরকম দেখাবে: √x=y যদি y2=x.
একটি ধনাত্মক সংখ্যার মূলও (x > 0)একটি ধনাত্মক সংখ্যা (y > 0), কিন্তু যদি মূলটি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা (x < 0) থেকে নেওয়া হয়, তাহলে এর ফলাফল ইতিমধ্যেই একটি জটিল সংখ্যা হবে, যার মধ্যে কাল্পনিক একক i.
এখানে দুটি সহজ উদাহরণ:
√9=3 কারণ 32 =9; √(-9)=3i কারণ i2=-1.
বর্গমূল খোঁজার জন্য হেরনের পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্র
উপরের উদাহরণগুলো খুবই সহজ, এবং সেগুলোর মূল গণনা করা কঠিন নয়। প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গ হিসাবে উপস্থাপিত করা যায় না এমন কোনও মানের জন্য মূল মানগুলি খুঁজে বের করার সময় অসুবিধাগুলি ইতিমধ্যেই দেখা দিতে শুরু করে, উদাহরণস্বরূপ √10, √11, √12, √13, বাস্তবে এটি উল্লেখ না করা অ-পূর্ণসংখ্যার জন্য শিকড় খুঁজে বের করা প্রয়োজন: উদাহরণস্বরূপ √(12, 15), √(8, 5) এবং আরও।
উপরের সমস্ত ক্ষেত্রে, বর্গমূল গণনার একটি বিশেষ পদ্ধতি ব্যবহার করা উচিত। বর্তমানে, এই জাতীয় বেশ কয়েকটি পদ্ধতি পরিচিত: উদাহরণস্বরূপ, একটি টেলর সিরিজে সম্প্রসারণ, একটি কলাম দ্বারা বিভাজন এবং কিছু অন্যান্য। সমস্ত পরিচিত পদ্ধতির মধ্যে, সম্ভবত সবচেয়ে সহজ এবং সবচেয়ে কার্যকর হেরনের পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্রের ব্যবহার, যা বর্গমূল নির্ণয় করার জন্য ব্যাবিলনীয় পদ্ধতি হিসাবেও পরিচিত (প্রাচীন ব্যাবিলনীয়রা তাদের ব্যবহারিক গণনায় এটি ব্যবহার করেছিল এমন প্রমাণ রয়েছে)।
আসুন √x এর মান নির্ণয় করা প্রয়োজন। বর্গমূল বের করার সূত্রটি নিম্নরূপ:
an+1=1/2(a+x/a), যেখানে limn->∞(a)=> x.
এই গাণিতিক স্বরলিপির পাঠোদ্ধার করুন। √x গণনা করার জন্য, আপনার কিছু সংখ্যা নেওয়া উচিত) 2 যতটা সম্ভব x এর কাছাকাছি ছিল, তারপর এটিকে নির্দিষ্ট বর্গমূল সূত্রে প্রতিস্থাপন করুন এবং একটি নতুন সংখ্যা পাবেন a1, যা ইতিমধ্যেই হবে পছন্দসই মানের কাছাকাছি হতে হবে। অভিব্যক্তিতে একটি1 প্রতিস্থাপন করতে হবে এবং একটি2 পেতে হবে যতক্ষণ না প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা পাওয়া যায়.
হেরনের পুনরাবৃত্তিমূলক সূত্র প্রয়োগের একটি উদাহরণ
প্রদত্ত সংখ্যার বর্গমূল পাওয়ার জন্য উপরে বর্ণিত অ্যালগরিদমটি অনেকের কাছে বেশ জটিল এবং বিভ্রান্তিকর শোনাতে পারে, কিন্তু বাস্তবে সবকিছুই অনেক সহজ হয়ে যায়, যেহেতু এই সূত্রটি খুব দ্রুত একত্রিত হয় (বিশেষত যদি একটি ভাগ্যবান সংখ্যা বেছে নেওয়া হয়েছে একটি0)।
আসুন একটি সহজ উদাহরণ নেওয়া যাক: আমাদের √11 গণনা করতে হবে। আমরা বেছে নিই একটি0=3, যেহেতু 32=9, যা 42 থেকে 11-এর কাছাকাছি=16. সূত্রে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
গণনা চালিয়ে যাওয়ার কোন মানে নেই, যেহেতু আমরা পেয়েছি যে a2 এবং a3 শুধুমাত্র ৫ম দশমিকে পার্থক্য করা শুরু করে স্থান এইভাবে, শুধুমাত্র 2 বার সূত্র প্রয়োগ করা যথেষ্ট ছিল√11 থেকে 0.0001 এর মধ্যে গণনা করুন।
বর্তমানে, ক্যালকুলেটর এবং কম্পিউটারগুলি মূল গণনা করার জন্য ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তবে, তাদের সঠিক মান ম্যানুয়ালি গণনা করতে সক্ষম হওয়ার জন্য চিহ্নিত সূত্র মনে রাখা দরকারী৷
সেকেন্ড অর্ডার সমীকরণ
একটি বর্গমূল কী তা বোঝা এবং দ্বিঘাত সমীকরণগুলি সমাধান করার সময় এটি গণনা করার ক্ষমতা ব্যবহার করা হয়। এই সমীকরণগুলি একটি অজানা সমতা, যার সাধারণ রূপ নীচের চিত্রে দেখানো হয়েছে৷
এখানে c, b এবং a কিছু সংখ্যা, এবং a অবশ্যই শূন্যের সমান হবে না, এবং c এবং b এর মান শূন্য সহ সম্পূর্ণ নির্বিচারে হতে পারে।
x-এর যেকোনো মান যা চিত্রে নির্দেশিত সমতা পূরণ করে তাকে এর মূল বলা হয় (এই ধারণাটিকে বর্গমূল √ এর সাথে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়)। যেহেতু বিবেচনাধীন সমীকরণটির ২য় ক্রম রয়েছে (x2), তাহলে এর মূলের জন্য দুটির বেশি সংখ্যা থাকতে পারে না। এই শিকড়গুলি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা পরে নিবন্ধে দেখা যাক৷
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূল খোঁজা (সূত্র)
বিবেচ্য ধরণের সমতা সমাধানের এই পদ্ধতিটিকে সর্বজনীন বা বৈষম্যকারীর মাধ্যমে পদ্ধতিও বলা হয়। এটি যেকোনো দ্বিঘাত সমীকরণে প্রয়োগ করা যেতে পারে। দ্বিঘাত সমীকরণের বৈষম্য এবং মূলের সূত্রটি নিম্নরূপ:
এটি দেখায় যে মূলগুলি সমীকরণের তিনটি সহগের প্রতিটির মানের উপর নির্ভর করে। তাছাড়া হিসাব তোx1 গণনা থেকে পৃথক হয় x2 শুধুমাত্র বর্গমূলের আগে চিহ্ন দ্বারা। আমূল অভিব্যক্তি, যা b2 - 4ac সমান, বিবেচিত সমতার বৈষম্য ছাড়া আর কিছুই নয়। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের শিকড়ের সূত্রে বৈষম্যকারী একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে কারণ এটি সমাধানের সংখ্যা এবং প্রকার নির্ধারণ করে। সুতরাং, যদি এটি শূন্য হয়, তবে শুধুমাত্র একটি সমাধান হবে, যদি এটি ইতিবাচক হয়, তাহলে সমীকরণটির দুটি প্রকৃত মূল রয়েছে, অবশেষে, নেতিবাচক বৈষম্যটি দুটি জটিল মূলের দিকে নিয়ে যায় x1 এবং x 2।
ভিয়েটার উপপাদ্য বা দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণের মূলের কিছু বৈশিষ্ট্য
16 শতকের শেষের দিকে, আধুনিক বীজগণিতের অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা, ফরাসী ফ্রাঁসোয়া ভিয়েত, দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ অধ্যয়নরত, এর শিকড়ের বৈশিষ্ট্যগুলি পেতে সক্ষম হন। গাণিতিকভাবে, তাদের এভাবে লেখা যেতে পারে:
x1 + x2=-b / a এবং x1 x 2=c/a.
উভয় সমতা সহজেই যে কেউ পেতে পারে, এর জন্য শুধুমাত্র বৈষম্যকারীর সাথে সূত্রের মাধ্যমে প্রাপ্ত শিকড়ের সাথে উপযুক্ত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করা প্রয়োজন।
এই দুটি অভিব্যক্তির সংমিশ্রণকে যথাযথভাবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের দ্বিতীয় সূত্র বলা যেতে পারে, যা বৈষম্যকারী ব্যবহার না করেই এর সমাধানগুলি অনুমান করা সম্ভব করে তোলে। এখানে উল্লেখ করা উচিত যে যদিও উভয় অভিব্যক্তি সর্বদা বৈধ, তবে একটি সমীকরণ সমাধানের জন্য এগুলি ব্যবহার করা সুবিধাজনক যদি এটি ফ্যাক্টর করা যায়৷
অর্জিত জ্ঞানকে একীভূত করার কাজ
আসুন একটি গাণিতিক সমস্যার সমাধান করা যাক যেখানে আমরা নিবন্ধে আলোচিত সমস্ত কৌশল প্রদর্শন করব। সমস্যার শর্তগুলি নিম্নরূপ: আপনাকে দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যার জন্য গুণফল হল -13, এবং যোগফল হল 4।
এই অবস্থা অবিলম্বে ভিয়েটার উপপাদ্যের কথা মনে করিয়ে দেয়, বর্গমূল এবং তাদের গুণফলের যোগফলের সূত্র প্রয়োগ করে, আমরা লিখি:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c/a=-13.
ধরে নিচ্ছি a=1, তারপর b=-4 এবং c=-13। এই সহগগুলি আমাদের একটি দ্বিতীয় ক্রম সমীকরণ লিখতে দেয়:
x2 - 4x - 13=0.
বৈষম্যকারীর সাথে সূত্রটি ব্যবহার করুন, আমরা নিম্নলিখিত মূলগুলি পাই:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
অর্থাৎ, টাস্কটি √68 নম্বর খোঁজার জন্য কমিয়ে দেওয়া হয়েছিল। নোট করুন যে 68=417, তারপর বর্গমূল বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে, আমরা পাই: √68=2√17.
এখন বিবেচিত বর্গমূল সূত্রটি ব্যবহার করা যাক: a0=4, তারপর:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231।
3 গণনা করার দরকার নেই কারণ পাওয়া মানগুলি শুধুমাত্র 0.02 দ্বারা পৃথক। এইভাবে, √68=8.246। এটিকে x এর সূত্রে প্রতিস্থাপন করা 1, 2, আমরা পাই:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 এবং x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পাওয়া সংখ্যার যোগফল প্রকৃতপক্ষে 4, কিন্তু আপনি যদি তাদের গুণফল খুঁজে পান, তাহলে তা -12 এর সমান হবে,999, যা 0.001 এর নির্ভুলতার সাথে সমস্যার শর্তকে সন্তুষ্ট করে।
