স্থানিক জ্যামিতি হল প্রিজমের অধ্যয়ন। তাদের গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য হল তাদের মধ্যে থাকা আয়তন, পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং উপাদান উপাদানের সংখ্যা। নিবন্ধে, আমরা একটি ষড়ভুজ প্রিজমের জন্য এই সমস্ত বৈশিষ্ট্যগুলি বিবেচনা করব৷
আমরা কোন প্রিজমের কথা বলছি?
একটি ষড়ভুজ প্রিজম একটি চিত্র যা ছয়টি বাহু এবং ছয়টি কোণ সহ দুটি বহুভুজ দ্বারা গঠিত এবং ছয়টি সমান্তরালগ্রাম চিহ্নিত ষড়ভুজগুলিকে একটি একক জ্যামিতিক গঠনে সংযুক্ত করে।
চিত্রটি এই প্রিজমের একটি উদাহরণ দেখায়।
লাল রঙে চিহ্নিত ষড়ভুজটিকে চিত্রের ভিত্তি বলা হয়। স্পষ্টতই, এর ঘাঁটির সংখ্যা দুইটির সমান এবং উভয়ই অভিন্ন। প্রিজমের হলুদ-সবুজ মুখগুলিকে এর পার্শ্ব বলা হয়। চিত্রে তারা বর্গ দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, কিন্তু সাধারণভাবে তারা সমান্তরাল হয়।
ষড়ভুজ প্রিজম বাঁকানো এবং সোজা হতে পারে। প্রথম ক্ষেত্রে, ভিত্তি এবং বাহুগুলির মধ্যে কোণগুলি সোজা নয়, দ্বিতীয় ক্ষেত্রে তারা 90o এর সমান। এছাড়াও, এই প্রিজম সঠিক এবং ভুল হতে পারে। নিয়মিত ষড়ভুজপ্রিজম সোজা হতে হবে এবং গোড়ায় একটি নিয়মিত ষড়ভুজ থাকতে হবে। চিত্রের উপরের প্রিজম এই প্রয়োজনীয়তাগুলিকে সন্তুষ্ট করে, তাই এটিকে সঠিক বলা হয়। আরও নিবন্ধে আমরা সাধারণ ক্ষেত্রে শুধুমাত্র এর বৈশিষ্ট্যগুলি অধ্যয়ন করব৷
উপাদান
যেকোন প্রিজমের জন্য এর প্রধান উপাদান হল প্রান্ত, মুখ এবং শীর্ষবিন্দু। ষড়ভুজ প্রিজম এর ব্যতিক্রম নয়। উপরের চিত্রটি আপনাকে এই উপাদানগুলির সংখ্যা গণনা করতে দেয়। সুতরাং, আমরা 8টি মুখ বা বাহু পেয়েছি (দুটি ভিত্তি এবং ছয়টি পার্শ্বীয় সমান্তরালগ্রাম), শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা 12 (প্রতিটি ভিত্তির জন্য 6 শীর্ষবিন্দু), একটি ষড়ভুজাকার প্রিজমের প্রান্তের সংখ্যা 18 (ছয়টি পার্শ্বীয় এবং ঘাঁটির জন্য 12টি).
1750-এর দশকে, লিওনহার্ড অয়লার (একজন সুইস গণিতবিদ) সমস্ত পলিহেড্রার জন্য প্রতিষ্ঠা করেছিলেন, যার মধ্যে রয়েছে প্রিজম, নির্দেশিত উপাদানগুলির সংখ্যার মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক। এই সম্পর্কটি এরকম দেখাচ্ছে:
প্রান্তের সংখ্যা=মুখের সংখ্যা + শীর্ষবিন্দুর সংখ্যা - 2.
উপরের পরিসংখ্যান এই সূত্রটি পূরণ করে।
প্রিজম তির্যক
একটি ষড়ভুজ প্রিজমের সমস্ত কর্ণকে দুই প্রকারে ভাগ করা যায়:
- যারা এর মুখের সমতলে পড়ে থাকে;
- যারা চিত্রের সম্পূর্ণ ভলিউমের অন্তর্গত।
নীচের ছবিটি এই সমস্ত তির্যক দেখায়।
এটা দেখা যায় যে D1 পার্শ্ব কর্ণ, D2 এবং D3 কর্ণ সমগ্র প্রিজম, D4 এবং D5 - বেসের কর্ণ।
বাহুর কর্ণের দৈর্ঘ্য একে অপরের সমান।সুপরিচিত পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে তাদের গণনা করা সহজ। ষড়ভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য a হোক, b পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্য। তারপর তির্যকটির দৈর্ঘ্য আছে:
D1=√(a2+ b2).
ডায়াগোনাল D4 নির্ধারণ করাও সহজ। যদি আমরা মনে করি যে একটি নিয়মিত ষড়ভুজ a ব্যাসার্ধের সাথে একটি বৃত্তে ফিট করে, তাহলে D4 হল এই বৃত্তের ব্যাস, অর্থাৎ, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি পাই:
D4=2a.
ডায়াগোনাল D5বেসগুলো খুঁজে পাওয়া কিছুটা কঠিন। এটি করার জন্য, একটি সমবাহু ত্রিভুজ ABC বিবেচনা করুন (চিত্র দেখুন)। তার জন্য AB=BC=a, ABC কোণ হল 120o। যদি আমরা এই কোণ থেকে উচ্চতা কম করি (এটি দ্বিখণ্ডক এবং মধ্যমাও হবে), তাহলে AC বেসের অর্ধেক সমান হবে:
AC/2=ABsin(60o)=a√3/2.
AC সাইড হল D5 এর কর্ণ, তাই আমরা পাই:
D5=AC=√3a.
এখন এটি একটি নিয়মিত ষড়ভুজাকার প্রিজমের কর্ণ D2এবং D3 খুঁজে বের করা বাকি। এটি করার জন্য, আপনাকে দেখতে হবে যে তারা সংশ্লিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজের কর্ণ। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, আমরা পাই:
D2=√(D42+ b2)=√(4a2+ b2);
D3=√(D52+ b2)=√(3a2+ b2)।
এইভাবে, a এবং b এর যেকোনো মানের জন্য সবচেয়ে বড় কর্ণD2।
পৃষ্ঠের এলাকা
কী ঝুঁকিতে রয়েছে তা বোঝার জন্য, সবচেয়ে সহজ উপায় হল এই প্রিজমের বিকাশ বিবেচনা করা। এটি ছবিতে দেখানো হয়েছে।
এটা দেখা যায় যে বিবেচনাধীন চিত্রের সমস্ত বাহুর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল এবং ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল আলাদাভাবে গণনা করতে হবে, তারপরে তাদের গুণ করতে হবে। প্রিজমের প্রতিটি এন-গন সংখ্যার সমান সংশ্লিষ্ট পূর্ণসংখ্যা দ্বারা, এবং ফলাফল যোগ করুন। ষড়ভুজ 2, আয়তক্ষেত্র 6.
একটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের জন্য আমরা পাই:
S1=ab.
তারপর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল হল:
S2=6ab.
একটি ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য, সবচেয়ে সহজ উপায় হল সংশ্লিষ্ট সূত্রটি ব্যবহার করা, যা দেখতে এইরকম:
S=n/4a2ctg(pi/n)।
এই রাশিতে 6 এর সমান n সংখ্যাটিকে প্রতিস্থাপন করলে আমরা একটি ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল পাই:
S6=6/4a2ctg(pi/6)=3√3/2a 2।
প্রিজমের ভিত্তির ক্ষেত্রফল পেতে এই রাশিটিকে দুই দ্বারা গুণ করতে হবে:
Sos=3√3a2.
চিত্রের মোট পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল পেতে Sos এবং S2 যোগ করা বাকি আছে:
S=Sos+ S2=3√3a2+ 6ab=3a(√3a + 2b)।
প্রিজম ভলিউম
এর জন্য সূত্রের পরেএকটি ষড়ভুজ বেসের ক্ষেত্রফল, প্রশ্নে প্রিজমে থাকা আয়তনের গণনা করা নাশপাতি শেলিংয়ের মতোই সহজ। এটি করার জন্য, আপনাকে কেবল হাড়ের ভিত্তির (ষড়ভুজ) ক্ষেত্রটিকে চিত্রের উচ্চতা দ্বারা গুণ করতে হবে, যার দৈর্ঘ্য পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের সমান। আমরা সূত্র পাই:
V=S6b=3√3/2a2b.
মনে রাখবেন যে বেস এবং উচ্চতার গুণফল তির্যক প্রিজম সহ একেবারে যেকোন প্রিজমের আয়তনের মান দেয়। যাইহোক, পরবর্তী ক্ষেত্রে, উচ্চতার গণনা জটিল, যেহেতু এটি আর পাশের পাঁজরের দৈর্ঘ্যের সমান হবে না। একটি নিয়মিত ষড়ভুজ প্রিজমের ক্ষেত্রে, এর আয়তনের মান হল দুটি ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন: বাহু a এবং b।
