গণিতে, "সেট" এর ধারণা রয়েছে, পাশাপাশি এই একই সেটগুলিকে একে অপরের সাথে তুলনা করার উদাহরণ রয়েছে। সেটের তুলনার প্রকারের নামগুলি হল নিম্নলিখিত শব্দগুলি: বিজেকশন, ইনজেকশন, সার্জেকশন। তাদের প্রতিটি নীচে আরও বিশদে বর্ণনা করা হয়েছে৷
একটি বিজেকশন হল… এটা কি?
প্রথম সেটের উপাদানগুলির একটি গ্রুপ এই ফর্মে দ্বিতীয় সেটের উপাদানগুলির দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সাথে মিলে যায়: প্রথম গোষ্ঠীর প্রতিটি উপাদান সরাসরি দ্বিতীয় গোষ্ঠীর অন্য একটি উপাদানের সাথে মিলে যায় এবং সেখানে যে কোনো বা দুটি গ্রুপের সেটের উপাদানের ঘাটতি বা গণনার কোনো পরিস্থিতি নেই।
প্রধান বৈশিষ্ট্যের প্রণয়ন:
- এক থেকে একটি উপাদান।
- মিলানোর সময় কোনো অতিরিক্ত উপাদান থাকে না এবং প্রথম সম্পত্তি সংরক্ষিত থাকে।
- সাধারণ ভিউ বজায় রেখে ম্যাপিং বিপরীত করা সম্ভব।
- একটি বিজেকশন এমন একটি ফাংশন যা ইঞ্জেকটিভ এবং সার্জেক্টিভ উভয়ই।
বৈজ্ঞানিক দৃষ্টিকোণ থেকে দ্বিখণ্ডন
দ্বিখণ্ডিত ফাংশনগুলি "ফাংশনের সেট এবং সেট" বিভাগে ঠিক আইসোমরফিজম। যাইহোক, বিজেকশনগুলি সবসময় আরও জটিল বিভাগের জন্য আইসোমরফিজম হয় না। উদাহরণস্বরূপ, একটি নির্দিষ্ট শ্রেণীর গোষ্ঠীতে, মরফিজমগুলি অবশ্যই হোমোমর্ফিজম হতে হবে, কারণ তাদের অবশ্যই গোষ্ঠীর কাঠামো সংরক্ষণ করতে হবে। অতএব, আইসোমরফিজম হ'ল গ্রুপ আইসোমরফিজম, যা দ্বিমুখী হোমোমরফিজম।
"এক থেকে এক চিঠিপত্র" ধারণাটি আংশিক ফাংশনে সাধারণীকরণ করা হয়, যেখানে সেগুলিকে আংশিক বিজেকশন বলা হয়, যদিও একটি আংশিক বিজেকশনই একটি ইনজেকশন হওয়া উচিত। এই শিথিলকরণের কারণ হল আংশিক (যথাযথ) ফাংশনটি তার ডোমেনের অংশের জন্য আর সংজ্ঞায়িত করা হয়নি। এইভাবে, এর বিপরীত ফাংশনকে সম্পূর্ণ একটিতে সীমাবদ্ধ করার কোন উপযুক্ত কারণ নেই, অর্থাৎ, এটির ডোমেনের সর্বত্র সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। একটি প্রদত্ত বেস সেটের সমস্ত আংশিক বিজেকশনের সেটকে একটি প্রতিসম বিপরীত সেমিগ্রুপ বলা হয়।
একই ধারণাকে সংজ্ঞায়িত করার আরেকটি উপায়: এটা বলার মতো যে A থেকে B পর্যন্ত সেটের আংশিক দ্বিখণ্ডন হল যে কোনো সম্পর্ক R (আংশিক ফাংশন) যে সম্পত্তির সাথে R হল একটি দ্বিজেকশন গ্রাফ f:A'→B ' যেখানে A' A এর একটি উপসেট এবং B' হল B এর একটি উপসেট।
যখন একটি আংশিক বিজেকশন একই সেটে থাকে, তখন একে কখনও কখনও এক থেকে এক আংশিক রূপান্তর বলা হয়। একটি উদাহরণ হল Möbius রূপান্তরটি জটিল সমতলে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বর্ধিত জটিল সমতলে এর সমাপ্তি নয়।
ইনজেকশন
প্রথম সেটের উপাদানগুলির একটি গ্রুপ এই ফর্মটিতে দ্বিতীয় সেটের উপাদানগুলির দ্বিতীয় গোষ্ঠীর সাথে মিলেছে: প্রথম গোষ্ঠীর প্রতিটি উপাদান দ্বিতীয়টির অন্য একটি উপাদানের সাথে মিলেছে, তবে সবগুলি নয় তাদের জোড়ায় রূপান্তরিত হয়। জোড়াবিহীন উপাদানের সংখ্যা প্রতিটি সেটে এই উপাদানগুলির সংখ্যার পার্থক্যের উপর নির্ভর করে: যদি একটি সেটে একত্রিশটি উপাদান থাকে এবং অন্যটিতে আরও সাতটি থাকে, তবে জোড়াহীন উপাদানের সংখ্যা সাতটি। সেট মধ্যে ইনজেকশন নির্দেশিত. বিজেকশন এবং ইনজেকশন একই রকম, তবে একই রকম আর কিছুই নয়।
সার্জেকশন
প্রথম সেটের উপাদানগুলির একটি গ্রুপ দ্বিতীয় সেটের উপাদানগুলির দ্বিতীয় গ্রুপের সাথে এইভাবে মিলিত হয়: উপাদানগুলির সংখ্যার মধ্যে পার্থক্য থাকলেও যে কোনও গ্রুপের প্রতিটি উপাদান একটি জোড়া তৈরি করে। এটি অনুসরণ করে যে একটি গ্রুপের একটি উপাদান অন্য গ্রুপের বিভিন্ন উপাদানের সাথে যুক্ত হতে পারে।
নাই দ্বৈত, না ইঞ্জেকটিভ, না সার্জেক্টিভ ফাংশন
এটি দ্বৈত এবং অনুমানিক ফর্মের একটি ফাংশন, তবে অবশিষ্টাংশের সাথে (আনপেয়ারড)=> ইনজেকশন। এই ধরনের একটি ফাংশনে, বিজেকশন এবং সার্জেকশনের মধ্যে স্পষ্টভাবে একটি সংযোগ রয়েছে, যেহেতু এটি সরাসরি এই দুই ধরনের সেট তুলনা অন্তর্ভুক্ত করে। সুতরাং, এই সমস্ত ধরণের ফাংশনের সামগ্রিকতা বিচ্ছিন্নভাবে তাদের মধ্যে একটি নয়।
সব ধরণের ফাংশনের ব্যাখ্যা
উদাহরণস্বরূপ, পর্যবেক্ষক নিম্নলিখিত দ্বারা মুগ্ধ হয়৷ রয়েছে তীরন্দাজ প্রতিযোগিতা। প্রতিটিঅংশগ্রহণকারীরা লক্ষ্যে আঘাত করতে চায় (কাজটি সহজ করার জন্য: ঠিক যেখানে তীর আঘাতকে বিবেচনায় নেওয়া হয় না)। মাত্র তিনজন অংশগ্রহণকারী এবং তিনটি লক্ষ্য - এটি টুর্নামেন্টের জন্য প্রথম সাইট (সাইট)। পরবর্তী বিভাগে, তীরন্দাজদের সংখ্যা সংরক্ষণ করা হয়েছে, তবে লক্ষ্যগুলির সংখ্যা পরিবর্তিত হয়েছে: দ্বিতীয়টিতে - চারটি লক্ষ্যবস্তু, পরবর্তীতে - এছাড়াও চারটি এবং চতুর্থটিতে - পাঁচটি। প্রতিটি অংশগ্রহণকারী প্রতিটি লক্ষ্যে গুলি করে৷
- টুর্নামেন্টের প্রথম ভেন্যু। প্রথম তীরন্দাজ শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। দ্বিতীয়টি শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। তৃতীয়টি অন্যদের পরে পুনরাবৃত্তি করে, এবং সমস্ত তীরন্দাজরা বিভিন্ন লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করে: যেগুলি তাদের বিপরীত। ফলস্বরূপ, 1 (প্রথম তীরন্দাজ) লক্ষ্যে আঘাত করে (a), 2 - in (b), 3 - in (c)। নিম্নলিখিত নির্ভরতা পরিলক্ষিত হয়: 1 – (a), 2 – (b), 3 – (c)। উপসংহারটি হবে রায় যে সেটের এই ধরনের তুলনা একটি দ্বিধাবিভক্ত।
- টুর্নামেন্টের দ্বিতীয় প্ল্যাটফর্ম। প্রথম তীরন্দাজ শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। দ্বিতীয়টিও শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। তৃতীয়টি সত্যই চেষ্টা করে না এবং অন্যদের পরে সবকিছু পুনরাবৃত্তি করে, তবে শর্ত একই - সমস্ত তীরন্দাজরা বিভিন্ন লক্ষ্যবস্তুতে আঘাত করে। কিন্তু, আগেই উল্লেখ করা হয়েছে, দ্বিতীয় প্ল্যাটফর্মে ইতিমধ্যে চারটি লক্ষ্য রয়েছে। নির্ভরতা: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), (d) - সেটের জোড়াহীন উপাদান। এই ক্ষেত্রে, উপসংহার হবে রায় যে এই ধরনের একটি সেট তুলনা একটি ইনজেকশন।
- টুর্নামেন্টের তৃতীয় ভেন্যু। প্রথম তীরন্দাজ শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যে আঘাত করে। দ্বিতীয়টি আবার একটি মাত্র লক্ষ্যে আঘাত করে। তৃতীয় নিজেকে একত্রিত করার সিদ্ধান্ত নেয় এবং তৃতীয় এবং চতুর্থ লক্ষ্যে আঘাত করে। ফলস্বরূপ, নির্ভরতা: 1 -(a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d)। এখানে, উপসংহারটি হবে রায় যে সেটের এই ধরনের তুলনা একটি সার্জেকশন।
- টুর্নামেন্টের চতুর্থ প্ল্যাটফর্ম। প্রথমটির সাথে, সবকিছু ইতিমধ্যেই পরিষ্কার, তিনি কেবল একটি লক্ষ্যমাত্রা আঘাত করেছেন, যেখানে শীঘ্রই ইতিমধ্যে বিরক্তিকর হিটগুলির জন্য কোনও জায়গা থাকবে না। এখন দ্বিতীয়টি এখনও সাম্প্রতিক তৃতীয়টির ভূমিকা গ্রহণ করে এবং আবার একটি মাত্র লক্ষ্যে আঘাত করে, প্রথমটির পরে পুনরাবৃত্তি করে। তৃতীয় নিজেকে নিয়ন্ত্রণ করতে থাকে এবং তৃতীয় এবং চতুর্থ লক্ষ্যবস্তুতে তার তীর প্রবর্তন করা বন্ধ করে না। পঞ্চমটি অবশ্য তখনও তার নিয়ন্ত্রণের বাইরে ছিল। সুতরাং, নির্ভরতা: 1 - (a), 2 - (b), 3 - (c), 3 - (d), (e) - লক্ষ্য সেটের জোড়াহীন উপাদান। উপসংহার: সেটের এই ধরনের তুলনা একটি সার্জেকশন নয়, একটি ইনজেকশন নয় এবং একটি বিজেকশন নয়।
এখন একটি বিজেকশন, ইনজেকশন বা সার্জেকশন তৈরি করতে সমস্যা হবে না, পাশাপাশি তাদের মধ্যে পার্থক্য খুঁজে বের করতে হবে।
