কোসাইনের ডেরিভেটিভ সাইনের ডেরিভেটিভের সাথে সাদৃশ্য দ্বারা পাওয়া যায়, প্রমাণের ভিত্তি হল ফাংশনের সীমার সংজ্ঞা। কোণের কোসাইন এবং সাইনের জন্য ত্রিকোণমিতিক হ্রাস সূত্র ব্যবহার করে আপনি অন্য একটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। একটি ফাংশনকে অন্যটির পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করুন - সাইনের পরিপ্রেক্ষিতে কোসাইন, এবং একটি জটিল যুক্তি দিয়ে সাইনকে আলাদা করুন।
সূত্র বের করার প্রথম উদাহরণটি বিবেচনা করুন (Cos(x))'
ফাংশন y=Cos(x) এর আর্গুমেন্ট x-এ একটি নগণ্যভাবে ছোট ইনক্রিমেন্ট Δx দিন। আর্গুমেন্ট х+Δх এর একটি নতুন মান দিয়ে, আমরা Cos(х+Δх) ফাংশনের একটি নতুন মান পাই। তাহলে ফাংশন ইনক্রিমেন্ট Δy হবে Cos(х+Δx)-Cos(x) এর সমান।
ফাংশন ইনক্রিমেন্টের Δх এর অনুপাত হবে: (Cos(х+Δx)-Cos(x)) /Δх। চলুন ফলিত ভগ্নাংশের লবটিতে অভিন্ন রূপান্তর করা যাক। কোণগুলির কোসাইনগুলির পার্থক্যের সূত্রটি স্মরণ করুন, ফলাফলটি হবে গুণফল -2Sin (Δx / 2) বার Sin (x + Δx / 2)। আমরা Δx-এ এই পণ্যের ভাগফলের সীমা খুঁজে পাই কারণ Δx শূন্যের দিকে থাকে। জানা গেছে, প্রথম ড(এটিকে বিস্ময়কর বলা হয়) সীমা lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) সমান 1, এবং সীমা -Sin(x+Δx/2) সমান -Sin(x) Δx হিসাবে শূন্যের দিকে ঝোঁক। ফলটি লিখুন: (Cos(x))' এর ডেরিভেটিভ সমান - Sin(x)।
কিছু লোক একই সূত্র বের করার দ্বিতীয় উপায় পছন্দ করে
এটি ত্রিকোণমিতির কোর্স থেকে জানা যায়: Cos(x) সমান Sin(0, 5 ∏-x), একইভাবে Sin(x) সমান Cos(0, 5 ∏-x)। তারপরে আমরা একটি জটিল ফাংশন পার্থক্য করি - অতিরিক্ত কোণের সাইন (কোসাইন x এর পরিবর্তে)।আমরা Cos(0, 5 ∏-x) (0, 5 ∏-x)' গুণফল পাই, কারণ সাইন এক্স এর ডেরিভেটিভ কোসাইন X এর সমান। আমরা সাইন দিয়ে কোসাইন প্রতিস্থাপনের দ্বিতীয় সূত্র Sin(x)=Cos(0.5 ∏-x) এর দিকে ফিরে যাই, (0.5 ∏-x)'=-1 বিবেচনা করে। এখন আমরা পাই -Sin(x)।
সুতরাং, কোসাইনের ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়, y=Cos(x) ফাংশনের জন্য y'=-Sin(x)।
বর্গীয় কোসাইন ডেরিভেটিভ
একটি সাধারণভাবে ব্যবহৃত উদাহরণ যেখানে কোসাইন ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। ফাংশন y=Cos2(x) কঠিন। আমরা প্রথমে সূচক 2 দিয়ে পাওয়ার ফাংশনের ডিফারেনশিয়াল খুঁজে পাই, এটি হবে 2·Cos(x), তারপর আমরা এটিকে ডেরিভেটিভ (Cos(x))' দিয়ে গুণ করি, যা -Sin(x) এর সমান। আমরা পাই y'=-2 Cos(x) Sin(x)। যখন আমরা সূত্র Sin(2x), একটি দ্বিকোণের সাইন প্রয়োগ করি, তখন আমরা চূড়ান্ত সরলীকৃত পাইউত্তর y'=-Sin(2x)
হাইপারবোলিক ফাংশন
এগুলি অনেক প্রযুক্তিগত শাখার অধ্যয়নে ব্যবহৃত হয়: গণিতে, উদাহরণস্বরূপ, তারা অখণ্ডের গণনাকে সহজতর করে, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান। এগুলি কাল্পনিক সহ ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে প্রকাশ করা হয়আর্গুমেন্ট, তাই হাইপারবোলিক কোসাইন ch(x)=Cos(i x), যেখানে i হল কাল্পনিক একক, হাইপারবোলিক সাইন sh(x)=Sin(i x)।
হাইপারবোলিক কোসাইনের ডেরিভেটিভটি বেশ সহজভাবে গণনা করা হয়।
ফাংশনটি y=(ex+e-x) বিবেচনা করুন /2, এটি এবং হাইপারবোলিক কোসাইন ch(x)। আমরা দুটি রাশির যোগফলের ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করার নিয়ম ব্যবহার করি, ডেরিভেটিভের চিহ্ন থেকে ধ্রুবক গুণনীয়ক (কনস্ট) নেওয়ার নিয়ম। দ্বিতীয় পদ 0.5 e-x একটি জটিল ফাংশন (এর ডেরিভেটিভ হল -0.5 e-x), 0.5 eх - প্রথম মেয়াদ। (ch(x)) '=((ex+e-x)/2)' লেখা যেতে পারে অন্যভাবে: (0, 5 ex+0, 5 e-x)'=0, 5 e x-0, 5 e-x, কারণ ডেরিভেটিভ (e - x)' সমান -1 গুণ e-x। ফলাফল একটি পার্থক্য, এবং এটি হাইপারবোলিক সাইন sh(x)।আউটপুট: (ch(x))'=sh(x)। ফাংশন y=ch(x3+1) এর ডেরিভেটিভ গণনা করুন।জটিল আর্গুমেন্ট y'=sh(x সহ হাইপারবোলিক কোসাইন ডিফারেন্সিয়েশন নিয়ম অনুসারে 3+1) (x 3+1), যেখানে (x3+1)'=3 x
2
+0. উত্তর: এই ফাংশনের ডেরিভেটিভ হল 3 x2
sh(x3+1).
বিবেচিত ফাংশনের ট্যাবুলার ডেরিভেটিভস y=ch(x) এবং y=Cos(x)
উদাহরণ সমাধান করার সময়, প্রস্তাবিত স্কিম অনুসারে প্রতিবার তাদের আলাদা করার দরকার নেই, অনুমান ব্যবহার করাই যথেষ্ট।
উদাহরণ। ফাংশন y=পার্থক্য করুনCos(x)+Cos2(-x)-Ch(5 x). গণনা করা সহজ (টেবুলার ডেটা ব্যবহার করুন), y'=-Sin(x) +পাপ(2 x)-5 Sh(5 x)।
