পিথাগোরাস যুক্তি দিয়েছিলেন যে সংখ্যাটি মৌলিক উপাদানগুলির সাথে বিশ্বের অন্তর্গত। প্লেটো বিশ্বাস করতেন যে সংখ্যাটি ঘটনা এবং নোমেনকে সংযুক্ত করে, অনুধাবন করতে, পরিমাপ করতে এবং সিদ্ধান্ত নিতে সাহায্য করে। পাটিগণিত এসেছে "অ্যারিথমোস" শব্দ থেকে - একটি সংখ্যা, গণিতে শুরুর সূচনা। এটি যেকোনো বস্তুকে বর্ণনা করতে পারে - একটি প্রাথমিক আপেল থেকে বিমূর্ত স্থান পর্যন্ত।
একটি উন্নয়নের কারণ হিসেবে প্রয়োজন
সমাজ গঠনের প্রাথমিক পর্যায়ে মানুষের চাহিদা গণনা রাখার প্রয়োজনেই সীমাবদ্ধ ছিল - এক বস্তা শস্য, দুই বস্তা শস্য ইত্যাদি। এর জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যাই যথেষ্ট ছিল, যার সেট হল পূর্ণসংখ্যার একটি অসীম ধনাত্মক ক্রম N.
পরে, বিজ্ঞান হিসাবে গণিতের বিকাশের সাথে সাথে Z পূর্ণসংখ্যার একটি পৃথক ক্ষেত্রের প্রয়োজন ছিল - এতে নেতিবাচক মান এবং শূন্য রয়েছে। পারিবারিক স্তরে এর উপস্থিতি এই সত্য দ্বারা উস্কে দেওয়া হয়েছিল যে প্রাথমিক অ্যাকাউন্টিংয়ে এটি কোনওভাবে ঠিক করা প্রয়োজন ছিলঋণ এবং ক্ষতি। বৈজ্ঞানিক স্তরে, নেতিবাচক সংখ্যাগুলি সহজ রৈখিক সমীকরণগুলি সমাধান করা সম্ভব করেছে। অন্যান্য জিনিসের মধ্যে, একটি তুচ্ছ স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার চিত্র এখন সম্ভব হয়েছে, যেহেতু একটি রেফারেন্স পয়েন্ট উপস্থিত হয়েছে৷
পরবর্তী ধাপে ভগ্নাংশ সংখ্যা প্রবর্তনের প্রয়োজনীয়তা ছিল, যেহেতু বিজ্ঞান স্থির থাকেনি, আরও বেশি আবিষ্কারের জন্য একটি নতুন বৃদ্ধির প্রেরণার জন্য একটি তাত্ত্বিক ভিত্তি প্রয়োজন। এইভাবে মূলদ সংখ্যার ক্ষেত্রটি উপস্থিত হয়েছিল Q.
অবশেষে, যৌক্তিকতা অনুরোধগুলি সন্তুষ্ট করা বন্ধ করে দিয়েছে, কারণ সমস্ত নতুন সিদ্ধান্তের জন্য ন্যায্যতা প্রয়োজন। বাস্তব সংখ্যা R-এর ক্ষেত্র উপস্থিত হয়েছিল, তাদের অযৌক্তিকতার কারণে নির্দিষ্ট পরিমাণের অসামঞ্জস্যতার উপর ইউক্লিডের কাজ। অর্থাৎ, প্রাচীন গ্রীক গণিতবিদরা সংখ্যাটিকে শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক হিসাবে নয়, একটি বিমূর্ত পরিমাণ হিসাবেও স্থাপন করেছিলেন, যা অতুলনীয় পরিমাণের অনুপাত দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। প্রকৃত সংখ্যার উপস্থিতির কারণে, "পাই" এবং "ই" "আলো দেখেছি" এর মতো পরিমাণগুলি, যেগুলি ছাড়া আধুনিক গণিত হতে পারে না৷
চূড়ান্ত উদ্ভাবন ছিল জটিল সংখ্যা C। এটি বেশ কয়েকটি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছে এবং পূর্বে প্রবর্তিত অনুমানগুলিকে খণ্ডন করেছে। বীজগণিতের দ্রুত বিকাশের কারণে, ফলাফলটি অনুমানযোগ্য ছিল - বাস্তব সংখ্যা থাকা, অনেক সমস্যার সমাধান করা অসম্ভব ছিল। উদাহরণস্বরূপ, জটিল সংখ্যার জন্য ধন্যবাদ, স্ট্রিং এবং বিশৃঙ্খলার তত্ত্ব উঠে এসেছে এবং হাইড্রোডাইনামিকসের সমীকরণগুলি প্রসারিত হয়েছে।
সেট তত্ত্ব। ক্যান্টর
সব সময়ে অসীমের ধারণাবিতর্ক সৃষ্টি করেছিল, যেহেতু এটি প্রমাণিত বা অপ্রমাণিত হতে পারে না। গণিতের পরিপ্রেক্ষিতে, যা কঠোরভাবে যাচাইকৃত অনুমানগুলির সাথে পরিচালিত হয়েছিল, এটি নিজেকে সবচেয়ে স্পষ্টভাবে প্রকাশ করেছিল, বিশেষ করে যেহেতু বিজ্ঞানে ধর্মতাত্ত্বিক দিকটির ওজন ছিল৷
তবে, গণিতবিদ জর্জ কান্টরের কাজের জন্য ধন্যবাদ, সময়ের সাথে সাথে সবকিছু ঠিক হয়ে যায়। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে অসীম সংখ্যক অসীম সেট রয়েছে, এবং ক্ষেত্র R হল N-এর চেয়ে বড়, যদিও তাদের উভয়েরই শেষ নেই। 19 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, তার ধারনাগুলিকে উচ্চস্বরে বাজে কথা বলা হত এবং ধ্রুপদী, অটল ক্যাননগুলির বিরুদ্ধে একটি অপরাধ, কিন্তু সময় সবকিছু তার জায়গায় রেখেছিল৷
ক্ষেত্রের মৌলিক বৈশিষ্ট্য R
বাস্তব সংখ্যার কেবলমাত্র উপসেটগুলির মতো একই বৈশিষ্ট্য নেই যা তাদের অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে, তবে তাদের উপাদানগুলির স্কেলের কারণে অন্যদের দ্বারাও সম্পূরক হয়:
- শূন্য বিদ্যমান এবং R. থেকে যেকোনো c-এর জন্য R. c + 0=c ক্ষেত্রের অন্তর্গত।
- শূন্য বিদ্যমান এবং R. c x 0=0 ক্ষেত্রের অন্তর্গত R. থেকে যেকোনো c-এর জন্য
- d ≠ 0 এর জন্য c: d সম্পর্ক বিদ্যমান এবং R. থেকে যেকোনো c, d এর জন্য বৈধ
- ক্ষেত্রটি R অর্ডার করা হয়েছে, অর্থাৎ, যদি c ≦ d, d ≦ c হয়, তাহলে c=d যেকোন c, d থেকে R.
- R ক্ষেত্রে সংযোজন কম্যুটেটিভ, যেমন c + d=d + c যেকোনো c, d থেকে R.
- R ক্ষেত্রের গুণনটি কম্যুটেটিভ, যেমন c x d=d x c যেকোনো c, d থেকে R.
- R ক্ষেত্রে সংযোজন হল সহযোগী, যেমন (c + d) + f=c + (d + f) R থেকে যে কোনো c, d, f এর জন্য।
- R ক্ষেত্রের গুণিতক হল সহযোগী, যেমন (c x d) x f=c x (d x f) R থেকে যেকোনো c, d, f এর জন্য।
- R ক্ষেত্রের প্রতিটি সংখ্যার জন্য, একটি বিপরীত আছে, যেমন c + (-c)=0, যেখানে c, -c R থেকে এসেছে।
- R ক্ষেত্র থেকে প্রতিটি সংখ্যার জন্য তার বিপরীত আছে, যেমন c x c-1 =1, যেখানে c, c-1 R. থেকে
- এককটি বিদ্যমান এবং R এর অন্তর্গত, তাই c x 1=c, R থেকে যেকোনো c এর জন্য।
- বন্টন আইনটি বৈধ, তাই c x (d + f)=c x d + c x f, R থেকে যেকোনো c, d, f এর জন্য।
- R ক্ষেত্রে, শূন্য একের সমান নয়।
- ক্ষেত্র R হল ট্রানজিটিভ: যদি c ≦ d, d ≦ f হয়, তাহলে R থেকে যেকোনো c, d, f এর জন্য c ≦ f।
- R ক্ষেত্রে, ক্রম এবং সংযোজন সম্পর্কিত: যদি c ≦ d হয়, তাহলে R থেকে যেকোনো c, d, f এর জন্য c + f ≦ d + f।
- R ক্ষেত্রে, ক্রম এবং গুণন সম্পর্কযুক্ত: যদি 0 ≦ c, 0 ≦ d, তাহলে 0 ≦ c x d যেকোনো c, d থেকে R.
- ঋণাত্মক এবং ধনাত্মক উভয় বাস্তব সংখ্যাই অবিচ্ছিন্ন, অর্থাৎ R থেকে যে কোনো c, d এর জন্য R থেকে একটি f থাকে যেমন c ≦ f ≦ d।
ক্ষেত্রে মডিউল R
বাস্তব সংখ্যা মডুলাস অন্তর্ভুক্ত।
|f| হিসেবে চিহ্নিত R. |f| থেকে যেকোনো f এর জন্য=f যদি 0 ≦ f এবং |f|=-f যদি 0 > f. যদি আমরা মডুলাসটিকে জ্যামিতিক পরিমাণ হিসাবে বিবেচনা করি, তবে এটি ভ্রমণ করা দূরত্ব - আপনি যদি শূন্য থেকে বিয়োগ বা প্লাসের দিকে এগিয়ে যান তবে তাতে কিছু যায় আসে না।
জটিল এবং বাস্তব সংখ্যা। মিল কি এবং পার্থক্য কি?
এবং বড়, জটিল এবং বাস্তব সংখ্যা এক এবং একই, তা ছাড়াকাল্পনিক একক i, যার বর্গ হল -1। R এবং C ক্ষেত্রের উপাদানগুলিকে নিম্নলিখিত সূত্র হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে:
c=d + f x i, যেখানে d, f হল R ক্ষেত্রের অন্তর্গত এবং i হল কাল্পনিক একক৷
এই ক্ষেত্রে R থেকে c পেতে, f কে সহজভাবে শূন্যের সমান সেট করা হয়, অর্থাৎ, সংখ্যার প্রকৃত অংশটুকুই অবশিষ্ট থাকে। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রের প্রকৃত সংখ্যার ক্ষেত্রের বৈশিষ্ট্যের একই সেট থাকার কারণে, f x i=0 যদি f=0.
ব্যবহারিক পার্থক্যের ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, R ক্ষেত্রে, বৈষম্যকারী নেতিবাচক হলে দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করা হয় না, যখন C ক্ষেত্রটি কাল্পনিক একক i. এর প্রবর্তনের কারণে এই ধরনের সীমাবদ্ধতা আরোপ করে না।
ফলাফল
স্বতঃসিদ্ধ এবং অনুমানগুলির "ইট" যেগুলির উপর গণিত ভিত্তি করে তা পরিবর্তিত হয় না। তথ্য বৃদ্ধি এবং নতুন তত্ত্বের প্রবর্তনের কারণে, নিম্নলিখিত "ইটগুলি" তাদের কয়েকটিতে স্থাপন করা হয়েছে, যা ভবিষ্যতে পরবর্তী পদক্ষেপের ভিত্তি হয়ে উঠতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি, বাস্তব ক্ষেত্রের R-এর একটি উপসেট হওয়া সত্ত্বেও, তাদের প্রাসঙ্গিকতা হারাবে না। তাদের উপর ভিত্তি করেই সমস্ত প্রাথমিক পাটিগণিত, যা দিয়ে পৃথিবীর মানুষের জ্ঞান শুরু হয়।
ব্যবহারিক দৃষ্টিকোণ থেকে, বাস্তব সংখ্যা একটি সরল রেখার মত দেখায়। এটিতে আপনি দিক নির্বাচন করতে পারেন, উত্স এবং পদক্ষেপ নির্ধারণ করতে পারেন। একটি সরল রেখায় একটি অসীম সংখ্যক বিন্দু থাকে, যার প্রতিটি একটি একক বাস্তব সংখ্যার সাথে মিলে যায়, তা যুক্তিযুক্ত হোক বা না হোক। বর্ণনা থেকে এটা স্পষ্ট যে আমরা এমন একটি ধারণার কথা বলছি যার উপর সাধারণভাবে গণিত এবং সাধারণভাবে গাণিতিক বিশ্লেষণ উভয়ই নির্মিত।বিশেষ।
