জ্যামিতি হল গণিতের একটি শাখা যা মহাকাশের কাঠামো এবং তাদের মধ্যে সম্পর্ক অধ্যয়ন করে। পরিবর্তে, এটি বিভাগগুলি নিয়ে গঠিত এবং তাদের মধ্যে একটি স্টেরিওমেট্রি। এটি মহাকাশে অবস্থিত ভলিউম্যাট্রিক পরিসংখ্যানগুলির বৈশিষ্ট্যগুলির অধ্যয়নের জন্য প্রদান করে: একটি ঘনক, একটি পিরামিড, একটি বল, একটি শঙ্কু, একটি সিলিন্ডার ইত্যাদি।
একটি শঙ্কু হল ইউক্লিডীয় মহাকাশের একটি দেহ যা একটি শঙ্কুযুক্ত পৃষ্ঠ এবং একটি সমতলকে আবদ্ধ করে যার উপর এর জেনারেটরের প্রান্তগুলি থাকে। এর গঠনটি এর যেকোনো পায়ের চারপাশে একটি সমকোণী ত্রিভুজের ঘূর্ণনের প্রক্রিয়ায় ঘটে, তাই এটি বিপ্লবের দেহের অন্তর্গত।
শঙ্কু উপাদান
নিম্নলিখিত শঙ্কুগুলিকে আলাদা করা হয়েছে: তির্যক (বা তির্যক) এবং সোজা। তির্যক হল তাকে যার অক্ষ তার ভিত্তির কেন্দ্রের সাথে ছেদ করে কোন সমকোণে নয়। এই কারণে, এই জাতীয় শঙ্কুর উচ্চতা অক্ষের সাথে মিলে যায় না, কারণ এটি এমন একটি অংশ যা শরীরের শীর্ষ থেকে তার সমতলে নামানো হয়।বেস 90°।
যে শঙ্কু, যার অক্ষ তার ভিত্তির সাথে লম্ব, তাকে সোজা শঙ্কু বলে। এই ধরনের জ্যামিতিক বডিতে অক্ষ এবং উচ্চতা মিলে যায় এই কারণে যে এটির শীর্ষবিন্দুটি ভিত্তি ব্যাসের কেন্দ্রের উপরে অবস্থিত।
শঙ্কুটি নিম্নলিখিত উপাদান নিয়ে গঠিত:
- যে বৃত্ত তার ভিত্তি।
- পার্শ্ব।
- বেসের সমতলে পড়ে না এমন একটি বিন্দু, যাকে শঙ্কুর শীর্ষ বলা হয়।
- সেগমেন্ট যা জ্যামিতিক বডির বেস এবং এর উপরের বৃত্তের বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে।
এই সমস্ত অংশগুলি শঙ্কুর জেনারেটিস। এগুলি জ্যামিতিক দেহের ভিত্তির দিকে ঝুঁকে থাকে এবং ডান শঙ্কুর ক্ষেত্রে তাদের অনুমানগুলি সমান হয়, কারণ শীর্ষবিন্দুটি বেস বৃত্তের বিন্দু থেকে সমান দূরত্বে থাকে। সুতরাং, আমরা উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে একটি নিয়মিত (সরাসরি) শঙ্কুতে জেনারেটরগুলি সমান, অর্থাৎ তাদের দৈর্ঘ্য একই এবং অক্ষ (বা উচ্চতা) এবং ভিত্তির সাথে একই কোণ গঠন করে।
যেহেতু বিপ্লবের একটি তির্যক (বা ঝোঁক) বডিতে শীর্ষবিন্দুটি বেস সমতলের কেন্দ্রের তুলনায় স্থানচ্যুত হয়, তাই এই ধরণের জেনারেটরগুলির দৈর্ঘ্য এবং অনুমান আলাদা থাকে, যেহেতু তাদের প্রতিটি আলাদা দূরত্বে থাকে ভিত্তি বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দু থেকে। উপরন্তু, তাদের মধ্যে কোণ এবং শঙ্কুর উচ্চতাও ভিন্ন হবে।
একটি ডান শঙ্কুতে জেনারেটরের দৈর্ঘ্য
যেমন আগে লেখা হয়েছে, বিপ্লবের একটি সরল জ্যামিতিক দেহের উচ্চতা বেসের সমতলের সাথে লম্ব। এইভাবে, বেসের জেনাট্রিক্স, উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধ শঙ্কুতে একটি সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে।
অর্থাৎ, বেসের ব্যাসার্ধ এবং উচ্চতা জেনে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে সূত্রটি ব্যবহার করে, আপনি জেনারাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য গণনা করতে পারেন, যা বেস ব্যাসার্ধের বর্গের সমষ্টির সমান হবে এবং উচ্চতা:
l2 =r2+ h2 বা l=√r 2 + h2
যেখানে আমি একটি জেনাট্রিক্স;
r – ব্যাসার্ধ;
h – উচ্চতা।
একটি তির্যক শঙ্কুতে উৎপন্ন হয়
এই সত্যের উপর ভিত্তি করে যে একটি তির্যক বা তির্যক শঙ্কুতে জেনারেটরগুলি একই দৈর্ঘ্যের নয়, অতিরিক্ত নির্মাণ এবং গণনা ছাড়া তাদের গণনা করা সম্ভব হবে না।
প্রথমে, আপনাকে উচ্চতা, অক্ষের দৈর্ঘ্য এবং বেসের ব্যাসার্ধ জানতে হবে।
এই ডেটা থাকা, আপনি পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে সূত্র ব্যবহার করে অক্ষ এবং উচ্চতার মধ্যে থাকা ব্যাসার্ধের অংশটি গণনা করতে পারেন:
r1=√k2 - h2
যেখানে r1 হল অক্ষ এবং উচ্চতার মধ্যবর্তী ব্যাসার্ধের অংশ;
k – অক্ষের দৈর্ঘ্য;
h – উচ্চতা।
অক্ষ এবং উচ্চতার (r1) মধ্যে অবস্থিত ব্যাসার্ধ (r) এবং এর অংশ যোগ করার ফলে, আপনি ডানদিকের পুরো দিকটি খুঁজে পেতে পারেন শঙ্কুর জেনারাট্রিক্স দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ, এর উচ্চতা এবং ব্যাস অংশ:
R=r + r1
যেখানে R হল ত্রিভুজের পা উচ্চতা, জেনাট্রিক্স এবং বেসের ব্যাসের অংশ দ্বারা গঠিত;
r – বেস ব্যাসার্ধ;
r1 – অক্ষ এবং উচ্চতার মধ্যবর্তী ব্যাসার্ধের অংশ।
পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে একই সূত্র ব্যবহার করে, আপনি শঙ্কুর জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য খুঁজে পেতে পারেন:
l=√h2+ R2
অথবা, আলাদাভাবে R গণনা না করে, দুটি সূত্র একত্রিত করুন:
l=√h2 + (r + r1)2.
এটি একটি সোজা বা তির্যক শঙ্কু এবং কি ধরনের ইনপুট ডেটা থাকা সত্ত্বেও, জেনারাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য খুঁজে বের করার সমস্ত পদ্ধতি সর্বদা একটি ফলাফলে নেমে আসে - পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের ব্যবহার৷
শঙ্কু বিভাগ
একটি শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগ হল একটি সমতল যা তার অক্ষ বা উচ্চতা বরাবর চলে যায়। একটি ডান শঙ্কুতে, এই জাতীয় বিভাগটি একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ, যেখানে ত্রিভুজের উচ্চতা শরীরের উচ্চতা, এর বাহুগুলি জেনারেটর এবং ভিত্তিটি বেসের ব্যাস। একটি সমবাহু জ্যামিতিক বডিতে, অক্ষীয় বিভাগটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ, কারণ এই শঙ্কুতে ভিত্তি এবং জেনারেটরগুলির ব্যাস সমান৷
একটি সরল শঙ্কুতে অক্ষীয় অংশের সমতল হল এর প্রতিসাম্যের সমতল। এর কারণ হল এর শীর্ষটি তার ভিত্তির কেন্দ্রের উপরে, অর্থাৎ অক্ষীয় অংশের সমতলটি শঙ্কুটিকে দুটি অভিন্ন অংশে বিভক্ত করে।
যেহেতু উচ্চতা এবং অক্ষ একটি বাঁকানো কঠিনের মধ্যে মেলে না, তাই অক্ষীয় বিভাগের সমতলে উচ্চতা অন্তর্ভুক্ত নাও হতে পারে। যদি এই জাতীয় শঙ্কুতে অক্ষীয় বিভাগের একটি সেট তৈরি করা সম্ভব হয়, যেহেতু এর জন্য কেবলমাত্র একটি শর্ত অবশ্যই পালন করতে হবে - এটি কেবলমাত্র অক্ষের মধ্য দিয়ে যেতে হবে, তবে সমতলের কেবলমাত্র একটি অক্ষীয় বিভাগ, যা উচ্চতার অন্তর্গত হবে এই শঙ্কুটি আঁকা যেতে পারে, কারণ অবস্থার সংখ্যা বৃদ্ধি পায়, এবং যেমনটি জানা যায়, দুটি লাইন (একসাথে) এর অন্তর্গত হতে পারেশুধুমাত্র একটি বিমান।
বিভাগ এলাকা
আগে উল্লিখিত শঙ্কুর অক্ষীয় বিভাগটি একটি ত্রিভুজ। এর উপর ভিত্তি করে, একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র ব্যবহার করে এর ক্ষেত্রফল গণনা করা যেতে পারে:
S=1/2dh বা S=1/22rh
যেখানে S হল ক্রস-বিভাগীয় এলাকা;
d – ভিত্তি ব্যাস;
r – ব্যাসার্ধ;
h – উচ্চতা।
একটি তির্যক বা তির্যক শঙ্কুতে, অক্ষ বরাবর অংশটিও একটি ত্রিভুজ, তাই এর মধ্যে ক্রস-বিভাগীয় ক্ষেত্রফল একইভাবে গণনা করা হয়।
আয়তন
যেহেতু একটি শঙ্কু ত্রিমাত্রিক স্থানের একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র, তাই আমরা এর আয়তন গণনা করতে পারি। একটি শঙ্কুর আয়তন এমন একটি সংখ্যা যা এই দেহটিকে একটি আয়তনের এককে চিহ্নিত করে, অর্থাৎ, m3। হিসাবটি এটি সোজা বা তির্যক (তির্যক) কিনা তা নির্ভর করে না, যেহেতু এই দুটি ধরণের দেহের সূত্র আলাদা নয়।
আগেই বলা হয়েছে, একটি ডান শঙ্কু তৈরি হয় এর একটি পা বরাবর একটি সমকোণী ত্রিভুজের ঘূর্ণনের কারণে। একটি আনত বা তির্যক শঙ্কু ভিন্নভাবে গঠিত হয়, যেহেতু এর উচ্চতা শরীরের ভিত্তি সমতলের কেন্দ্র থেকে দূরে সরানো হয়। যাইহোক, কাঠামোর মধ্যে এই ধরনের পার্থক্যগুলি এর আয়তন গণনা করার পদ্ধতিকে প্রভাবিত করে না।
আয়তনের গণনা
যেকোন শঙ্কুর আয়তনের সূত্রটি এইরকম দেখায়:
V=1/3πhr2
যেখানে V হল শঙ্কুর আয়তন;
h – উচ্চতা;
r – ব্যাসার্ধ;
π - ধ্রুবক সমান ৩, ১৪।
কোনটির আয়তন গণনা করার জন্য, আপনার শরীরের ভিত্তির উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধের ডেটা থাকতে হবে।
একটি শরীরের উচ্চতা গণনা করতে, আপনাকে বেসের ব্যাসার্ধ এবং এর জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য জানতে হবে। যেহেতু ব্যাসার্ধ, উচ্চতা এবং জেনাট্রিক্স একটি সমকোণী ত্রিভুজে মিলিত হয়েছে, তাই উচ্চতা গণনা করা যেতে পারে পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য থেকে সূত্র ব্যবহার করে (a2+ b2=c 2 অথবা আমাদের ক্ষেত্রে h2+ r2=l2 , যেখানে l - generatrix)। এই ক্ষেত্রে, কর্ণের বর্গ এবং অন্য পায়ের মধ্যে পার্থক্যের বর্গমূল বের করে উচ্চতা গণনা করা হবে:
a=√c2- b2
অর্থাৎ, জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্যের বর্গ এবং ভিত্তির ব্যাসার্ধের বর্গক্ষেত্রের পার্থক্য থেকে বর্গমূল বের করার পরে শঙ্কুর উচ্চতা প্রাপ্ত মানের সমান হবে:
h=√l2 - r2
এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করে উচ্চতা গণনা করে এবং এর ভিত্তির ব্যাসার্ধ জেনে আপনি শঙ্কুর আয়তন নির্ণয় করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে, generatrix একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যেহেতু এটি গণনার একটি সহায়ক উপাদান হিসাবে কাজ করে৷
একইভাবে, যদি আপনি শরীরের উচ্চতা এবং এর জেনারেট্রিক্সের দৈর্ঘ্য জানেন, তাহলে আপনি জেনারাট্রিক্সের বর্গ এবং উচ্চতার বর্গক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্যের বর্গমূল বের করে এর ভিত্তির ব্যাসার্ধ খুঁজে পেতে পারেন।:
r=√l2 - h2
তারপর, উপরের মত একই সূত্র ব্যবহার করে, শঙ্কুর আয়তন গণনা করুন।
আঁতিত শঙ্কু আয়তন
যেহেতু একটি শঙ্কুর আয়তনের সূত্রটি সমস্ত ধরণের বিপ্লবের শরীরের জন্য একই, তাই এর গণনার পার্থক্য হল উচ্চতার অনুসন্ধান৷
একটি বাঁকানো শঙ্কুর উচ্চতা খুঁজে বের করার জন্য, ইনপুট ডেটাতে অবশ্যই জেনাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য, বেসের ব্যাসার্ধ এবং কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব অন্তর্ভুক্ত করতে হবেবেস এবং এর বেসের সমতলের সাথে শরীরের উচ্চতার ছেদ। এটি জেনে, আপনি সহজেই ভিত্তি ব্যাসের সেই অংশটি গণনা করতে পারেন, যা একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভিত্তি হবে (উচ্চতা, জেনারেট্রিক্স এবং বেসের সমতল দ্বারা গঠিত)। তারপরে, আবার পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য ব্যবহার করে, শঙ্কুর উচ্চতা এবং পরবর্তীতে এর আয়তন গণনা করুন।
