ম্যাট্রিস এবং নির্ধারক আঠারো এবং উনিশ শতকে আবিষ্কৃত হয়েছিল। প্রাথমিকভাবে, তাদের বিকাশ জ্যামিতিক বস্তুর রূপান্তর এবং রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির সমাধানের সাথে সম্পর্কিত। ঐতিহাসিকভাবে, প্রাথমিকভাবে নির্ধারকের উপর জোর দেওয়া হয়েছিল। আধুনিক রৈখিক বীজগণিত প্রক্রিয়াকরণ পদ্ধতিতে, ম্যাট্রিক্সকে প্রথমে বিবেচনা করা হয়। কিছুক্ষণের জন্য এই প্রশ্নটি চিন্তা করা মূল্যবান৷
এই জ্ঞানের ক্ষেত্র থেকে উত্তর
Matrices অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য একটি তাত্ত্বিক এবং ব্যবহারিকভাবে কার্যকর উপায় প্রদান করে, যেমন:
- রৈখিক সমীকরণের সিস্টেম;
- গ্রাফ তত্ত্ব;
- লিওন্টিফের অর্থনৈতিক মডেল;
- বনবিদ্যা;
- কম্পিউটার গ্রাফিক্স এবং টমোগ্রাফি;
- জেনেটিক্স;
- ক্রিপ্টোগ্রাফি;
- বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্ক;
- ফ্র্যাক্টাল।
কঠিন পদার্থের ভারসাম্য (পদার্থবিজ্ঞানে);
আসলে, "ডামি" এর জন্য ম্যাট্রিক্স বীজগণিতের একটি সরলীকৃত সংজ্ঞা রয়েছে। এটি নিম্নরূপ প্রকাশ করা হয়: এটি জ্ঞানের একটি বৈজ্ঞানিক ক্ষেত্র যাপ্রশ্নে থাকা মানগুলি অধ্যয়ন, বিশ্লেষণ এবং সম্পূর্ণরূপে অন্বেষণ করা হয়। বীজগণিতের এই বিভাগে, অধ্যয়নের অধীনে ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন ক্রিয়াকলাপ অধ্যয়ন করা হয়৷
ম্যাট্রিক্সের সাথে কীভাবে কাজ করবেন
এই মানগুলিকে সমান হিসাবে বিবেচনা করা হয় যদি তাদের একই মাত্রা থাকে এবং একটির প্রতিটি উপাদান অন্যটির সংশ্লিষ্ট উপাদানের সমান হয়। একটি ম্যাট্রিক্সকে যেকোনো ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা সম্ভব। এই প্রদত্ত স্কেলার গুন বলা হয়. উদাহরণ: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
ইনপুট দ্বারা একই আকারের ম্যাট্রিক্স যোগ এবং বিয়োগ করা যেতে পারে এবং সামঞ্জস্যপূর্ণ আকারের মানগুলিকে গুণ করা যেতে পারে। উদাহরণ: দুটি A এবং B যোগ করুন: A=[21−10]B=[1423]। এটি সম্ভব কারণ A এবং B উভয়ই দুটি সারি এবং একই সংখ্যক কলাম সহ ম্যাট্রিস। A-এর প্রতিটি উপাদানকে B-এর সংশ্লিষ্ট উপাদানের সাথে যোগ করা প্রয়োজন: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]। বীজগণিতেও একইভাবে ম্যাট্রিক্স বিয়োগ করা হয়।
ম্যাট্রিক্স গুণন একটু ভিন্নভাবে কাজ করে। তাছাড়া, অনেক কেস এবং অপশন, সেইসাথে সমাধান হতে পারে। যদি আমরা Apq এবং Bmn ম্যাট্রিক্সকে গুণ করি, তাহলে Ap×q+Bm×n=[AB]p×n গুণফল। gth সারির এন্ট্রি এবং AB-এর hth কলাম হল g A এবং h B-এর সংশ্লিষ্ট এন্ট্রিগুলির গুণফলের যোগফল। প্রথমটিতে কলামের সংখ্যা এবং দ্বিতীয়টিতে সারির সংখ্যা থাকলেই কেবল দুটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করা সম্ভব। সমান. উদাহরণ: বিবেচিত A এবং B এর শর্ত পূরণ করুন: A=[1−130]B=[2−11214]। এটি সম্ভব কারণ প্রথম ম্যাট্রিক্সে 2টি কলাম এবং দ্বিতীয়টিতে 2টি সারি রয়েছে।AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1]।
ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য
প্রশ্নে থাকা মানগুলি ভেরিয়েবল এবং ধ্রুবকের মতো তথ্যগুলিকে সংগঠিত করে এবং সেগুলিকে সারি এবং কলামে সংরক্ষণ করে, সাধারণত C বলা হয়৷ ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি অবস্থানকে একটি উপাদান বলা হয়৷ উদাহরণ: C=[1234]। দুটি সারি এবং দুটি কলাম নিয়ে গঠিত। এলিমেন্ট 4 সারি 2 এবং কলাম 2 এ রয়েছে। আপনি সাধারণত একটি ম্যাট্রিক্সকে এর মাত্রা অনুসারে নাম দিতে পারেন, Cmk নামের একটিতে m সারি এবং k কলাম রয়েছে।
প্রসারিত ম্যাট্রিক্স
বিবেচনাগুলি অবিশ্বাস্যভাবে দরকারী জিনিস যা বিভিন্ন প্রয়োগের ক্ষেত্রে আসে। ম্যাট্রিক্সগুলি মূলত রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমের উপর ভিত্তি করে ছিল। নিম্নোক্ত বৈষম্যের কাঠামোর পরিপ্রেক্ষিতে, নিম্নলিখিত পরিপূরক ম্যাট্রিক্সকে বিবেচনায় নিতে হবে:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
সমস্ত বিয়োগ চিহ্ন সহ সহগ এবং উত্তরের মানগুলি লিখুন। যদি একটি ঋণাত্মক সংখ্যা সহ উপাদান, তাহলে এটি "1" এর সমান হবে। অর্থাৎ, (রৈখিক) সমীকরণের একটি সিস্টেম দেওয়া হলে, এটির সাথে একটি ম্যাট্রিক্স (বন্ধনীর ভিতরে সংখ্যার গ্রিড) যুক্ত করা সম্ভব। এটি এমন একটি যা শুধুমাত্র রৈখিক সিস্টেমের সহগ ধারণ করে। একে "প্রসারিত ম্যাট্রিক্স" বলা হয়। প্রতিটি সমীকরণের বাম দিক থেকে সহগ সম্বলিত গ্রিড প্রতিটি সমীকরণের ডান দিক থেকে উত্তর সহ "প্যাডেড" করা হয়েছে৷
রেকর্ড, অর্থাৎম্যাট্রিক্সের B মানগুলি মূল সিস্টেমের x-, y- এবং z মানের সাথে মিলে যায়। যদি এটি সঠিকভাবে সাজানো থাকে তবে প্রথমে এটি পরীক্ষা করে দেখুন। কখনও কখনও আপনাকে অধ্যয়ন বা অধ্যয়ন করা ম্যাট্রিক্সে স্থানধারক হিসাবে পদগুলিকে পুনরায় সাজাতে বা শূন্য সন্নিবেশ করতে হবে৷
নিম্নলিখিত সমীকরণ পদ্ধতির প্রেক্ষিতে, আমরা অবিলম্বে সংশ্লিষ্ট অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স লিখতে পারি:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
প্রথমে, সিস্টেমটিকে এইভাবে পুনর্বিন্যাস করতে ভুলবেন না:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
তাহলে সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স এভাবে লেখা সম্ভব: [11000113-1012]। একটি বর্ধিত একটি গঠন করার সময়, রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে সংশ্লিষ্ট স্থানটি খালি থাকে এমন যেকোন রেকর্ডের জন্য শূন্য ব্যবহার করা মূল্যবান৷
ম্যাট্রিক্স বীজগণিত: অপারেশনের বৈশিষ্ট্য
যদি শুধুমাত্র সহগ মান থেকে উপাদান গঠনের প্রয়োজন হয়, তাহলে বিবেচিত মানটি এরকম দেখাবে: [110011-101]। একে বলা হয় "সহগ ম্যাট্রিক্স"।
নিম্নলিখিত বর্ধিত ম্যাট্রিক্স বীজগণিতকে বিবেচনায় রেখে, এটিকে উন্নত করা এবং সংশ্লিষ্ট লিনিয়ার সিস্টেম যোগ করা প্রয়োজন। বলা হচ্ছে, এটা মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে তাদের ভেরিয়েবলগুলিকে সু-সজ্জিত এবং ঝরঝরে করতে হবে। এবং সাধারণত যখন তিনটি ভেরিয়েবল থাকে, সেই ক্রমে x, y এবং z ব্যবহার করুন। অতএব, সংশ্লিষ্ট রৈখিক সিস্টেমটি হওয়া উচিত:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
ম্যাট্রিক্স আকার
প্রশ্ন করা আইটেমগুলি প্রায়শই তাদের কর্মক্ষমতা দ্বারা উল্লেখ করা হয়। বীজগণিত একটি ম্যাট্রিক্সের আকার হিসাবে দেওয়া হয়পরিমাপ, যেহেতু ঘরটিকে ভিন্নভাবে বলা যেতে পারে। মানগুলির পরিমাপ করা পরিমাপ হল সারি এবং কলাম, প্রস্থ এবং দৈর্ঘ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাট্রিক্স A:
[1234]
[2345]
[৩৪৫৬]।
যেহেতু A-তে তিনটি সারি এবং চারটি কলাম রয়েছে, তাই A-এর আকার হল 3 × 4।
→
↓
রেখাগুলো পাশ দিয়ে যায়। কলামগুলি উপরে এবং নীচে যায়। "সারি" এবং "কলাম" স্পেসিফিকেশন এবং বিনিময়যোগ্য নয়। ম্যাট্রিক্স মাপ সবসময় সারি সংখ্যা এবং তারপর কলাম সংখ্যা সঙ্গে নির্দিষ্ট করা হয়. এই কনভেনশন অনুসরণ করে, নিম্নলিখিত বি:
[123]
[234] হল 2 × 3। যদি একটি ম্যাট্রিক্সে কলামের সমান সংখ্যক সারি থাকে, তাহলে তাকে "বর্গ" বলা হয়। উদাহরণস্বরূপ, উপরের থেকে সহগ মান:
[110]
[011]
[-101] একটি 3×3 বর্গ ম্যাট্রিক্স।
ম্যাট্রিক্স স্বরলিপি এবং বিন্যাস
ফরম্যাটিং নোট: উদাহরণস্বরূপ, যখন আপনাকে একটি ম্যাট্রিক্স লিখতে হবে, তখন বন্ধনী ব্যবহার করা গুরুত্বপূর্ণ। পরম মান বার || ব্যবহার করা হয় না কারণ এই প্রসঙ্গে তাদের একটি ভিন্ন দিক রয়েছে৷ বন্ধনী বা কোঁকড়া ধনুর্বন্ধনী {} কখনই ব্যবহার করা হয় না। অথবা অন্য কিছু গ্রুপিং চিহ্ন, অথবা কোনোটিই নয়, কারণ এই উপস্থাপনার কোনো অর্থ নেই। বীজগণিতে, একটি ম্যাট্রিক্স সর্বদা বর্গাকার বন্ধনীর ভিতরে থাকে। শুধুমাত্র সঠিক স্বরলিপি ব্যবহার করতে হবে, নতুবা প্রতিক্রিয়াগুলি বিকৃত বলে বিবেচিত হতে পারে৷
আগেই উল্লিখিত হিসাবে, একটি ম্যাট্রিক্সে থাকা মানগুলিকে রেকর্ড বলা হয়। যাই হোক না কেন, প্রশ্নে থাকা উপাদানগুলি সাধারণত লেখা হয়বড় হাতের অক্ষর, যেমন A বা B, এবং এন্ট্রিগুলি সংশ্লিষ্ট ছোট হাতের অক্ষর ব্যবহার করে নির্দিষ্ট করা হয়, কিন্তু সাবস্ক্রিপ্ট সহ। ম্যাট্রিক্স A-তে, মানগুলিকে সাধারণত "ai, j" বলা হয়, যেখানে i হল A-এর সারি এবং j হল A-এর কলাম। উদাহরণস্বরূপ, a3, 2=8। a1, 3-এর এন্ট্রি হল 3।
ছোট ম্যাট্রিক্সের জন্য, যেগুলিতে দশটির কম সারি এবং কলাম রয়েছে, সাবস্ক্রিপ্ট কমা কখনও কখনও বাদ দেওয়া হয়। উদাহরণস্বরূপ, "a1, 3=3" কে "a13=3" হিসাবে লেখা যেতে পারে। স্পষ্টতই এটি বড় ম্যাট্রিক্সের জন্য কাজ করবে না কারণ a213 অস্পষ্ট হবে৷
ম্যাট্রিক্স প্রকার
কখনও কখনও তাদের রেকর্ড কনফিগারেশন অনুযায়ী শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপ, এই ধরনের ম্যাট্রিক্স যেখানে তির্যক উপরের-বাম-নীচ-ডান "কর্ণ" এর নীচে সমস্ত শূন্য এন্ট্রি রয়েছে তাকে উপরের ত্রিভুজাকার বলা হয়। অন্যান্য জিনিসগুলির মধ্যে, অন্যান্য ধরণের এবং প্রকারগুলি থাকতে পারে তবে তারা খুব দরকারী নয়। সাধারণত, বেশিরভাগই উপরের ত্রিভুজাকার হিসাবে অনুভূত হয়। শুধুমাত্র অনুভূমিকভাবে অ-শূন্য সূচকযুক্ত মানগুলিকে তির্যক মান বলে। অনুরূপ প্রকারের নন-জিরো এন্ট্রি রয়েছে যার মধ্যে সবগুলিই 1, এই ধরনের উত্তরগুলিকে অভিন্ন বলা হয় (কারণগুলি যখন প্রশ্নে থাকা মানগুলিকে কীভাবে গুণ করা যায় তা শেখা এবং বোঝা যায় তখন স্পষ্ট হয়ে যাবে)। অনেক অনুরূপ গবেষণা সূচক আছে. 3 × 3 পরিচয়টি I3 দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। একইভাবে, 4 × 4 পরিচয় হল I4।
ম্যাট্রিক্স বীজগণিত এবং রৈখিক স্থান
মনে রাখবেন যে ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সগুলি বর্গক্ষেত্র। কিন্তু কর্ণগুলো ত্রিভুজাকার। এর পরিপ্রেক্ষিতে তারা ডবর্গক্ষেত্র এবং পরিচয়গুলি তির্যক হিসাবে বিবেচিত হয় এবং তাই, ত্রিভুজাকার এবং বর্গক্ষেত্র। যখন একটি ম্যাট্রিক্স বর্ণনা করার প্রয়োজন হয়, তখন একজন সাধারণত নিজের সবচেয়ে সুনির্দিষ্ট শ্রেণীবিভাগ নির্দিষ্ট করে, যেহেতু এটি অন্য সকলকে বোঝায়। নিম্নলিখিত গবেষণা বিকল্পগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করুন:3 × 4 হিসাবে। এই ক্ষেত্রে, তারা বর্গক্ষেত্র নয়। অতএব, মান অন্য কিছু হতে পারে না। নিম্নলিখিত শ্রেণীবিভাগ:3 × 3 হিসাবে সম্ভব। তবে এটি একটি বর্গ হিসাবে বিবেচিত হয় এবং এটিতে বিশেষ কিছু নেই। নিম্নলিখিত তথ্যের শ্রেণীবিভাগ:3 × 3 উপরের ত্রিভুজাকার হিসাবে, কিন্তু এটি তির্যক নয়। সত্য, বিবেচনাধীন মানগুলিতে অবস্থিত এবং নির্দেশিত স্থানের উপরে বা উপরে অতিরিক্ত শূন্য থাকতে পারে। অধ্যয়নের অধীনে শ্রেণীবিভাগ আরও হল: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], যেখানে এটি একটি তির্যক হিসাবে উপস্থাপিত হয় এবং তদ্ব্যতীত, এন্ট্রিগুলি সমস্ত 1। তারপর এটি একটি 3 × 3 পরিচয়, I3.
যেহেতু সাদৃশ্য ম্যাট্রিক্সগুলি সংজ্ঞা বর্গাকার দ্বারা হয়, তাই তাদের মাত্রাগুলি খুঁজে পেতে আপনাকে শুধুমাত্র একটি একক সূচক ব্যবহার করতে হবে৷ দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার জন্য, তাদের অবশ্যই একই প্যারামিটার থাকতে হবে এবং একই জায়গায় একই এন্ট্রি থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন দুটি উপাদান বিবেচনাধীন রয়েছে: A=[1 3 0] [-2 0 0] এবং B=[1 3] [-2 0]। এই মানগুলি একই হতে পারে না কারণ সেগুলি আকারে আলাদা৷
এমনকি যদি A এবং B হয়: A=[3 6] [2 5] [1 4] এবং B=[1 2 3] [4 5 6] - তারা এখনও একই নয় একই জিনিস. A এবং B প্রত্যেকের আছেছয়টি এন্ট্রি এবং একই নম্বর রয়েছে, তবে এটি ম্যাট্রিক্সের জন্য যথেষ্ট নয়। A হল 3×2। এবং B হল 2×3 ম্যাট্রিক্স। 3×2-এর জন্য A 2×3 নয়। A এবং B-এর কাছে একই পরিমাণ ডেটা বা রেকর্ডের মতো একই সংখ্যা থাকলে সেটা কোন ব্যাপার না। যদি A এবং B একই আকার এবং আকৃতি না হয়, কিন্তু একই জায়গায় অভিন্ন মান থাকে, তাহলে তারা সমান নয়।
বিবেচনাধীন এলাকায় অনুরূপ অপারেশন
ম্যাট্রিক্স সমতার এই বৈশিষ্ট্যটি স্বাধীন গবেষণার কাজে পরিণত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ম্যাট্রিস দেওয়া হয়েছে, এবং এটি নির্দেশ করা হয়েছে যে তারা সমান। এই ক্ষেত্রে, ভেরিয়েবলের মানগুলি অন্বেষণ করতে এবং উত্তর পেতে আপনাকে এই সমতা ব্যবহার করতে হবে৷
বীজগণিতের ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ এবং সমাধানগুলি বৈচিত্র্যময় হতে পারে, বিশেষ করে যখন এটি সমতার ক্ষেত্রে আসে। প্রদত্ত যে নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্সগুলি বিবেচনা করা হয়, x এবং y মানগুলি খুঁজে বের করা প্রয়োজন৷ A এবং B সমান হওয়ার জন্য, তাদের অবশ্যই একই আকার এবং আকৃতি হতে হবে। প্রকৃতপক্ষে, তারা এমন, কারণ তাদের প্রতিটি 2 × 2 ম্যাট্রিস। এবং তাদের একই জায়গায় একই মান থাকা উচিত। তারপর a1, 1 অবশ্যই b1 এর সমান হবে, 1, a1, 2 অবশ্যই b1, 2 এর সমান হবে। তাদের)। কিন্তু, a1, 1=1 স্পষ্টতই b1, 1=x এর সমান নয়। A-এর সাথে B এর সাদৃশ্য হওয়ার জন্য, এন্ট্রিতে অবশ্যই a1, 1=b1, 1 থাকতে হবে, তাই এটি 1=x হতে সক্ষম। একইভাবে, সূচক a2, 2=b2, 2, তাই 4=y। তারপর সমাধান হল: x=1, y=4. নিচে দেওয়া হলম্যাট্রিক্স সমান, আপনাকে x, y এবং z এর মান খুঁজে বের করতে হবে। A=B থাকার জন্য, সহগগুলির সমস্ত এন্ট্রি সমান থাকতে হবে। অর্থাৎ, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 ইত্যাদি। বিশেষ করে, অবশ্যই:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
যেমন আপনি নির্বাচিত ম্যাট্রিক্স থেকে দেখতে পাচ্ছেন: 1, 1-, 2, 2- এবং 3, 1-উপাদান সহ। এই তিনটি সমীকরণ সমাধান করে, আমরা উত্তর পাই: x=4, y=-6 এবং z=9। ম্যাট্রিক্স বীজগণিত এবং ম্যাট্রিক্স ক্রিয়াকলাপগুলি প্রত্যেকে যা ব্যবহার করে তার থেকে আলাদা, তবে সেগুলি পুনরুত্পাদনযোগ্য নয়৷
এই এলাকায় অতিরিক্ত তথ্য
লিনিয়ার ম্যাট্রিক্স বীজগণিত হল সমীকরণের অনুরূপ সেট এবং তাদের রূপান্তর বৈশিষ্ট্যের অধ্যয়ন। জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি আপনাকে মহাকাশে ঘূর্ণন বিশ্লেষণ করতে, আনুমানিক সর্বনিম্ন বর্গক্ষেত্র, সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করতে, তিনটি প্রদত্ত বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাওয়া একটি বৃত্ত নির্ধারণ করতে এবং গণিত, পদার্থবিদ্যা এবং প্রযুক্তির অন্যান্য অনেক সমস্যার সমাধান করতে দেয়। একটি ম্যাট্রিক্সের রৈখিক বীজগণিত প্রকৃতপক্ষে ব্যবহৃত শব্দের প্রযুক্তিগত অর্থ নয়, অর্থাৎ, f ক্ষেত্রের উপর একটি ভেক্টর স্থান v, ইত্যাদি।
ম্যাট্রিক্স এবং নির্ধারক অত্যন্ত দরকারী রৈখিক বীজগণিত সরঞ্জাম। কেন্দ্রীয় কাজগুলির মধ্যে একটি হল ম্যাট্রিক্স সমীকরণ Ax=b, x এর জন্য সমাধান করা। যদিও এটি তাত্ত্বিকভাবে বিপরীত x=A-1 b ব্যবহার করে সমাধান করা যেতে পারে। অন্যান্য পদ্ধতি, যেমন গাউসিয়ান নির্মূল, সংখ্যাগতভাবে আরো নির্ভরযোগ্য।
সমীকরণের রৈখিক সেটের অধ্যয়ন বর্ণনা করতে ব্যবহৃত হওয়ার পাশাপাশি, নির্দিষ্টউপরের শব্দটি একটি নির্দিষ্ট ধরণের বীজগণিত বর্ণনা করতেও ব্যবহৃত হয়। বিশেষ করে, একটি ক্ষেত্রের উপর L-এ বন্টনমূলক আইন সহ অভ্যন্তরীণ যোগ এবং গুণনের জন্য সমস্ত সাধারণ স্বতঃসিদ্ধ সহ একটি বলয়ের গঠন রয়েছে। অতএব, এটি একটি রিং তুলনায় আরো গঠন দেয়. রৈখিক ম্যাট্রিক্স বীজগণিতও স্কেলার দ্বারা গুণনের একটি বাইরের ক্রিয়াকলাপ স্বীকার করে যা অন্তর্নিহিত ক্ষেত্রের F এর উপাদান। উদাহরণস্বরূপ, একটি ভেক্টর স্পেস V থেকে একটি ক্ষেত্র F এর উপর দিয়ে সমস্ত বিবেচিত রূপান্তরের সেট F এর উপরে গঠিত হয়। লিনিয়ারের আরেকটি উদাহরণ বীজগণিত হল একটি ক্ষেত্রে R বাস্তব সংখ্যার উপর সমস্ত বাস্তব বর্গ ম্যাট্রিক্সের সেট।
