সম্ভাব্যতার তত্ত্ব অধ্যয়ন শুরু হয় সম্ভাবনার যোগ ও গুণনের সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে। এটা অবিলম্বে উল্লেখ করা উচিত যে জ্ঞানের এই ক্ষেত্রটি আয়ত্ত করার সময়, একজন শিক্ষার্থী একটি সমস্যার সম্মুখীন হতে পারে: যদি শারীরিক বা রাসায়নিক প্রক্রিয়াগুলি দৃশ্যমানভাবে উপস্থাপন করা যায় এবং অভিজ্ঞতাগতভাবে বোঝা যায়, তাহলে গাণিতিক বিমূর্ততার স্তরটি খুব বেশি, এবং এখানে বোঝা কেবলমাত্র অভিজ্ঞতা।
তবে, গেমটি মোমবাতির মূল্যবান, কারণ সূত্রগুলি - উভয়ই এই নিবন্ধে বিবেচনা করা হয়েছে এবং আরও জটিলগুলি - আজ সর্বত্র ব্যবহৃত হয় এবং কাজে ভাল হতে পারে৷
উৎস
অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, গণিতের এই বিভাগের বিকাশের প্রেরণা ছিল… জুয়া খেলা। প্রকৃতপক্ষে, ডাইস, কয়েন টস, পোকার, রুলেট হল সাধারণ উদাহরণ যা সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণ ব্যবহার করে। যেকোনো পাঠ্যপুস্তকের কাজের উদাহরণে এটি স্পষ্টভাবে দেখা যায়। লোকেরা কীভাবে তাদের জেতার সম্ভাবনা বাড়ানো যায় তা শিখতে আগ্রহী ছিল এবং আমি অবশ্যই বলব, কেউ কেউ এতে সফল হয়েছেন।
উদাহরণস্বরূপ, ইতিমধ্যে 21 শতকে, একজন ব্যক্তি, যার নাম আমরা প্রকাশ করব না,কয়েক শতাব্দী ধরে জমে থাকা এই জ্ঞানটি ক্যাসিনোটিকে আক্ষরিক অর্থে "পরিষ্কার" করতে ব্যবহার করেছে, রুলেটে কয়েক মিলিয়ন ডলার জিতেছে।
তবে, বিষয়ের প্রতি আগ্রহ বাড়লেও, 20 শতকের আগে একটি তাত্ত্বিক কাঠামো তৈরি করা হয়নি যা "থিওরভার" কে গণিতের একটি পূর্ণাঙ্গ উপাদান করে তুলেছিল। আজ, প্রায় যেকোনো বিজ্ঞানে, আপনি সম্ভাব্য পদ্ধতি ব্যবহার করে গণনা খুঁজে পেতে পারেন।
প্রযোজ্যতা
সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণনের সূত্র ব্যবহার করার সময় একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা হল কেন্দ্রীয় সীমা উপপাদ্যের সন্তুষ্টি। অন্যথায়, যদিও এটি শিক্ষার্থীর দ্বারা উপলব্ধি নাও হতে পারে, তবে সমস্ত গণনা, তা যতই যুক্তিযুক্ত মনে হোক না কেন, ভুল হবে৷
হ্যাঁ, অত্যন্ত অনুপ্রাণিত শিক্ষার্থী প্রতিটি সুযোগে নতুন জ্ঞান ব্যবহার করতে প্রলুব্ধ হয়। তবে এই ক্ষেত্রে, একজনকে কিছুটা ধীর করা উচিত এবং প্রযোজ্যতার সুযোগকে কঠোরভাবে রূপরেখা করা উচিত।
সম্ভাব্যতা তত্ত্ব এলোমেলো ঘটনা নিয়ে কাজ করে, যা অভিজ্ঞতামূলক পরিভাষায় পরীক্ষার ফলাফল: আমরা একটি ছয়-পার্শ্বযুক্ত ডাই রোল করতে পারি, একটি ডেক থেকে একটি কার্ড আঁকতে পারি, একটি ব্যাচের ত্রুটিপূর্ণ অংশের সংখ্যার পূর্বাভাস দিতে পারি। যাইহোক, কিছু প্রশ্নে গণিতের এই বিভাগ থেকে সূত্রগুলি ব্যবহার করা স্পষ্টভাবে অসম্ভব। আমরা নিবন্ধের শেষে একটি ঘটনার সম্ভাব্যতা, ঘটনার সংযোজন এবং গুণনের উপপাদ্যগুলি বিবেচনা করার বৈশিষ্ট্যগুলি নিয়ে আলোচনা করব, তবে আপাতত উদাহরণগুলিতে আসা যাক৷
মৌলিক ধারণা
একটি এলোমেলো ঘটনা মানে এমন কিছু প্রক্রিয়া বা ফলাফল যা প্রদর্শিত হতে পারে বা নাও হতে পারেপরীক্ষার ফলে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি স্যান্ডউইচ টস - এটি মাখন উপরে বা মাখন নিচে পড়তে পারে। দুটি ফলাফলের যে কোনো একটি এলোমেলো হবে, এবং আমরা আগে থেকে জানি না তাদের মধ্যে কোনটি হবে৷
যখন যোগ এবং সম্ভাবনার গুণন অধ্যয়ন করা হয়, তখন আমাদের আরও দুটি ধারণার প্রয়োজন হয়৷
যৌথ ঘটনা হল সেই ঘটনা, যার একটির ঘটনা অন্যটির ঘটনাকে বাদ দেয় না। ধরা যাক একই সময়ে দুটি লোক একটি লক্ষ্যবস্তুতে গুলি চালায়। যদি তাদের মধ্যে একজন সফল শট চালায়, তবে এটি অন্যের আঘাত বা মিস করার ক্ষমতাকে প্রভাবিত করবে না।
অসংলগ্ন এমন ঘটনা হবে, যার সংঘটন একই সাথে অসম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, বক্স থেকে শুধুমাত্র একটি বল টেনে বের করে, আপনি একবারে নীল এবং লাল উভয়ই পেতে পারবেন না।
পদবী
সম্ভাব্যতার ধারণাটি ল্যাটিন বড় অক্ষর P দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। পরবর্তী বন্ধনীতে কিছু ঘটনাকে নির্দেশ করে আর্গুমেন্ট।
সংযোজন উপপাদ্য, শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা, গুণিতক উপপাদ্যের সূত্রগুলিতে, আপনি বন্ধনীতে অভিব্যক্তি দেখতে পাবেন, উদাহরণস্বরূপ: A+B, AB বা A|B। তাদের বিভিন্ন উপায়ে গণনা করা হবে, আমরা এখন তাদের দিকে ফিরে যাব।
সংযোজন
আসুন এমন ক্ষেত্রে বিবেচনা করা যাক যেখানে যোগ এবং গুণের সূত্র ব্যবহার করা হয়।
বেমানান ঘটনাগুলির জন্য, সহজতম সংযোজন সূত্রটি প্রাসঙ্গিক: এলোমেলো ফলাফলগুলির সম্ভাব্যতা এই প্রতিটি ফলাফলের সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান হবে৷
ধরুন 2টি নীল, 3টি লাল এবং 5টি হলুদ বেলুন সহ একটি বাক্স রয়েছে৷ বাক্সে মোট 10 টি আইটেম আছে। আমরা যে একটি নীল বা লাল বল আঁকব সেই বক্তব্যের সত্যতার শতকরা কত ভাগ? এটি 2/10 + 3/10 এর সমান হবে, অর্থাৎ পঞ্চাশ শতাংশ।
অসঙ্গত ঘটনাগুলির ক্ষেত্রে, সূত্রটি আরও জটিল হয়ে ওঠে, যেহেতু একটি অতিরিক্ত শব্দ যোগ করা হয়। আমরা আরও একটি সূত্র বিবেচনা করার পরে একটি অনুচ্ছেদে এটিতে ফিরে আসব।
গুণ
স্বতন্ত্র ইভেন্টের সম্ভাব্যতার সংযোজন এবং গুণন বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়। যদি, পরীক্ষার শর্ত অনুসারে, আমরা দুটি সম্ভাব্য ফলাফলের যে কোনো একটিতে সন্তুষ্ট হই, আমরা যোগফল গণনা করব; আমরা যদি একের পর এক দুটি নির্দিষ্ট ফলাফল পেতে চাই, তাহলে আমরা একটি ভিন্ন সূত্র ব্যবহার করব।
পূর্ববর্তী বিভাগ থেকে উদাহরণে ফিরে, আমরা প্রথমে নীল বল এবং তারপর লালটি আঁকতে চাই। প্রথম সংখ্যাটি আমরা জানি 2/10। এরপরে কি হবে? 9 বল বাকি আছে, এখনও একই সংখ্যক লাল আছে - তিন টুকরা। হিসাব অনুযায়ী, আপনি 3/9 বা 1/3 পাবেন। কিন্তু এখন দুই নম্বর দিয়ে কী করবেন? সঠিক উত্তর হল 2/30 পেতে গুণ করতে হবে।
যৌথ ইভেন্ট
এখন আমরা যৌথ ইভেন্টের যোগফলের সূত্রটি আবার দেখতে পারি। কেন আমরা বিষয় থেকে দূরে সরে যাচ্ছি? সম্ভাব্যতা গুন কিভাবে শিখতে. এখন এই জ্ঞান কাজে আসবে।
আমরা ইতিমধ্যেই জানি যে প্রথম দুটি পদ কী হবে (আগে বিবেচনা করা সংযোজন সূত্রের মতো), এখন আমাদের বিয়োগ করতে হবেসম্ভাব্যতার গুণফল যা আমরা এইমাত্র গণনা করতে শিখেছি। স্পষ্টতার জন্য, আমরা সূত্রটি লিখি: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB)। দেখা যাচ্ছে যে সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণ উভয়ই একটি অভিব্যক্তিতে ব্যবহৃত হয়।
আসুন আমরা বলি ক্রেডিট পেতে দুটি সমস্যার যেকোনো একটি সমাধান করতে হবে। আমরা 0.3 সম্ভাব্যতার সাথে প্রথমটি সমাধান করতে পারি এবং দ্বিতীয়টি - 0.6। সমাধান: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72। মনে রাখবেন যে এখানে কেবল সংখ্যাগুলি যোগ করা যথেষ্ট হবে না।
শর্তগত সম্ভাবনা
অবশেষে, শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতার ধারণা রয়েছে, যার আর্গুমেন্টগুলি বন্ধনীতে নির্দেশিত এবং একটি উল্লম্ব দণ্ড দ্বারা পৃথক করা হয়েছে। এন্ট্রি পি(এ
আসুন একটি উদাহরণ দেখি: একজন বন্ধু আপনাকে কিছু ডিভাইস দেয়, এটি একটি ফোন হতে দিন। এটি ভাঙ্গা (20%) বা ভাল (80%) হতে পারে। আপনি 0.4 এর সম্ভাব্যতা সহ আপনার হাতে পড়ে যে কোনও ডিভাইস মেরামত করতে সক্ষম হন বা আপনি এটি করতে সক্ষম নন (0.6)। অবশেষে, যদি ডিভাইসটি কার্যকরী ক্রমে থাকে, তাহলে আপনি 0.7 এর সম্ভাবনা সহ সঠিক ব্যক্তির কাছে পৌঁছাতে পারেন।
এই ক্ষেত্রে শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতা কীভাবে কাজ করে তা দেখা সহজ: ফোনটি ভেঙে গেলে আপনি কোনও ব্যক্তির কাছে যেতে পারবেন না এবং যদি এটি ভাল হয় তবে আপনাকে এটি ঠিক করার দরকার নেই। সুতরাং, "দ্বিতীয় স্তরে" কোনো ফলাফল পেতে, আপনাকে জানতে হবে প্রথমটিতে কোন ইভেন্টটি সম্পাদিত হয়েছিল।
গণনা
আসুন আগের অনুচ্ছেদের ডেটা ব্যবহার করে সম্ভাব্যতার যোগ ও গুণনের সমস্যা সমাধানের উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।
প্রথম, আসুন আপনার সম্ভাব্যতা খুঁজে বের করা যাকআপনাকে দেওয়া ডিভাইসটি মেরামত করুন। এটি করার জন্য, প্রথমত, এটি অবশ্যই ত্রুটিপূর্ণ হতে হবে এবং দ্বিতীয়ত, আপনাকে অবশ্যই মেরামতের সাথে মানিয়ে নিতে হবে। এটি একটি সাধারণ গুণগত সমস্যা: আমরা 0.20.4=0.08 পাই।
আপনি অবিলম্বে সঠিক ব্যক্তির কাছে পৌঁছানোর সম্ভাবনা কত? সাধারণের চেয়ে সহজ: 0.80.7=0.56। এই ক্ষেত্রে, আপনি দেখেছেন যে ফোনটি কাজ করছে এবং সফলভাবে একটি কল করেছে।
অবশেষে, এই দৃশ্যটি বিবেচনা করুন: আপনি একটি ভাঙা ফোন পেয়েছেন, এটি ঠিক করেছেন, তারপর নম্বরটি ডায়াল করেছেন এবং বিপরীত প্রান্তে থাকা ব্যক্তি ফোনটির উত্তর দিয়েছেন। এখানে, তিনটি উপাদানের গুণন ইতিমধ্যেই প্রয়োজন: 0, 20, 40, 7=0, 056।
এবং আপনার যদি একসাথে দুটি কাজ না করা ফোন থাকে তবে কী করবেন? আপনি তাদের অন্তত একটি ঠিক করার সম্ভাবনা কতটা? এটি সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণনের একটি সমস্যা, যেহেতু যৌথ ইভেন্টগুলি ব্যবহার করা হয়। সমাধান: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
সাবধানে ব্যবহার
প্রবন্ধের শুরুতে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, সম্ভাব্যতা তত্ত্বের ব্যবহার ইচ্ছাকৃত এবং সচেতন হওয়া উচিত।
পরীক্ষার সিরিজ যত বড় হবে, তাত্ত্বিকভাবে পূর্বাভাসিত মান ব্যবহারিকটির কাছাকাছি আসবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করছি। তাত্ত্বিকভাবে, সম্ভাব্যতার যোগ এবং গুণনের জন্য সূত্রের অস্তিত্ব সম্পর্কে জেনে, আমরা যদি 10 বার পরীক্ষা চালাই তবে কতবার মাথা এবং লেজ পড়ে যাবে তা ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারি। আমরা একটি পরীক্ষা করেছি এবংকাকতালীয়ভাবে, বাদ দেওয়া দিকগুলির অনুপাত ছিল 3 থেকে 7৷ কিন্তু আপনি যদি 100, 1000 বা তার বেশি প্রচেষ্টার একটি সিরিজ পরিচালনা করেন তবে দেখা যাচ্ছে যে বিতরণ গ্রাফটি তাত্ত্বিক একের কাছাকাছি এবং কাছাকাছি হচ্ছে: 44 থেকে 56, 482 থেকে 518 ইত্যাদি।
এখন কল্পনা করুন যে এই পরীক্ষাটি একটি মুদ্রা দিয়ে নয়, কিছু নতুন রাসায়নিক পদার্থ তৈরির মাধ্যমে করা হয়েছে, যার সম্ভাব্যতা আমরা জানি না। আমরা 10টি পরীক্ষা চালাব এবং, যদি আমরা একটি সফল ফলাফল না পাই, আমরা সাধারণীকরণ করতে পারি: "পদার্থটি পাওয়া যাবে না।" কিন্তু কে জানে, আমরা যদি একাদশতম চেষ্টা করতাম, তাহলে কি লক্ষ্যে পৌঁছতে পারতাম কি না?
সুতরাং আপনি যদি অজানা, অনাবিষ্কৃত রাজ্যে যাচ্ছেন, সম্ভাব্যতার তত্ত্ব প্রযোজ্য নাও হতে পারে। এই ক্ষেত্রে প্রতিটি পরবর্তী প্রচেষ্টা সফল হতে পারে এবং সাধারণীকরণ যেমন "এক্সের অস্তিত্ব নেই" বা "এক্স অসম্ভব" অকাল হবে৷
সমাপ্তি শব্দ
সুতরাং আমরা দুই ধরনের যোগ, গুণ এবং শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা দেখেছি। এই এলাকার আরও অধ্যয়নের সাথে, প্রতিটি নির্দিষ্ট সূত্র ব্যবহার করা হলে পরিস্থিতিগুলিকে আলাদা করতে শিখতে হবে। এছাড়াও, আপনাকে বুঝতে হবে সম্ভাব্য পদ্ধতিগুলি সাধারণত আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য প্রযোজ্য কিনা।
যদি আপনি অনুশীলন করেন, কিছুক্ষণ পরে আপনি আপনার মনের মতো সমস্ত প্রয়োজনীয় অপারেশনগুলি চালাতে শুরু করবেন। যারা তাস খেলার অনুরাগী তাদের জন্য এই দক্ষতা বিবেচনা করা যেতে পারেঅত্যন্ত মূল্যবান - আপনি শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট কার্ড বা স্যুট পড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা গণনা করে আপনার জেতার সম্ভাবনা উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করবেন। যাইহোক, অর্জিত জ্ঞান সহজেই কার্যকলাপের অন্যান্য ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যেতে পারে।
