ডেরিভেটিভের আবেদন। ডেরিভেটিভস দিয়ে প্লট করা

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

গণিতের উৎপত্তি প্রাচীনকাল থেকে। তার জন্য ধন্যবাদ, স্থাপত্য, নির্মাণ এবং সামরিক বিজ্ঞান বিকাশের একটি নতুন রাউন্ড দিয়েছে, গণিতের সাহায্যে প্রাপ্ত অর্জনগুলি অগ্রগতির আন্দোলনের দিকে নিয়ে গেছে। আজ অবধি, গণিত হল প্রধান বিজ্ঞান যা অন্য সকল শাখায় পাওয়া যায়।

শিক্ষিত হওয়ার জন্য, প্রথম শ্রেণি থেকে শিশুরা ধীরে ধীরে এই পরিবেশে মিশে যেতে শুরু করে। গণিত বোঝা খুবই গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি, এক বা অন্যভাবে, প্রতিটি ব্যক্তির জীবনে ঘটে। এই নিবন্ধটি মূল উপাদানগুলির মধ্যে একটি বিশ্লেষণ করবে - ডেরিভেটিভগুলি সন্ধান করা এবং প্রয়োগ করা৷ এই ধারণাটি কতটা ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয় তা প্রত্যেক ব্যক্তি কল্পনা করতে পারে না। নির্দিষ্ট ক্ষেত্র বা বিজ্ঞানে ডেরিভেটিভের 10টিরও বেশি প্রয়োগ বিবেচনা করুন।

একটি ফাংশনের অধ্যয়নের জন্য ডেরিভেটিভের প্রয়োগ

ডেরিভেটিভ এমন একটি সীমাএকটি ফাংশনের বৃদ্ধির অনুপাত এবং তার আর্গুমেন্টের বৃদ্ধির অনুপাত যখন আর্গুমেন্টের সূচক শূন্য হয়। ডেরিভেটিভ একটি ফাংশন অধ্যয়ন একটি অপরিহার্য জিনিস. উদাহরণস্বরূপ, এটি লেটার, এক্সট্রিমা, উত্তল এবং অবতলতার বৃদ্ধি এবং হ্রাস নির্ধারণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। গাণিতিক বিশ্ববিদ্যালয়ের ১ম ও ২য় বর্ষের শিক্ষার্থীদের বাধ্যতামূলক পাঠ্যক্রমে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে।

স্কোপ এবং ফাংশন শূন্য

গ্রাফের যেকোনো অধ্যয়নের প্রথম পর্যায়ে সংজ্ঞার ডোমেন খুঁজে বের করার মাধ্যমে শুরু হয়, আরও বিরল ক্ষেত্রে - মান। সংজ্ঞার ডোমেনটি অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর সেট করা হয়েছে, অন্য কথায়, এগুলি OX অক্ষের সংখ্যাসূচক মান। প্রায়শই সুযোগ ইতিমধ্যে সেট করা আছে, কিন্তু যদি এটি না হয়, তাহলে x আর্গুমেন্টের মান মূল্যায়ন করা উচিত। ধরুন, যদি আর্গুমেন্টের কিছু মানের জন্য ফাংশনটি অর্থপূর্ণ না হয়, তাহলে এই আর্গুমেন্টটি সুযোগ থেকে বাদ দেওয়া হয়েছে।

ফাংশনের শূন্যগুলি একটি সহজ উপায়ে পাওয়া যায়: ফাংশন f(x) শূন্যের সমান করা উচিত এবং ফলস্বরূপ সমীকরণটি একটি চলক x এর সাপেক্ষে সমাধান করা উচিত। সমীকরণের প্রাপ্ত মূলগুলি হল ফাংশনের শূন্য, অর্থাৎ এই x-এ ফাংশনটি 0।

বৃদ্ধি এবং হ্রাস

একঘেয়েমির জন্য ফাংশন অধ্যয়নের জন্য ডেরিভেটিভের ব্যবহার দুটি অবস্থান থেকে বিবেচনা করা যেতে পারে। একটি একঘেয়ে ফাংশন হল এমন একটি বিভাগ যার শুধুমাত্র ডেরিভেটিভের ইতিবাচক মান আছে বা শুধুমাত্র নেতিবাচক মান রয়েছে। সহজ কথায়, অধ্যয়নের অধীনে পুরো ব্যবধানে ফাংশনটি শুধুমাত্র বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়:

1. প্যারামিটার বাড়ান। ফাংশনf`(x) এর ডেরিভেটিভ শূন্যের চেয়ে বেশি হলে f(x) বাড়বে।
2. অবরোহী প্যারামিটার। f`(x) এর ডেরিভেটিভ শূন্যের কম হলে f(x) ফাংশনটি কমে যাবে।

স্পর্শক এবং ঢাল

একটি ফাংশনের অধ্যয়নের জন্য ডেরিভেটিভের প্রয়োগটি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফে স্পর্শক (কোণে নির্দেশিত সরল রেখা) দ্বারাও নির্ধারিত হয়। একটি বিন্দুতে স্পর্শক (x₀) - একটি রেখা যা একটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে যায় এবং ফাংশনের অন্তর্গত যার স্থানাঙ্কগুলি হল (x₀, f(x) 0 _{)) এবং ঢাল f`(x}0_)।

y=f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - ফাংশনের গ্রাফের প্রদত্ত বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ।

ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ: ফাংশনের ডেরিভেটিভ f(x) একটি প্রদত্ত বিন্দু x এ এই ফাংশনের গ্রাফে গঠিত স্পর্শকটির ঢালের সমান। কৌণিক সহগ, ঘুরে, ধনাত্মক দিকে OX অক্ষের (অ্যাবসিসা) প্রতি স্পর্শকটির প্রবণতা কোণের স্পর্শকের সমান। এই ফলাফলটি একটি ফাংশনের গ্রাফে ডেরিভেটিভের প্রয়োগের জন্য মৌলিক।

এক্সট্রিম পয়েন্ট

একটি অধ্যয়নে ডেরিভেটিভ প্রয়োগ করার সাথে উচ্চ এবং নিম্ন পয়েন্ট খুঁজে পাওয়া জড়িত।

সর্বাধিক এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট খুঁজে পেতে এবং নির্ধারণ করতে, আপনাকে অবশ্যই:

• f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ খুঁজুন।
• ফলিত সমীকরণটি শূন্যে সেট করুন।
• সমীকরণের মূল খুঁজুন।
• উচ্চ এবং নিম্ন পয়েন্ট খুঁজুন।

চরম খুঁজে পেতেবৈশিষ্ট্য:

• উপরের পদ্ধতি ব্যবহার করে সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ পয়েন্ট খুঁজুন।
• এই পয়েন্টগুলিকে মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন এবং y_{সর্বোচ্চ} এবং y_মিন

গণনা করুন

ফাংশনের সর্বোচ্চ বিন্দু হল ব্যবধানে f(x) ফাংশনের সবচেয়ে বড় মান, অন্য কথায় x_max।

ফাংশনের সর্বনিম্ন বিন্দু হল ব্যবধানে f(x) ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান, অন্য কথায় x_name

এক্সট্রিমাম পয়েন্ট সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন পয়েন্ট এবং ফাংশনের এক্সট্রিমাম সমান (y_{সর্বোচ্চ। এবং} yসর্বনিম্ন _{) - ফাংশন মান যা এক্সট্রিম পয়েন্টের সাথে মিলে যায়।}

উত্তলতা এবং অবতলতা

আপনি প্লট করার জন্য ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে উত্তল এবং অবতলতা নির্ধারণ করতে পারেন:

• একটি ফাংশন f(x) ব্যবধানে পরীক্ষা করা হয় (a, b) অবতল হয় যদি ফাংশনটি এই ব্যবধানের মধ্যে তার সমস্ত স্পর্শকগুলির নীচে অবস্থিত হয়৷
• ব্যবধানে (a, b) অধ্যয়ন করা ফাংশন f(x) উত্তল হয় যদি এই ব্যবধানের ভিতরে ফাংশনটি তার সমস্ত স্পর্শকগুলির উপরে থাকে।

যে বিন্দু উত্তল ও অবতলতাকে পৃথক করে তাকে ফাংশনের ইনফ্লেকশন বিন্দু বলে।

ইনফ্লেকশন পয়েন্ট খুঁজতে:

• দ্বিতীয় ধরণের (দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ) এর গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট খুঁজুন।
• ইনফ্লেকশন পয়েন্ট হল সেইসব গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট যা দুটি বিপরীত চিহ্নকে আলাদা করে।
• ফাংশন ইনফ্লেকশন পয়েন্টে ফাংশনের মান গণনা করুন।

আংশিক ডেরিভেটিভস

আবেদনসমস্যায় এই ধরনের ডেরিভেটিভ আছে যেখানে একাধিক অজানা পরিবর্তনশীল ব্যবহার করা হয়। প্রায়শই, এই ধরনের ডেরিভেটিভগুলি একটি ফাংশন গ্রাফ প্লট করার সময় সম্মুখীন হয়, আরও সুনির্দিষ্টভাবে, মহাকাশে পৃষ্ঠতল, যেখানে দুটি অক্ষের পরিবর্তে তিনটি থাকে, তাই, তিনটি পরিমাণ (দুটি চলক এবং একটি ধ্রুবক)।

আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করার সময় মৌলিক নিয়ম হল একটি পরিবর্তনশীল বেছে নেওয়া এবং বাকিটিকে ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করা। অতএব, আংশিক ডেরিভেটিভ গণনা করার সময়, ধ্রুবকটি একটি সংখ্যাসূচক মানের মতো হয়ে যায় (ডেরিভেটিভের অনেক টেবিলে, সেগুলিকে C=const হিসাবে চিহ্নিত করা হয়)। এই জাতীয় ডেরিভেটিভের অর্থ হল OX এবং OY অক্ষ বরাবর z=f(x, y) ফাংশনের পরিবর্তনের হার, অর্থাৎ, এটি নির্মিত পৃষ্ঠের বিষণ্নতা এবং বুলজের খাড়াতাকে চিহ্নিত করে।

পদার্থবিজ্ঞানে ডেরিভেটিভ

পদার্থবিজ্ঞানে ডেরিভেটিভের ব্যবহার ব্যাপক এবং গুরুত্বপূর্ণ। ভৌত অর্থ: সময়ের সাপেক্ষে পথের ডেরিভেটিভ হল গতি এবং ত্বরণ হল সময়ের সাপেক্ষে গতির ডেরিভেটিভ। ভৌত অর্থ থেকে, অনেক শাখা পদার্থবিদ্যার বিভিন্ন শাখায় টানা যেতে পারে, যখন ডেরিভেটিভের অর্থ সম্পূর্ণরূপে সংরক্ষণ করে।

ডেরিভেটিভের সাহায্যে, নিম্নলিখিত মানগুলি পাওয়া যায়:

• গতিবিদ্যায় গতি, যেখানে ভ্রমণ করা দূরত্বের ডেরিভেটিভ গণনা করা হয়। যদি পথের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ বা গতির প্রথম ডেরিভেটিভ পাওয়া যায়, তাহলে শরীরের ত্বরণ পাওয়া যায়। উপরন্তু, একটি বস্তুগত বিন্দুর তাৎক্ষণিক বেগ খুঁজে বের করা সম্ভব, তবে এর জন্য ∆t এবং ∆r বৃদ্ধি জানা প্রয়োজন।
• ইলেক্ট্রোডাইনামিকসে:বিকল্প কারেন্টের তাৎক্ষণিক শক্তির গণনা, সেইসাথে ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক ইন্ডাকশনের EMF। ডেরিভেটিভ গণনা করে, আপনি সর্বাধিক শক্তি খুঁজে পেতে পারেন। বৈদ্যুতিক চার্জের পরিমাণের ডেরিভেটিভ হল পরিবাহীর বর্তমান শক্তি।

রসায়ন এবং জীববিজ্ঞানে ডেরিভেটিভ

রসায়ন: রাসায়নিক বিক্রিয়ার হার নির্ধারণ করতে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়। ডেরিভেটিভের রাসায়নিক অর্থ: ফাংশন p=p(t), এই ক্ষেত্রে p হল একটি পদার্থের পরিমাণ যা t সময়ে রাসায়নিক বিক্রিয়ায় প্রবেশ করে। ∆t - সময় বৃদ্ধি, ∆p - পদার্থের পরিমাণ বৃদ্ধি। ∆p থেকে ∆t অনুপাতের সীমা, যেখানে ∆t শূন্য হয়ে যায়, তাকে রাসায়নিক বিক্রিয়ার হার বলে। রাসায়নিক বিক্রিয়ার গড় মান হল অনুপাত ∆p/∆t। গতি নির্ধারণ করার সময়, পদার্থের সামগ্রিক অবস্থা এবং প্রবাহের মাধ্যম জানার জন্য সমস্ত প্রয়োজনীয় পরামিতি, শর্তগুলি সঠিকভাবে জানা প্রয়োজন। এটি রসায়নের একটি মোটামুটি বড় দিক, যা বিভিন্ন শিল্প এবং মানুষের ক্রিয়াকলাপে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়৷

জীববিজ্ঞান: একটি ডেরিভেটিভের ধারণাটি গড় প্রজনন হার গণনা করতে ব্যবহৃত হয়। জৈবিক অর্থ: আমাদের একটি ফাংশন y=x(t) আছে। ∆t - সময় বৃদ্ধি। তারপর, কিছু রূপান্তরের সাহায্যে, আমরা ফাংশনটি পাই y`=P(t)=x`(t) - সময় t এর জনসংখ্যার গুরুত্বপূর্ণ কার্যকলাপ (গড় প্রজনন হার)। ডেরিভেটিভের এই ব্যবহার আপনাকে পরিসংখ্যান রাখতে, প্রজননের হার ট্র্যাক করতে এবং আরও অনেক কিছু করতে দেয়৷

ভূগোল এবং অর্থনীতিতে উদ্ভূত

ডেরিভেটিভ ভূগোলবিদদের সিদ্ধান্ত নিতে দেয়কাজ যেমন জনসংখ্যা খোঁজা, সিসমোগ্রাফিতে মান গণনা করা, পারমাণবিক ভূ-ভৌতিক সূচকের তেজস্ক্রিয়তা গণনা করা, ইন্টারপোলেশন গণনা করা।

অর্থশাস্ত্রে, গণনার একটি গুরুত্বপূর্ণ অংশ হল ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং ডেরিভেটিভের গণনা। প্রথমত, এটি আমাদের প্রয়োজনীয় অর্থনৈতিক মূল্যবোধের সীমা নির্ধারণ করতে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন শ্রম উৎপাদনশীলতা, খরচ, লাভ। মূলত, এই মানগুলি ফাংশন গ্রাফ থেকে গণনা করা হয়, যেখানে তারা এক্সট্রিমা খুঁজে পায়, পছন্দসই এলাকায় ফাংশনের একঘেয়েতা নির্ধারণ করে।

উপসংহার

এই ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাসের ভূমিকা জড়িত, যেমনটি নিবন্ধে উল্লেখ করা হয়েছে, বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক কাঠামোতে। বিজ্ঞান এবং উৎপাদনের ব্যবহারিক অংশে ডেরিভেটিভ ফাংশনগুলির ব্যবহার একটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান। জটিল গ্রাফ তৈরি করতে, অন্বেষণ করতে এবং ফাংশনগুলিতে কাজ করতে হাইস্কুল এবং বিশ্ববিদ্যালয়ে আমাদের শেখানো হয়েছিল এমন কিছুর জন্য নয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন, ডেরিভেটিভ এবং ডিফারেনশিয়াল গণনা ছাড়া, গুরুত্বপূর্ণ সূচক এবং পরিমাণ গণনা করা অসম্ভব। মানবজাতি জটিল গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য বিভিন্ন প্রক্রিয়ার মডেল এবং সেগুলি অন্বেষণ করতে শিখেছে। প্রকৃতপক্ষে, গণিত হল সমস্ত বিজ্ঞানের রানী, কারণ এই বিজ্ঞানটি অন্যান্য সমস্ত প্রাকৃতিক এবং প্রযুক্তিগত শাখার অন্তর্গত৷