অনেক বিজ্ঞানে গাণিতিক সমস্যা ব্যবহার করা হয়। এর মধ্যে শুধু পদার্থবিদ্যা, রসায়ন, প্রকৌশল এবং অর্থনীতি নয়, ওষুধ, বাস্তুশাস্ত্র এবং অন্যান্য শাখাও রয়েছে। গুরুত্বপূর্ণ দ্বিধাগুলির সমাধান খুঁজে বের করার জন্য একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হল একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ। এর প্রকৃত অর্থ ব্যাখ্যা করা ততটা কঠিন নয় যতটা সমস্যাটির সারমর্মে অপ্রশিক্ষিতদের কাছে মনে হতে পারে। বাস্তব জীবন এবং সাধারণ দৈনন্দিন পরিস্থিতিতে এর উপযুক্ত উদাহরণগুলি খুঁজে পাওয়া যথেষ্ট। প্রকৃতপক্ষে, যে কোনও মোটরচালক প্রতিদিন একটি অনুরূপ কাজের সাথে মোকাবিলা করে যখন সে স্পিডোমিটারের দিকে তাকায়, একটি নির্দিষ্ট সময়ের একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে তার গাড়ির গতি নির্ধারণ করে। সর্বোপরি, এই প্যারামিটারের মধ্যেই ডেরিভেটিভ মিথ্যার ভৌত অর্থের সারমর্ম।
কীভাবে গতি বের করবেন
রাস্তায় একজন ব্যক্তির গতি নির্ণয় করুন, ভ্রমণের দূরত্ব এবং ভ্রমণের সময় জেনে, যেকোনো পঞ্চম শ্রেণির শিক্ষার্থী সহজেই করতে পারে। এটি করার জন্য, প্রদত্ত মানগুলির মধ্যে প্রথমটিকে দ্বিতীয় দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। কিন্তুপ্রত্যেক তরুণ গণিতবিদ জানেন না যে তিনি বর্তমানে একটি ফাংশন এবং একটি যুক্তির বৃদ্ধির অনুপাত খুঁজে পাচ্ছেন। প্রকৃতপক্ষে, যদি আমরা একটি গ্রাফ আকারে চলন কল্পনা করি, y-অক্ষ বরাবর পথটি প্লট করি এবং অ্যাবসিসা বরাবর সময়, তবে এটি ঠিক এরকম হবে।
তবে, একটি পথচারী বা অন্য কোনো বস্তুর গতি যা আমরা পথের একটি বড় অংশে নির্ধারণ করি, চলাচলকে অভিন্ন বিবেচনা করে, ভালভাবে পরিবর্তিত হতে পারে। পদার্থবিদ্যায় গতির অনেক রূপ রয়েছে। এটি শুধুমাত্র একটি ধ্রুবক ত্বরণের সাথে সঞ্চালিত হতে পারে না, তবে ধীরগতিতে এবং নির্বিচারে বৃদ্ধি করা যেতে পারে। এটি লক্ষ করা উচিত যে এই ক্ষেত্রে আন্দোলনের বর্ণনাকারী লাইনটি আর সরলরেখা হবে না। গ্রাফিকভাবে, এটি সবচেয়ে জটিল কনফিগারেশন নিতে পারে। কিন্তু গ্রাফের যেকোনো বিন্দুর জন্য, আমরা সবসময় একটি রৈখিক ফাংশন দ্বারা উপস্থাপিত একটি স্পর্শক আঁকতে পারি।
সময়ের উপর নির্ভর করে স্থানচ্যুতি পরিবর্তনের পরামিতি স্পষ্ট করতে, পরিমাপ করা অংশগুলিকে ছোট করা প্রয়োজন। যখন তারা অসীমভাবে ছোট হয়ে যায়, গণনা করা গতি তাত্ক্ষণিক হবে। এই অভিজ্ঞতা আমাদের ডেরিভেটিভ সংজ্ঞায়িত করতে সাহায্য করে. এর শারীরিক অর্থও এই ধরনের যুক্তি থেকে যৌক্তিকভাবে অনুসরণ করে।
জ্যামিতির পরিপ্রেক্ষিতে
এটা জানা যায় যে শরীরের গতি যত বেশি হবে, সময়ের উপর স্থানচ্যুতির নির্ভরতার গ্রাফ তত বেশি খাড়া হবে এবং তাই একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে গ্রাফে স্পর্শকের প্রবণতার কোণ। এই ধরনের পরিবর্তনের একটি সূচক হতে পারে x-অক্ষ এবং স্পর্শক রেখার মধ্যবর্তী কোণের স্পর্শক। এটি শুধুমাত্র ডেরিভেটিভের মান নির্ধারণ করে এবং দৈর্ঘ্যের অনুপাত দ্বারা গণনা করা হয়লম্ব দ্বারা গঠিত একটি সমকোণী ত্রিভুজে সন্নিহিত পায়ের বিপরীতে কিছু বিন্দু থেকে x-অক্ষে নেমে গেছে।
এটি প্রথম ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক অর্থ। ভৌতিকটি এই সত্যে প্রকাশিত হয় যে আমাদের ক্ষেত্রে বিপরীত পায়ের মানটি ভ্রমণ করা দূরত্ব এবং সংলগ্নটি সময়। তাদের অনুপাত হল গতি। এবং আবার আমরা এই উপসংহারে উপনীত হই যে তাত্ক্ষণিক গতি, যখন উভয় ফাঁক অসীমভাবে ছোট হয় তখন নির্ধারিত হয়, এটি ডেরিভেটিভের ধারণার সারমর্ম, যা এর শারীরিক অর্থ নির্দেশ করে। এই উদাহরণে দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হবে শরীরের ত্বরণ, যা গতিতে পরিবর্তনের হার প্রদর্শন করে।
পদার্থবিদ্যায় ডেরিভেটিভ খোঁজার উদাহরণ
ডেরিভেটিভ হল যে কোনো ফাংশনের পরিবর্তনের হারের একটি সূচক, এমনকি যখন আমরা শব্দের আক্ষরিক অর্থে আন্দোলনের কথা বলছি না। এটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করার জন্য, আসুন কয়েকটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ নেওয়া যাক। ধরুন বর্তমান শক্তি, সময়ের উপর নির্ভর করে, নিম্নলিখিত আইন অনুসারে পরিবর্তিত হয়: I=0, 4t2। প্রক্রিয়াটির 8 তম সেকেন্ডের শেষে এই পরামিতিটি যে হারে পরিবর্তিত হয় তার মান খুঁজে বের করতে হবে। লক্ষ্য করুন যে পছন্দসই মান নিজেই, যেমনটি সমীকরণ থেকে বিচার করা যেতে পারে, ক্রমাগত বাড়ছে৷
এটি সমাধান করতে, আপনাকে প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজে বের করতে হবে, যার প্রকৃত অর্থ আগে বিবেচনা করা হয়েছিল। এখানে dI/dt=0.8t. এর পরে, আমরা এটি t \u003d 8 এ খুঁজে পাই, আমরা পাই যে বর্তমান শক্তির পরিবর্তনের হার হল 6.4 A / c। এখানে এটা বিবেচনা করা হয়কারেন্ট পরিমাপ করা হয় অ্যাম্পিয়ার এবং সময় যথাক্রমে সেকেন্ডে।
সবকিছু বদলে যায়
বস্তু নিয়ে গঠিত দৃশ্যমান পারিপার্শ্বিক জগৎ প্রতিনিয়ত পরিবর্তনের মধ্য দিয়ে যাচ্ছে, এতে ঘটতে থাকা বিভিন্ন প্রক্রিয়ার গতিশীলতা রয়েছে। তাদের বর্ণনা করার জন্য বিভিন্ন পরামিতি ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি তারা নির্ভরতা দ্বারা একত্রিত হয়, তাহলে তারা গাণিতিকভাবে একটি ফাংশন হিসাবে লেখা হয় যা তাদের পরিবর্তনগুলি স্পষ্টভাবে দেখায়। এবং যেখানে নড়াচড়া আছে (যে আকারেই এটি প্রকাশ করা হোক না কেন), সেখানে একটি ডেরিভেটিভও রয়েছে, যার শারীরিক অর্থ আমরা এই মুহূর্তে বিবেচনা করছি।
এই উপলক্ষে, নিম্নলিখিত উদাহরণ. ধরুন T=0, 2 t 2 আইন অনুসারে শরীরের তাপমাত্রা পরিবর্তিত হয়। আপনি 10 তম সেকেন্ডের শেষে এটির গরম করার হার খুঁজে পাবেন। সমস্যাটি পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে বর্ণিত অনুরূপভাবে সমাধান করা হয়েছে। অর্থাৎ, আমরা ডেরিভেটিভ খুঁজে পাই এবং এর মধ্যে t \u003d 10 এর মান প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই T \u003d 0, 4 t \u003d 4। এর মানে চূড়ান্ত উত্তরটি প্রতি সেকেন্ডে 4 ডিগ্রি, অর্থাৎ গরম করার প্রক্রিয়া। এবং তাপমাত্রার পরিবর্তন, ডিগ্রীতে পরিমাপ করা হয়, এই ধরনের গতিতে অবিকল ঘটে।
ব্যবহারিক সমস্যার সমাধান
অবশ্যই, তাত্ত্বিক সমস্যার চেয়ে বাস্তব জীবনে সবকিছুই অনেক বেশি জটিল। অনুশীলনে, পরীক্ষার সময় সাধারণত পরিমাণের মান নির্ধারণ করা হয়। এই ক্ষেত্রে, যন্ত্রগুলি ব্যবহার করা হয় যা একটি নির্দিষ্ট ত্রুটি সহ পরিমাপের সময় রিডিং দেয়। অতএব, গণনার ক্ষেত্রে, একজনকে প্যারামিটারগুলির আনুমানিক মানগুলি মোকাবেলা করতে হবে এবং অসুবিধাজনক সংখ্যাগুলিকে রাউন্ডিং করতে হবে,পাশাপাশি অন্যান্য সরলীকরণ। এটি বিবেচনায় নেওয়ার পরে, আমরা আবার ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থের সমস্যাগুলির দিকে এগিয়ে যাব, এই বিবেচনায় যে সেগুলি প্রকৃতিতে ঘটে যাওয়া সবচেয়ে জটিল প্রক্রিয়াগুলির এক ধরণের গাণিতিক মডেল।
আগ্নেয়গিরির অগ্ন্যুৎপাত
আসুন কল্পনা করা যাক যে একটি আগ্নেয়গিরির অগ্ন্যুৎপাত। সে কতটা বিপজ্জনক হতে পারে? এই প্রশ্নের উত্তর দিতে, অনেক কারণ বিবেচনা করা প্রয়োজন। আমরা তাদের মধ্যে একটি মিটমাট করার চেষ্টা করব।
"অগ্নিময় দানব"-এর মুখ থেকে পাথরগুলি উল্লম্বভাবে উপরের দিকে ছুঁড়ে দেওয়া হয়, 120 মি/সেকেন্ডের বাইরে বের হওয়ার মুহুর্ত থেকে প্রাথমিক গতি থাকে। তারা কী সর্বোচ্চ উচ্চতায় পৌঁছাতে পারে তা গণনা করা প্রয়োজন৷
কাঙ্খিত মান খুঁজে পেতে, আমরা অন্যান্য মানের উপর মিটারে পরিমাপ করা উচ্চতা H এর নির্ভরতার জন্য একটি সমীকরণ রচনা করব। এর মধ্যে রয়েছে প্রাথমিক গতি এবং সময়। ত্বরণ মান পরিচিত বলে মনে করা হয় এবং প্রায় 10 m/s2.
আংশিক ডেরিভেটিভ
এখন একটু ভিন্ন কোণ থেকে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ বিবেচনা করা যাক, কারণ সমীকরণটি নিজেই একটি নয়, বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবল ধারণ করতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পূর্ববর্তী সমস্যায়, আগ্নেয়গিরির ভেন্ট থেকে নির্গত পাথরের উচ্চতার নির্ভরতা শুধুমাত্র সময়ের বৈশিষ্ট্যের পরিবর্তন দ্বারা নয়, প্রাথমিক বেগের মান দ্বারাও নির্ধারিত হয়েছিল। পরেরটি একটি ধ্রুবক, স্থির মান হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল। কিন্তু সম্পূর্ণ ভিন্ন শর্ত সহ অন্যান্য কাজে, সবকিছু ভিন্ন হতে পারে। যদি পরিমাণের উপর জটিল হয়ফাংশন, বেশ কিছু, গণনা নীচের সূত্র অনুযায়ী করা হয়।
ঘন ঘন ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ স্বাভাবিক ক্ষেত্রে হিসাবে নির্ধারণ করা উচিত। এটি সেই হার যা পরিবর্তনশীলের প্যারামিটার বৃদ্ধির সাথে সাথে কিছু নির্দিষ্ট বিন্দুতে ফাংশন পরিবর্তিত হয়। এটি এমনভাবে গণনা করা হয় যে অন্যান্য সমস্ত উপাদান ধ্রুবক হিসাবে নেওয়া হয়, শুধুমাত্র একটি পরিবর্তনশীল হিসাবে বিবেচিত হয়। তারপর সবকিছু স্বাভাবিক নিয়ম অনুযায়ী হয়।
অনেক বিষয়ে অপরিহার্য উপদেষ্টা
ডেরিভেটিভের দৈহিক অর্থ বোঝার জন্য, জটিল এবং জটিল সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেওয়া কঠিন নয়, যেখানে এই ধরনের জ্ঞানের সাথে উত্তর পাওয়া যেতে পারে। আমাদের যদি এমন একটি ফাংশন থাকে যা গাড়ির গতির উপর নির্ভর করে জ্বালানী খরচ বর্ণনা করে, তাহলে আমরা গণনা করতে পারি পরবর্তী কোন প্যারামিটারে গ্যাসোলিন খরচ সর্বনিম্ন হবে।
মেডিসিনে, আপনি ভবিষ্যদ্বাণী করতে পারেন যে একজন ডাক্তার দ্বারা নির্ধারিত ওষুধে মানবদেহ কীভাবে প্রতিক্রিয়া দেখাবে। ড্রাগ গ্রহণ বিভিন্ন শারীরবৃত্তীয় পরামিতি প্রভাবিত করে। এর মধ্যে রয়েছে রক্তচাপ, হৃদস্পন্দন, শরীরের তাপমাত্রা এবং আরও অনেক কিছুর পরিবর্তন। এগুলি সবই গৃহীত ওষুধের ডোজ উপর নির্ভর করে। এই গণনাগুলি চিকিত্সার কোর্সের পূর্বাভাস দিতে সাহায্য করে, উভয় অনুকূল প্রকাশ এবং অনাকাঙ্ক্ষিত দুর্ঘটনা যা রোগীর শরীরের পরিবর্তনগুলিকে মারাত্মকভাবে প্রভাবিত করতে পারে৷
নিঃসন্দেহে, প্রযুক্তিগতভাবে ডেরিভেটিভের প্রকৃত অর্থ বোঝা গুরুত্বপূর্ণসমস্যা, বিশেষ করে বৈদ্যুতিক প্রকৌশল, ইলেকট্রনিক্স, নকশা এবং নির্মাণ।
ব্রেকিং দূরত্ব
আসুন পরবর্তী সমস্যাটি বিবেচনা করা যাক। একটি ধ্রুবক গতিতে চলতে, গাড়িটি, সেতুর কাছে আসতে, প্রবেশের 10 সেকেন্ড আগে গতি কমিয়ে আনতে হয়েছিল, কারণ চালক একটি রাস্তার চিহ্ন লক্ষ্য করেছিলেন যেটি 36 কিমি/ঘন্টার বেশি গতিতে চলাচল নিষিদ্ধ করে। যদি ব্রেকিং দূরত্ব S=26t - t2 সূত্র দ্বারা বর্ণনা করা যায় তবে ড্রাইভার কি নিয়ম লঙ্ঘন করেছে?
প্রথম ডেরিভেটিভ গণনা করে, আমরা গতির সূত্র খুঁজে পাই, আমরা পাই v=28 – 2t। এরপরে, নির্দিষ্ট এক্সপ্রেশনে t=10 মান প্রতিস্থাপন করুন।
যেহেতু এই মানটি সেকেন্ডে প্রকাশ করা হয়েছে, গতি হল 8 m/s, যার মানে হল 28.8 km/h৷ এটি বোঝা সম্ভব করে যে ড্রাইভার সময়মতো গতি কমাতে শুরু করেছে এবং ট্রাফিক নিয়ম লঙ্ঘন করেনি, এবং তাই গতি চিহ্নে নির্দেশিত সীমা।
এটি ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থের গুরুত্ব প্রমাণ করে। এই সমস্যা সমাধানের একটি উদাহরণ জীবনের বিভিন্ন ক্ষেত্রে এই ধারণাটির ব্যবহারের প্রশস্ততা প্রদর্শন করে। দৈনন্দিন পরিস্থিতিতে সহ।
অর্থনীতিতে ডেরিভেটিভ
19 শতক পর্যন্ত, অর্থনীতিবিদরা বেশিরভাগই গড়ে পরিচালনা করতেন, তা শ্রমের উৎপাদনশীলতা হোক বা উৎপাদনের মূল্য হোক। কিন্তু কিছু সময় থেকে, এই ক্ষেত্রে কার্যকর পূর্বাভাস তৈরির জন্য মান সীমিত করা আরও প্রয়োজনীয় হয়ে উঠেছে। এর মধ্যে রয়েছে প্রান্তিক উপযোগ, আয় বা খরচ। এটি বোঝার ফলে অর্থনৈতিক গবেষণায় একটি সম্পূর্ণ নতুন হাতিয়ার তৈরির অনুপ্রেরণা ছিল,যা একশত বছরেরও বেশি সময় ধরে বিদ্যমান এবং বিকশিত হয়েছে৷
এই ধরনের গণনা করার জন্য, যেখানে ন্যূনতম এবং সর্বাধিকের মতো ধারণাগুলি প্রাধান্য পায়, কেবলমাত্র ডেরিভেটিভের জ্যামিতিক এবং শারীরিক অর্থ বোঝা প্রয়োজন। এই শাখাগুলির তাত্ত্বিক ভিত্তির স্রষ্টাদের মধ্যে, কেউ মার্কিন জেভনস, কে. মেনগার এবং অন্যান্যদের মতো বিশিষ্ট ইংরেজ এবং অস্ট্রিয়ান অর্থনীতিবিদদের নাম দিতে পারেন। অবশ্যই, অর্থনৈতিক গণনায় সীমিত মান সবসময় ব্যবহার করা সুবিধাজনক নয়। এবং, উদাহরণস্বরূপ, ত্রৈমাসিক প্রতিবেদনগুলি বিদ্যমান স্কিমের সাথে অগত্যা খাপ খায় না, তবে তবুও, অনেক ক্ষেত্রে এই জাতীয় তত্ত্বের প্রয়োগ দরকারী এবং কার্যকর৷
