পদার্থবিজ্ঞানে, ভারসাম্যহীন ঘূর্ণায়মান দেহ বা সিস্টেমগুলির সমস্যাগুলির বিবেচনা "শক্তির মুহূর্ত" ধারণাটি ব্যবহার করে করা হয়। এই নিবন্ধটি শক্তির মুহূর্তের সূত্র এবং সেইসাথে এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য এর ব্যবহার বিবেচনা করবে৷
পদার্থবিদ্যায় শক্তির মুহূর্ত
ভূমিকাতে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, এই নিবন্ধটি এমন সিস্টেমগুলির উপর ফোকাস করবে যেগুলি একটি অক্ষের চারপাশে বা একটি বিন্দুর চারপাশে ঘোরাতে পারে৷ নীচের চিত্রে দেখানো এই ধরনের একটি মডেলের উদাহরণ বিবেচনা করুন।
আমরা দেখি যে ধূসর লিভারটি ঘূর্ণনের অক্ষের উপর স্থির রয়েছে। লিভারের শেষে কিছু ভরের একটি কালো ঘনক রয়েছে, যার উপর একটি বল কাজ করে (লাল তীর)। এটা স্বজ্ঞাতভাবে স্পষ্ট যে এই বলের ফলে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে অক্ষের চারপাশে লিভারের ঘূর্ণন হবে।
পদার্থবিজ্ঞানে বলের মুহূর্ত হল একটি পরিমাণ, যা ঘূর্ণনের অক্ষ এবং বল প্রয়োগের বিন্দু (চিত্রে সবুজ ভেক্টর) এবং বাহ্যিক বলের সাথে সংযোগকারী ব্যাসার্ধের ভেক্টর গুণফলের সমান নিজেই অর্থাৎ, অক্ষ সম্পর্কে বল মুহূর্তের সূত্র লেখা হয়নিম্নরূপ:
M¯=r¯F¯
এই পণ্যের ফলাফল হল ভেক্টর M¯। গুণক ভেক্টর, অর্থাৎ r¯ এবং F¯ এর জ্ঞানের ভিত্তিতে এর দিকনির্দেশ নির্ধারণ করা হয়। একটি ক্রস পণ্যের সংজ্ঞা অনুসারে, M¯ অবশ্যই r¯ এবং F¯ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সমতলে লম্ব হতে হবে এবং ডান হাতের নিয়ম অনুসারে নির্দেশিত হতে হবে (যদি ডান হাতের চারটি আঙ্গুল প্রথম গুণের সাথে স্থাপন করা হয় দ্বিতীয়টির শেষের দিকে ভেক্টর, তারপর থাম্ব নির্দেশ করে যেখানে পছন্দসই ভেক্টর নির্দেশিত হয়)। চিত্রে, আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ভেক্টর M¯ কোথায় নির্দেশিত (নীল তীর)।
স্কেলার স্বরলিপি M¯
আগের অনুচ্ছেদের চিত্রে, বল (লাল তীর) লিভারের উপর 90o কোণে কাজ করে। সাধারণ ক্ষেত্রে, এটি একেবারে যে কোনও কোণে প্রয়োগ করা যেতে পারে। নিচের ছবিটি বিবেচনা করুন।
এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে F বল ইতিমধ্যেই একটি নির্দিষ্ট কোণ Φ এ লিভার L এর উপর কাজ করছে। এই সিস্টেমের জন্য, স্কেলার আকারে একটি বিন্দু (একটি তীর দ্বারা দেখানো) আপেক্ষিক বলের মুহুর্তের সূত্রটি ফর্মটি গ্রহণ করবে:
M=LFsin(Φ)
এটি অভিব্যক্তি থেকে অনুসৃত হয় যে বল M এর মুহূর্তটি বৃহত্তর হবে, F বলের ক্রিয়ার দিকটি L এর সাপেক্ষে 90o কোণের কাছাকাছি হবে বিপরীতভাবে, যদি F L বরাবর কাজ করে, তাহলে sin(0)=0 এবং বল কোনো মুহূর্ত তৈরি করে না (M=0)।
স্কেলার আকারে বলের মুহূর্ত বিবেচনা করার সময়, "বলের লিভার" ধারণাটি প্রায়শই ব্যবহৃত হয়। এই মানটি অক্ষের মধ্যে দূরত্ব (বিন্দুঘূর্ণন) এবং ভেক্টর F. উপরের চিত্রে এই সংজ্ঞা প্রয়োগ করে, আমরা বলতে পারি যে d=Lsin(Φ) হল বলের লিভার (ত্রিকোণমিতিক ফাংশন "সাইন" এর সংজ্ঞা থেকে সমতা অনুসরণ করে)। শক্তির লিভারের মাধ্যমে, M মুহুর্তের সূত্রটি নিম্নরূপ পুনরায় লেখা যেতে পারে:
M=dF
M
এর শারীরিক অর্থ
বিবেচিত ভৌত পরিমাণ সিস্টেমে একটি ঘূর্ণনশীল প্রভাব প্রয়োগ করার জন্য বাহ্যিক শক্তি F এর ক্ষমতা নির্ধারণ করে। শরীরকে ঘূর্ণায়মান গতিতে আনতে, এটিকে কিছু মুহুর্তের M.
জানাতে হবে
এই প্রক্রিয়ার একটি প্রধান উদাহরণ হল একটি ঘরের দরজা খোলা বা বন্ধ করা। হ্যান্ডেলটি ধরে রেখে, ব্যক্তি একটি প্রচেষ্টা করে এবং দরজাটি তার কব্জায় ঘুরিয়ে দেয়। সবাই এটা করতে পারে। যদি আপনি কব্জাগুলির কাছে এটির উপর কাজ করে দরজা খোলার চেষ্টা করেন, তবে আপনাকে এটি সরানোর জন্য প্রচুর প্রচেষ্টা করতে হবে৷
আরেকটি উদাহরণ হল রেঞ্চ দিয়ে একটি বাদাম আলগা করা। এই কীটি যত ছোট হবে, কাজটি সম্পূর্ণ করা তত কঠিন হবে।
নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যগুলি কাঁধের উপর জোরের মুহুর্তের সূত্র দ্বারা প্রদর্শিত হয়, যা পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে দেওয়া হয়েছিল। যদি M একটি ধ্রুবক মান হিসাবে বিবেচিত হয়, তাহলে একটি নির্দিষ্ট মুহূর্ত বল তৈরি করতে ছোট d, বৃহত্তর F প্রয়োগ করতে হবে।
ব্যবস্থায় বেশ কিছু অভিনয় শক্তি
উপরের ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়েছিল যখন শুধুমাত্র একটি বল F ঘূর্ণন করতে সক্ষম একটি সিস্টেমে কাজ করে, কিন্তু যদি এরকম বেশ কয়েকটি বল থাকে? প্রকৃতপক্ষে, এই পরিস্থিতি আরও ঘন ঘন হয়, যেহেতু বাহিনী সিস্টেমে কাজ করতে পারেভিন্ন প্রকৃতি (মাধ্যাকর্ষণ, বৈদ্যুতিক, ঘর্ষণ, যান্ত্রিক এবং অন্যান্য)। এই সমস্ত ক্ষেত্রে, M¯ এর ফলের মুহূর্ত Mi¯, যেমন:
ভেক্টর যোগফল ব্যবহার করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে
M¯=∑i(Mi¯), যেখানে i শক্তি সংখ্যা Fi
মুহুর্তের সংযোজন বৈশিষ্ট্য থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ উপসংহার অনুসরণ করা হয়, যাকে বলা হয় ভারিগননের উপপাদ্য, যার নামকরণ করা হয়েছিল 17 শতকের শেষের দিকে - 18 শতকের শুরুর দিকের গণিতবিদ - ফরাসী পিয়েরে ভারিগননের নামে। এটি পড়ে: "বিবেচনাধীন সিস্টেমে কাজ করা সমস্ত শক্তির মুহুর্তের যোগফলকে একটি শক্তির মুহূর্ত হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে, যা অন্য সকলের যোগফলের সমান এবং একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে প্রয়োগ করা হয়।" গাণিতিকভাবে, উপপাদ্যটি নিম্নরূপ লেখা যেতে পারে:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
এই গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্যটি প্রায়শই শরীরের ঘূর্ণন এবং ভারসাম্যের সমস্যা সমাধানের জন্য অনুশীলনে ব্যবহৃত হয়।
এক মুহূর্ত কি জোর করে কাজ করে?
উপরের সূত্রগুলোকে স্কেলার বা ভেক্টর আকারে বিশ্লেষণ করলে আমরা এই উপসংহারে আসতে পারি যে M-এর মান কিছু কাজ। প্রকৃতপক্ষে, এর মাত্রা হল Nm, যা SI তে জুল (J) এর সাথে মিলে যায়। আসলে, শক্তির মুহূর্তটি কাজ নয়, কেবলমাত্র একটি পরিমাণ যা এটি করতে সক্ষম। এটি ঘটার জন্য, সিস্টেমে একটি বৃত্তাকার গতি এবং একটি দীর্ঘমেয়াদী ক্রিয়া M থাকা প্রয়োজন। তাই, শক্তির মুহূর্তের কাজের সূত্রটি নিম্নরূপ লেখা হয়েছে:
A=Mθ
Bএই রাশিতে, θ হল সেই কোণ যার মাধ্যমে ঘূর্ণনটি M বলের মুহূর্ত দ্বারা তৈরি হয়েছিল। ফলস্বরূপ, কাজের এককটিকে Nmrad বা Jrad হিসাবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 60 Jrad-এর মান নির্দেশ করে যে যখন 1 রেডিয়ান (বৃত্তের প্রায় 1/3) দ্বারা ঘোরানো হয়, তখন F যে বলটি তৈরি করে সেই মুহূর্তে M 60 জুল কাজ করেছে। এই সূত্রটি প্রায়শই এমন সিস্টেমে সমস্যাগুলি সমাধান করার সময় ব্যবহৃত হয় যেখানে ঘর্ষণ শক্তি কাজ করে, যেমনটি নীচে দেখানো হবে৷
বলের মুহূর্ত এবং গতির মুহূর্ত
যেমন দেখানো হয়েছে, সিস্টেমে M মুহুর্তের প্রভাব এটিতে ঘূর্ণন গতির উপস্থিতির দিকে নিয়ে যায়। পরেরটি "মোমেন্টাম" নামক একটি পরিমাণ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:
L=আমিω
এখানে আমি জড়তার মুহূর্ত (একটি মান যা শরীরের রৈখিক গতিতে ভর হিসাবে ঘূর্ণনে একই ভূমিকা পালন করে), ω হল কৌণিক বেগ, এটি সূত্র দ্বারা রৈখিক বেগের সাথে সম্পর্কিত ω=v/r.
উভয় মুহূর্ত (বেগ এবং বল) নিম্নলিখিত অভিব্যক্তি দ্বারা একে অপরের সাথে সম্পর্কিত:
M=Iα, যেখানে α=dω / dt হল কৌণিক ত্বরণ।
আসুন আরেকটি সূত্র দেওয়া যাক যা মুহূর্তের শক্তির কাজের জন্য সমস্যা সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ। এই সূত্রটি ব্যবহার করে, আপনি একটি ঘূর্ণায়মান শরীরের গতিশক্তি গণনা করতে পারেন। সে দেখতে এরকম:
Ek=1/2আমিω2
পরবর্তী, আমরা সমাধান সহ দুটি সমস্যা উপস্থাপন করছি, যেখানে আমরা দেখাই কিভাবে বিবেচিত শারীরিক সূত্রগুলি ব্যবহার করতে হয়।
বিভিন্ন দেহের ভারসাম্য
প্রথম কাজটি একটি সিস্টেমের ভারসাম্যের সাথে সম্পর্কিত যেখানে বেশ কয়েকটি শক্তি কাজ করে। উপরেনীচের চিত্রটি এমন একটি সিস্টেম দেখায় যা তিনটি শক্তি দ্বারা পরিচালিত হয়। এই লিভার থেকে বস্তুটিকে কত ভর সাসপেন্ড করতে হবে এবং এই সিস্টেমটি ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য কোন সময়ে এটি করা উচিত তা গণনা করা প্রয়োজন৷
সমস্যার অবস্থা থেকে, আমরা বুঝতে পারি যে এটি সমাধান করতে, একজনকে ভ্যারিগনন উপপাদ্য ব্যবহার করা উচিত। সমস্যার প্রথম অংশটি অবিলম্বে উত্তর দেওয়া যেতে পারে, যেহেতু লিভার থেকে ঝুলানো বস্তুর ওজন হবে:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 H
এখানে চিহ্নগুলিকে বিবেচনা করে বেছে নেওয়া হয়েছে যে বল যে লিভার ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে ঘোরে তা একটি নেতিবাচক মুহূর্ত তৈরি করে৷
বিন্দু d এর অবস্থান, যেখানে এই ওজন ঝুলানো উচিত, সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
উল্লেখ্য যে মহাকর্ষের মুহূর্তটির সূত্র ব্যবহার করে, আমরা তিনটি শক্তি দ্বারা সৃষ্ট একটি সমতুল্য মান M গণনা করেছি। সিস্টেমটি ভারসাম্য বজায় রাখার জন্য, লিভারের অপর পাশের অক্ষ থেকে 4, 714 মিটার বিন্দুতে 35 N ওজনের একটি শরীরকে স্থগিত করা প্রয়োজন৷
ডিস্ক সরানোর সমস্যা
নিম্নলিখিত সমস্যার সমাধান ঘর্ষণ বল এবং বিপ্লবের শরীরের গতিশক্তির মুহুর্তের সূত্র ব্যবহারের উপর ভিত্তি করে। টাস্ক: r=0.3 মিটার ব্যাসার্ধের একটি ডিস্ক দেওয়া হয়েছে, যা ω=1 rad/s গতিতে ঘোরে। ঘূর্ণায়মান ঘর্ষণ সহগ Μ=0.001 হলে এটি পৃষ্ঠের উপর কতদূর যেতে পারে তা গণনা করা প্রয়োজন।
আপনি যদি শক্তি সংরক্ষণের আইন ব্যবহার করেন তবে এই সমস্যাটি সমাধান করা সবচেয়ে সহজ। আমাদের কাছে ডিস্কের প্রাথমিক গতিশক্তি আছে। যখন এটি ঘূর্ণায়মান হতে শুরু করে, তখন এই সমস্ত শক্তি ঘর্ষণ বলের ক্রিয়াকলাপের কারণে পৃষ্ঠকে উত্তপ্ত করতে ব্যয় হয়। উভয় পরিমাণকে সমান করে, আমরা অভিব্যক্তি পাই:
Iω2/2=ΜN/rrθ
সূত্রের প্রথম অংশটি হল ডিস্কের গতিশক্তি। দ্বিতীয় অংশটি হল ঘর্ষণ বলের মুহূর্তের কাজ F=ΜN/r, ডিস্কের প্রান্তে প্রয়োগ করা হয় (M=Fr)।
প্রদত্ত যে N=mg এবং I=1/2mr2, আমরা গণনা করি θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40.0019.81)=2.29358 rad
যেহেতু 2pi রেডিয়ান 2pir এর দৈর্ঘ্যের সাথে মিলে যায়, তাহলে আমরা বুঝতে পারি যে ডিস্কটি যে প্রয়োজনীয় দূরত্বটি কভার করবে তা হল:
s=θr=2.293580.3=0.688m বা প্রায় 69cm
মনে রাখবেন যে ডিস্কের ভর এই ফলাফলকে প্রভাবিত করে না।
