ফুরিয়ার সিরিজ একটি সিরিজ হিসাবে একটি নির্দিষ্ট সময়কালের সাথে নির্বিচারে নেওয়া ফাংশনের একটি উপস্থাপনা। সাধারণ পরিভাষায়, এই দ্রবণকে অর্থোগোনাল ভিত্তিতে একটি মৌলের পচন বলা হয়। ফুরিয়ার সিরিজে ফাংশনগুলির সম্প্রসারণ এই রূপান্তরের বৈশিষ্ট্যগুলির কারণে বিভিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য একটি মোটামুটি শক্তিশালী হাতিয়ার যখন সংহতকরণ, পার্থক্য এবং সেইসাথে একটি যুক্তি এবং কনভল্যুশনে একটি অভিব্যক্তি স্থানান্তরিত হয়৷
একজন ব্যক্তি যিনি উচ্চতর গণিতের সাথে পরিচিত নন, সেইসাথে ফরাসি বিজ্ঞানী ফুরিয়ারের কাজের সাথে, সম্ভবত এই "সারি" কী এবং এগুলি কীসের জন্য তা বুঝতে পারবেন না। এদিকে, এই রূপান্তরটি আমাদের জীবনে বেশ ঘন হয়ে উঠেছে। এটি শুধুমাত্র গণিতবিদদের দ্বারাই নয়, পদার্থবিদ, রসায়নবিদ, চিকিত্সক, জ্যোতির্বিজ্ঞানী, সিসমোলজিস্ট, সমুদ্রবিজ্ঞানী এবং আরও অনেকে ব্যবহার করেন। আসুন মহান ফরাসি বিজ্ঞানীর কাজগুলি ঘনিষ্ঠভাবে দেখে নেওয়া যাক, যিনি তার সময়ের আগে একটি আবিষ্কার করেছিলেন৷
ম্যান অ্যান্ড দ্য ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম
ফুরিয়ার সিরিজ হল ফুরিয়ার রূপান্তরের অন্যতম পদ্ধতি (বিশ্লেষণ এবং অন্যান্য সহ)। এই প্রক্রিয়াটি প্রতিবারই ঘটে যখন একজন ব্যক্তি একটি শব্দ শোনেন। আমাদের কান স্বয়ংক্রিয়ভাবে শব্দকে রূপান্তরিত করেতরঙ্গ একটি স্থিতিস্থাপক মাধ্যমে প্রাথমিক কণার দোলক গতি বিভিন্ন উচ্চতার টোনের জন্য আয়তন স্তরের ধারাবাহিক মানের সারিগুলিতে (বর্ণালী বরাবর) পচে যায়। এর পরে, মস্তিষ্ক এই ডেটাটিকে আমাদের কাছে পরিচিত শব্দে পরিণত করে। এই সব আমাদের ইচ্ছা বা চেতনা ছাড়াও ঘটে, কিন্তু এই প্রক্রিয়াগুলি বুঝতে, উচ্চতর গণিত অধ্যয়ন করতে কয়েক বছর সময় লাগবে।
ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম সম্পর্কে আরও
ফুরিয়ার রূপান্তর বিশ্লেষণাত্মক, সংখ্যাসূচক এবং অন্যান্য পদ্ধতির মাধ্যমে করা যেতে পারে। ফুরিয়ার সিরিজ কোন দোলক প্রক্রিয়ার পচনের সংখ্যাগত উপায়কে নির্দেশ করে - সমুদ্রের জোয়ার এবং আলোর তরঙ্গ থেকে সৌর (এবং অন্যান্য জ্যোতির্বিদ্যার বস্তুর) কার্যকলাপের চক্র পর্যন্ত। এই গাণিতিক কৌশলগুলি ব্যবহার করে, ফাংশন বিশ্লেষণ করা সম্ভব, যে কোনো দোলনীয় প্রক্রিয়াকে সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির একটি সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করে যা সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং এর বিপরীতে যায়। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি ফাংশন যা একটি নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত সাইনোসয়েডের ফেজ এবং প্রশস্ততা বর্ণনা করে। এই প্রক্রিয়াটি খুব জটিল সমীকরণগুলি সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা তাপ, আলো বা বৈদ্যুতিক শক্তির প্রভাবে ঘটে যাওয়া গতিশীল প্রক্রিয়াগুলিকে বর্ণনা করে। এছাড়াও, ফুরিয়ার সিরিজ জটিল দোলক সংকেতগুলির ধ্রুবক উপাদানগুলিকে বিচ্ছিন্ন করা সম্ভব করে, যা ওষুধ, রসায়ন এবং জ্যোতির্বিদ্যায় প্রাপ্ত পরীক্ষামূলক পর্যবেক্ষণগুলিকে সঠিকভাবে ব্যাখ্যা করা সম্ভব করে তোলে৷
ঐতিহাসিক পটভূমি
এই তত্ত্বের প্রতিষ্ঠাতাজিন ব্যাপটিস্ট জোসেফ ফুরিয়ার একজন ফরাসি গণিতবিদ। এই রূপান্তরটি পরবর্তীকালে তার নামে নামকরণ করা হয়েছিল। প্রাথমিকভাবে, বিজ্ঞানী তাপ সঞ্চালনের প্রক্রিয়াগুলি অধ্যয়ন এবং ব্যাখ্যা করার জন্য তার পদ্ধতি প্রয়োগ করেছিলেন - কঠিন পদার্থে তাপের বিস্তার। ফুরিয়ার পরামর্শ দিয়েছিলেন যে তাপ তরঙ্গের প্রাথমিক অনিয়মিত বন্টন সহজতম সাইনোসয়েডগুলিতে পচে যেতে পারে, যার প্রত্যেকটির নিজস্ব তাপমাত্রা সর্বনিম্ন এবং সর্বোচ্চ এবং সেইসাথে তার নিজস্ব ধাপ থাকবে। এই ক্ষেত্রে, এই জাতীয় প্রতিটি উপাদান সর্বনিম্ন থেকে সর্বোচ্চ এবং তদ্বিপরীত পরিমাপ করা হবে। যে গাণিতিক ফাংশনটি বক্ররেখার উপরের এবং নীচের শিখরগুলিকে বর্ণনা করে, সেইসাথে প্রতিটি হারমোনিক্সের পর্যায়কে বর্ণনা করে, তাকে তাপমাত্রা বন্টন প্রকাশের ফুরিয়ার রূপান্তর বলা হয়। তত্ত্বের লেখক সাধারণ বণ্টন ফাংশনকে হ্রাস করেছেন, যা গাণিতিকভাবে বর্ণনা করা কঠিন, একটি খুব সহজে পরিচালনা করা পর্যায়ক্রমিক কোসাইন এবং সাইন ফাংশনগুলির একটি সিরিজ যা মূল বিতরণের সাথে যোগ করে।
রূপান্তরের নীতি এবং সমসাময়িকদের মতামত
বিজ্ঞানীর সমসাময়িকরা - উনিশ শতকের প্রথম দিকের নেতৃস্থানীয় গণিতবিদরা - এই তত্ত্বটি গ্রহণ করেননি। প্রধান আপত্তি ছিল ফুরিয়ারের দাবী যে একটি বিচ্ছিন্ন ফাংশন একটি সরলরেখা বা একটি বিচ্ছিন্ন বক্ররেখা বর্ণনা করে যা অবিচ্ছিন্ন সাইনোসয়েডাল অভিব্যক্তির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে। একটি উদাহরণ হিসাবে, হেভিসাইডের "পদক্ষেপ" বিবেচনা করুন: এর মান ফাঁকের বামে শূন্য এবং ডানে একটি। এই ফাংশনটি সার্কিট বন্ধ থাকাকালীন সময়ের পরিবর্তনশীলের উপর বৈদ্যুতিক প্রবাহের নির্ভরতা বর্ণনা করে। তৎকালীন তত্ত্বের সমসাময়িকরা কখনোই এমন ঘটনার সম্মুখীন হননিএমন একটি পরিস্থিতি যেখানে অবিচ্ছিন্ন অভিব্যক্তিটি ক্রমাগত, সাধারণ ফাংশনগুলির সংমিশ্রণ দ্বারা বর্ণনা করা হবে, যেমন সূচকীয়, সাইনুসয়েড, রৈখিক বা চতুর্মুখী৷
ফুরিয়ার তত্ত্বে ফরাসি গণিতবিদরা কী বিভ্রান্ত হয়েছেন?
অবশেষে, গণিতবিদ যদি তার বক্তব্যে সঠিক ছিলেন, তাহলে অসীম ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজের সংক্ষিপ্তসার করলে, আপনি ধাপের অভিব্যক্তিটির সঠিক উপস্থাপনা পেতে পারেন যদিও এটিতে অনেকগুলি অনুরূপ পদক্ষেপ রয়েছে। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে এ ধরনের বক্তব্য অযৌক্তিক মনে হয়েছিল। কিন্তু সমস্ত সন্দেহ সত্ত্বেও, অনেক গণিতবিদ এই ঘটনাটির অধ্যয়নের সুযোগকে প্রসারিত করেছেন, এটিকে তাপ পরিবাহিতা অধ্যয়নের সুযোগের বাইরে নিয়ে গেছেন। যাইহোক, বেশিরভাগ বিজ্ঞানী এই প্রশ্নটি নিয়ে ব্যথিত হতে থাকলেন: "একটি সাইনোসয়েডাল সিরিজের যোগফল কি একটি অবিচ্ছিন্ন ফাংশনের সঠিক মানের সাথে মিলিত হতে পারে?"
ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স: উদাহরণ
সংখ্যার অসীম সিরিজের যোগফল যখনই প্রয়োজন হয় তখনই কনভারজেন্সের প্রশ্ন উত্থাপিত হয়। এই ঘটনাটি বুঝতে, একটি ক্লাসিক উদাহরণ বিবেচনা করুন। আপনি কি কখনও প্রাচীরের কাছে পৌঁছাতে পারবেন যদি প্রতিটি ধারাবাহিক পদক্ষেপ পূর্ববর্তীটির আকারের অর্ধেক হয়? ধরুন আপনি লক্ষ্য থেকে দুই মিটার দূরে আছেন, প্রথম ধাপটি আপনাকে অর্ধেক পয়েন্টের কাছাকাছি নিয়ে আসবে, পরেরটি তিন-চতুর্থাংশ চিহ্নের কাছাকাছি, এবং পঞ্চম ধাপের পর আপনি পথের প্রায় 97 শতাংশ কভার করবেন। যাইহোক, আপনি যতই পদক্ষেপ গ্রহণ করুন না কেন, কঠোর গাণিতিক অর্থে আপনি কাঙ্ক্ষিত লক্ষ্য অর্জন করতে পারবেন না। সংখ্যাগত গণনা ব্যবহার করে, কেউ প্রমাণ করতে পারে যে শেষ পর্যন্ত কেউ যতটা পছন্দ করে ততটা কাছে পেতে পারে।ছোট নির্দিষ্ট দূরত্ব। এই প্রমাণটি দেখানোর সমতুল্য যে এক-অর্ধেক, এক-চতুর্থাংশ, ইত্যাদির সমষ্টির মান এক হবে।
কনভারজেন্সের প্রশ্ন: দ্য সেকেন্ড কমিং, বা লর্ড কেলভিনের অ্যাপ্লায়েন্স
বারবার এই প্রশ্নটি ঊনবিংশ শতাব্দীর শেষের দিকে উত্থাপিত হয়েছিল, যখন ভাটা এবং প্রবাহের তীব্রতা অনুমান করার জন্য ফুরিয়ার সিরিজ ব্যবহার করার চেষ্টা করা হয়েছিল। এই সময়ে, লর্ড কেলভিন একটি ডিভাইস আবিষ্কার করেন, যা একটি এনালগ কম্পিউটিং ডিভাইস যা সামরিক বাহিনী এবং বণিক বহরের নাবিকদের এই প্রাকৃতিক ঘটনাটি ট্র্যাক করার অনুমতি দেয়। এই প্রক্রিয়াটি জোয়ারের উচ্চতা এবং তাদের সংশ্লিষ্ট সময়ের মুহূর্তগুলির একটি সারণী থেকে পর্যায়গুলি এবং প্রশস্ততার সেটগুলি নির্ধারণ করে, বছরের একটি প্রদত্ত বন্দরে সাবধানে পরিমাপ করা হয়। প্রতিটি প্যারামিটার ছিল জোয়ারের উচ্চতা প্রকাশের একটি সাইনোসয়েডাল উপাদান এবং নিয়মিত উপাদানগুলির মধ্যে একটি ছিল। পরিমাপের ফলাফলগুলি লর্ড কেলভিনের ক্যালকুলেটরে প্রবেশ করানো হয়েছিল, যা একটি বক্ররেখা সংশ্লেষিত করেছিল যা পরবর্তী বছরের জন্য সময়ের ফাংশন হিসাবে জলের উচ্চতা পূর্বাভাস দেয়। খুব শীঘ্রই বিশ্বের সমস্ত পোতাশ্রয়ের জন্য একই ধরনের বক্ররেখা তৈরি করা হয়েছিল৷
এবং যদি প্রক্রিয়াটি একটি বিরতিহীন ফাংশন দ্বারা ভেঙে যায়?
সেই সময়ে, এটা স্পষ্ট মনে হয়েছিল যে বিপুল সংখ্যক গণনা উপাদান সহ একটি জোয়ার-ভাটার ভবিষ্যদ্বাণীকারী অনেকগুলি পর্যায় এবং প্রশস্ততা গণনা করতে পারে এবং এইভাবে আরও সঠিক ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করতে পারে। তবুও, দেখা গেল যে এই নিয়মিততা এমন ক্ষেত্রে পরিলক্ষিত হয় না যেখানে জোয়ারের অভিব্যক্তি, যা অনুসরণ করেসংশ্লেষিত, একটি তীক্ষ্ণ লাফ ধারণ করে, অর্থাৎ, এটি অবিচ্ছিন্ন ছিল। ইভেন্টে যে সময় মুহূর্তগুলির টেবিল থেকে ডিভাইসে ডেটা প্রবেশ করা হয়, তারপরে এটি বেশ কয়েকটি ফুরিয়ার সহগ গণনা করে। মূল ফাংশন পুনরুদ্ধার করা হয় সাইনোসয়েডাল উপাদানগুলির জন্য ধন্যবাদ (পাওয়া সহগ অনুযায়ী)। মূল এবং পুনরুদ্ধার করা অভিব্যক্তির মধ্যে পার্থক্য যে কোনো সময়ে পরিমাপ করা যেতে পারে। বারবার গণনা এবং তুলনা করার সময়, এটি দেখা যায় যে বৃহত্তম ত্রুটির মান হ্রাস পায় না। যাইহোক, এগুলি বিচ্ছিন্নতা বিন্দুর সাথে সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে স্থানীয়করণ করা হয় এবং অন্য কোন বিন্দুতে শূন্যের দিকে ঝোঁক। 1899 সালে, এই ফলাফলটি তাত্ত্বিকভাবে ইয়েল বিশ্ববিদ্যালয়ের জোশুয়া উইলার্ড গিবস দ্বারা নিশ্চিত করা হয়েছিল।
ফুরিয়ার সিরিজের কনভারজেন্স এবং সাধারণভাবে গণিতের বিকাশ
ফুরিয়ার বিশ্লেষণ একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে অসীম সংখ্যক বিস্ফোরণ ধারণকারী অভিব্যক্তির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়। সাধারণভাবে, ফুরিয়ার সিরিজ, যদি আসল ফাংশনটি প্রকৃত শারীরিক পরিমাপের ফলাফল হয়, সর্বদা একত্রিত হয়। ফাংশনের নির্দিষ্ট শ্রেণীর জন্য এই প্রক্রিয়ার একত্রিত হওয়ার প্রশ্নগুলি গণিতে নতুন বিভাগগুলির উত্থানের দিকে পরিচালিত করেছে, উদাহরণস্বরূপ, সাধারণ ফাংশনের তত্ত্ব। এটি L. Schwartz, J. Mikusinsky এবং J. Temple এর মতো নামের সাথে যুক্ত। এই তত্ত্বের কাঠামোর মধ্যে, ডিরাক ডেল্টা ফাংশন (এটি একটি বিন্দুর অসীম ছোট আশেপাশে কেন্দ্রীভূত একটি একক এলাকার একটি এলাকাকে বর্ণনা করে) এবং হেভিসাইড " পদক্ষেপ"। এই কাজের জন্য ধন্যবাদ, ফুরিয়ার সিরিজ প্রযোজ্য হয়ে ওঠেসমীকরণ এবং সমস্যাগুলি সমাধান করা যা স্বজ্ঞাত ধারণাগুলি জড়িত: বিন্দু চার্জ, বিন্দু ভর, চৌম্বকীয় ডাইপোল, সেইসাথে একটি বিমের উপর একটি ঘনীভূত লোড।
ফুরিয়ার পদ্ধতি
ফুরিয়ার সিরিজ, হস্তক্ষেপের নীতি অনুসারে, জটিল ফর্মগুলিকে সহজে পচিয়ে দিয়ে শুরু হয়। উদাহরণস্বরূপ, তাপ প্রবাহের পরিবর্তনকে ব্যাখ্যা করা হয় অনিয়মিত আকারের তাপ-অন্তরক উপাদান দিয়ে তৈরি বিভিন্ন বাধার মধ্য দিয়ে যাওয়ার মাধ্যমে বা পৃথিবীর পৃষ্ঠের পরিবর্তন - একটি ভূমিকম্প, একটি মহাকাশীয় বস্তুর কক্ষপথে পরিবর্তন - এর প্রভাব। গ্রহ একটি নিয়ম হিসাবে, সাধারণ শাস্ত্রীয় সিস্টেমের বর্ণনাকারী অনুরূপ সমীকরণগুলি প্রতিটি পৃথক তরঙ্গের জন্য প্রাথমিকভাবে সমাধান করা হয়। ফুরিয়ার দেখিয়েছিলেন যে আরও জটিল সমস্যার সমাধান দিতে সহজ সমাধানগুলিকেও যোগ করা যেতে পারে। গণিতের ভাষায়, ফুরিয়ার সিরিজ হল একটি অভিব্যক্তিকে হারমোনিক্স - কোসাইন এবং সাইনুসয়েডের সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করার একটি কৌশল। তাই, এই বিশ্লেষণটিকে "হারমোনিক বিশ্লেষণ" নামেও পরিচিত।
ফুরিয়ার সিরিজ - "কম্পিউটার যুগ" এর আগে আদর্শ কৌশল
কম্পিউটার প্রযুক্তি তৈরির আগে, আমাদের বিশ্বের তরঙ্গ প্রকৃতির সাথে কাজ করার সময় ফুরিয়ার কৌশলটি বিজ্ঞানীদের অস্ত্রাগারের সেরা অস্ত্র ছিল। একটি জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজটি কেবলমাত্র সাধারণ সমস্যাগুলিই সমাধান করতে দেয় না যা সরাসরি নিউটনের বলবিদ্যার আইনগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে, তবে মৌলিক সমীকরণগুলিও। ঊনবিংশ শতাব্দীতে নিউটনীয় বিজ্ঞানের বেশিরভাগ আবিষ্কার শুধুমাত্র ফুরিয়ারের কৌশল দ্বারা সম্ভব হয়েছিল।
ফুরিয়ার সিরিজ আজ
ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম কম্পিউটারের বিকাশের সাথেএকটি সম্পূর্ণ নতুন স্তরে উত্থাপিত. এই কৌশলটি বিজ্ঞান ও প্রযুক্তির প্রায় সব ক্ষেত্রেই দৃঢ়ভাবে নিহিত রয়েছে। একটি উদাহরণ হল একটি ডিজিটাল অডিও এবং ভিডিও সংকেত। ঊনবিংশ শতাব্দীর শুরুতে একজন ফরাসি গণিতবিদ দ্বারা বিকশিত তত্ত্বের জন্যই এর উপলব্ধি সম্ভব হয়েছিল। এইভাবে, একটি জটিল আকারে ফুরিয়ার সিরিজ মহাকাশের অধ্যয়নে একটি যুগান্তকারী করা সম্ভব করেছে। উপরন্তু, এটি অর্ধপরিবাহী পদার্থ এবং প্লাজমা, মাইক্রোওয়েভ ধ্বনিবিদ্যা, সমুদ্রবিদ্যা, রাডার, সিসমোলজির পদার্থবিদ্যার অধ্যয়নকে প্রভাবিত করেছে।
ত্রিকোণমিতিক ফুরিয়ার সিরিজ
গণিতে, একটি ফুরিয়ার সিরিজ হল নির্বিচারে জটিল ফাংশনগুলিকে সহজতরগুলির সমষ্টি হিসাবে উপস্থাপন করার একটি উপায়। সাধারণ ক্ষেত্রে, এই ধরনের অভিব্যক্তির সংখ্যা অসীম হতে পারে। তদুপরি, গণনায় তাদের সংখ্যা যত বেশি বিবেচনা করা হয়, চূড়ান্ত ফলাফল তত বেশি নির্ভুল। প্রায়শই, কোসাইন বা সাইনের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি সহজতম হিসাবে ব্যবহৃত হয়। এই ক্ষেত্রে, ফুরিয়ার সিরিজকে ত্রিকোণমিতিক বলা হয়, এবং এই ধরনের অভিব্যক্তির সমাধানকে বলা হয় হারমোনিকের প্রসারণ। এই পদ্ধতি গণিতে একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। প্রথমত, ত্রিকোণমিতিক সিরিজ চিত্রের জন্য একটি উপায় প্রদান করে, সেইসাথে ফাংশন অধ্যয়ন, এটি তত্ত্বের প্রধান যন্ত্রপাতি। এছাড়াও, এটি গাণিতিক পদার্থবিদ্যার বেশ কয়েকটি সমস্যা সমাধানের অনুমতি দেয়। অবশেষে, এই তত্ত্বটি গাণিতিক বিশ্লেষণের বিকাশে অবদান রেখেছিল, গাণিতিক বিজ্ঞানের (অখণ্ডের তত্ত্ব, পর্যায়ক্রমিক ফাংশনের তত্ত্ব) অনেকগুলি গুরুত্বপূর্ণ বিভাগের জন্ম দিয়েছে। উপরন্তু, এটি নিম্নলিখিত তত্ত্বগুলির বিকাশের জন্য একটি সূচনা পয়েন্ট হিসাবে কাজ করেছে: সেট, ফাংশনবাস্তব পরিবর্তনশীল, কার্যকরী বিশ্লেষণ, এবং সুরেলা বিশ্লেষণের ভিত্তি স্থাপন করে।
