অখণ্ডের ধারণার উদ্ভব হয়েছিল এর ডেরিভেটিভ দ্বারা অ্যান্টিডেরিভেটিভ ফাংশন খুঁজে বের করার পাশাপাশি কাজের পরিমাণ, জটিল পরিসংখ্যানের ক্ষেত্রফল, ভ্রমণ করা দূরত্ব, অরৈখিক সূত্র দ্বারা বর্ণিত বক্ররেখা দ্বারা পরামিতি।
কোর্স থেকে
এবং পদার্থবিদ্যা জানে যে কাজ বল এবং দূরত্বের গুণফলের সমান। যদি সমস্ত আন্দোলন একটি ধ্রুবক গতিতে ঘটে বা একই শক্তি প্রয়োগের মাধ্যমে দূরত্ব অতিক্রম করা হয়, তবে সবকিছু পরিষ্কার, আপনাকে কেবল সেগুলি গুণ করতে হবে। একটি ধ্রুবকের একটি অবিচ্ছেদ্য কি? এটি y=kx+c ফর্মের একটি রৈখিক ফাংশন।
কিন্তু কাজের সময় শক্তি পরিবর্তিত হতে পারে, এবং একধরনের প্রাকৃতিক নির্ভরতায়। যদি গতি ধ্রুবক না হয় তবে ভ্রমণ করা দূরত্বের গণনার ক্ষেত্রেও একই পরিস্থিতি ঘটে।
সুতরাং, এটা পরিষ্কার যে অখণ্ডটা কিসের জন্য। যুক্তির একটি অসীম বৃদ্ধি দ্বারা ফাংশন মানের পণ্যগুলির সমষ্টি হিসাবে এর সংজ্ঞাটি এই ধারণার মূল অর্থটিকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করে যেমন একটি চিত্রের ক্ষেত্রফলের ক্ষেত্রটি ফাংশনের লাইন দ্বারা উপরে থেকে আবদ্ধ, এবং সংজ্ঞার সীমানা দ্বারা প্রান্ত।
জিন গ্যাস্টন ডারবক্স, ফরাসি গণিতবিদ, XIX এর দ্বিতীয়ার্ধেশতাব্দী একটি অবিচ্ছেদ্য কি খুব স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা. তিনি এতটাই স্পষ্ট করেছেন যে সাধারণভাবে একজন জুনিয়র হাই স্কুলের ছাত্রের পক্ষেও এই সমস্যাটি বোঝা কঠিন হবে না।
ধরা যাক যেকোন জটিল ফর্মের একটি ফাংশন আছে। y-অক্ষ, যার উপর আর্গুমেন্টের মানগুলি প্লট করা হয়েছে, ছোট ব্যবধানে বিভক্ত, আদর্শভাবে সেগুলি অসীমভাবে ছোট, কিন্তু যেহেতু অসীমের ধারণাটি বরং বিমূর্ত, তাই কেবলমাত্র ছোট ছোট অংশগুলি কল্পনা করাই যথেষ্ট, মান যার মধ্যে সাধারণত গ্রীক অক্ষর Δ (ডেল্টা) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।
ফাংশনটি "কাট" হয়ে ছোট ইটে পরিণত হয়েছে৷
প্রতিটি আর্গুমেন্ট মান y-অক্ষের একটি বিন্দুর সাথে মিলে যায়, যার উপর সংশ্লিষ্ট ফাংশনের মানগুলি প্লট করা হয়৷ কিন্তু যেহেতু নির্বাচিত এলাকার দুটি সীমানা আছে, তাই ফাংশনের দুটি মানও থাকবে কম বেশি।
বৃহত্তর মানের পণ্যের যোগফল Δ দ্বারা বৃহৎ ডারবক্স যোগফল বলা হয়, এবং এটিকে S হিসাবে চিহ্নিত করা হয়। তদনুসারে, একটি সীমিত ক্ষেত্রের ছোট মানগুলিকে Δ দ্বারা গুণ করা হয় একটি ছোট Darboux যোগফল s গঠন. বিভাগটি নিজেই একটি আয়তক্ষেত্রাকার ট্র্যাপিজয়েডের অনুরূপ, যেহেতু ফাংশনের লাইনের বক্রতা এর অসীম বৃদ্ধির সাথে উপেক্ষা করা যেতে পারে। এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফল বের করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল Δ-বৃদ্ধি দ্বারা ফাংশনের বৃহত্তর এবং ছোট মানের পণ্য যোগ করা এবং দুই দ্বারা ভাগ করা, অর্থাৎ, এটিকে পাটিগণিত গড় হিসাবে নির্ধারণ করা।
এটি হল ডার্বক্স ইন্টিগ্রাল:
s=Σf(x) Δ হল একটি ছোট পরিমাণ;
S=Σf(x+Δ)Δ একটি বড় সমষ্টি।
তাহলে একটি অবিচ্ছেদ্য কি? ফাংশন লাইন দ্বারা আবদ্ধ এলাকা এবং সংজ্ঞা সীমানা হবে:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
অর্থাৎ, বড় এবং ছোট Darboux sums.c এর পাটিগণিত গড় হল একটি ধ্রুবক মান যা পার্থক্যের সময় শূন্যে সেট করা হয়।
এই ধারণার জ্যামিতিক অভিব্যক্তির উপর ভিত্তি করে, অখণ্ডের ভৌত অর্থ স্পষ্ট হয়। চিত্রের ক্ষেত্রফল, গতি ফাংশন দ্বারা রূপরেখা, এবং অ্যাবসিসা অক্ষ বরাবর সময়ের ব্যবধান দ্বারা সীমাবদ্ধ, ভ্রমণ করা পথের দৈর্ঘ্য হবে৷
L=t1 থেকে t2 ব্যবধানে ∫f(x)dx, কোথায়
f(x) – গতি ফাংশন, অর্থাৎ, সূত্র যার দ্বারা এটি সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়;
L – পথের দৈর্ঘ্য;
t1 – শুরুর সময়;
t2 – যাত্রার শেষ সময়।
ঠিক একই নীতি অনুসারে, কাজের পরিমাণ নির্ধারণ করা হয়, কেবল দূরত্বটি অ্যাবসিসা বরাবর প্লট করা হবে এবং প্রতিটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে প্রয়োগ করা শক্তির পরিমাণ অর্ডিনেট বরাবর প্লট করা হবে।
