জীবনে প্রায়শই আমরা একটি ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা মূল্যায়ন করার প্রয়োজনের সম্মুখীন হই। লটারির টিকিট কেনার মূল্য আছে কি না, পরিবারের তৃতীয় সন্তানের লিঙ্গ কী হবে, আগামীকাল আবহাওয়া পরিষ্কার হবে নাকি আবার বৃষ্টি হবে- এমন অজস্র উদাহরণ রয়েছে। সহজ ক্ষেত্রে, আপনার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যাকে মোট ইভেন্টের সংখ্যা দ্বারা ভাগ করা উচিত। লটারিতে যদি 10টি বিজয়ী টিকিট থাকে এবং মোট 50টি থাকে, তাহলে পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা 10/50=0.2, অর্থাৎ 100টির বিপরীতে 20টি। কিন্তু যদি বেশ কয়েকটি ইভেন্ট থাকে এবং সেগুলি ঘনিষ্ঠভাবে হয় সম্পর্কিত? এই ক্ষেত্রে, আমরা আর সহজে আগ্রহী হব না, তবে শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতায়। এই মানটি কী এবং কীভাবে এটি গণনা করা যেতে পারে - এটি আমাদের নিবন্ধে আলোচনা করা হবে৷
ধারণা
শর্তগত সম্ভাবনা হল একটি নির্দিষ্ট ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা, যে অন্য একটি সম্পর্কিত ঘটনা ইতিমধ্যেই ঘটেছে। সঙ্গে একটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করুনএকটি মুদ্রা নিক্ষেপ যদি এখনও ড্র না হয়ে থাকে, তবে হেড বা লেজ পাওয়ার সম্ভাবনা একই থাকবে। কিন্তু যদি পরপর পাঁচবার মুদ্রাটি অস্ত্রের কোটের সাথে শুয়ে থাকে, তাহলে 6 তম, 7 তম এবং আরও বেশি আশা করতে সম্মত হন যাতে এই জাতীয় ফলাফলের 10 তম পুনরাবৃত্তি অযৌক্তিক হবে। প্রতিটি পুনরাবৃত্ত শিরোনামের সাথে, লেজের উপস্থিতির সম্ভাবনা বাড়তে থাকে এবং শীঘ্র বা পরে এটি পড়ে যাবে।
শর্তযুক্ত সম্ভাব্যতার সূত্র
এবার এই মানটি কীভাবে গণনা করা হয় তা বের করা যাক। প্রথম ঘটনাটিকে B এবং দ্বিতীয়টিকে A হিসেবে চিহ্নিত করা যাক। যদি B এর হওয়ার সম্ভাবনা শূন্য থেকে ভিন্ন হয়, তাহলে নিম্নলিখিত সমতা বৈধ হবে:
P (A|B)=P (AB) / P (B), যেখানে:
- P (A|B) – ফলাফল A এর শর্তসাপেক্ষ সম্ভাবনা;
- P (AB) - ঘটনা A এবং B এর যৌথ সংঘটনের সম্ভাবনা;
- P (B) – ইভেন্ট B এর সম্ভাবনা।
এই অনুপাতটিকে সামান্য রূপান্তর করলে, আমরা P (AB)=P (A|B)P (B) পাব। এবং যদি আমরা ইন্ডাকশন পদ্ধতি প্রয়োগ করি, তাহলে আমরা পণ্যের সূত্রটি বের করতে পারি এবং এটি একটি নির্বিচারে ইভেন্টের জন্য ব্যবহার করতে পারি:
P (A1, A2, A3, …A p )=P (A1|A2…Ap)P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)R (Ap).
অভ্যাস
একটি ইভেন্টের শর্তাধীন সম্ভাব্যতা কীভাবে গণনা করা হয় তা বোঝা সহজ করতে, আসুন কয়েকটি উদাহরণ দেখি। ধরুন একটি ফুলদানিতে 8টি চকলেট এবং 7টি পুদিনা রয়েছে। তারা একই আকার এবং এলোমেলো হয়.তাদের দুটি পর পর টানা হয়. তাদের দুজনেরই চকলেট হওয়ার সম্ভাবনা কতটুকু? আসুন স্বরলিপি প্রবর্তন করি। ফলাফল A এর মানে হল যে প্রথম ক্যান্ডিটি চকলেট, ফলাফল B হল দ্বিতীয় চকোলেট ক্যান্ডি। তারপর আপনি নিম্নলিখিত পাবেন:
P (A)=P (B)=8 / 15, P (A|B)=P (B|A)=7 / 14=1/2, P (AB)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
আসুন আরও একটি ঘটনা বিবেচনা করা যাক। ধরুন দুটি সন্তানের একটি পরিবার আছে এবং আমরা জানি যে অন্তত একটি শিশু একটি মেয়ে।
এই পিতামাতার এখনও ছেলে না থাকার শর্তাধীন সম্ভাবনা কী? আগের ক্ষেত্রে যেমন, আমরা স্বরলিপি দিয়ে শুরু করি। P(B) হল পরিবারে অন্তত একটি মেয়ে থাকার সম্ভাবনা, P(A|B) হল দ্বিতীয় সন্তানটিও একটি মেয়ে হওয়ার সম্ভাবনা, P(AB) হল দুটি মেয়ে থাকার সম্ভাবনা পরিবার. এখন গণনা করা যাক. মোট, শিশুদের লিঙ্গের 4 টি ভিন্ন সংমিশ্রণ হতে পারে এবং এই ক্ষেত্রে, শুধুমাত্র একটি ক্ষেত্রে (যখন পরিবারে দুটি ছেলে থাকে), শিশুদের মধ্যে কোন মেয়ে থাকবে না। অতএব, সম্ভাব্যতা P (B)=3/4, এবং P (AB)=1/4। তারপর, আমাদের সূত্র অনুসরণ করে, আমরা পাই:
P (A|B)=1/4: 3/4=1/3.
ফলটি নিম্নরূপ ব্যাখ্যা করা যেতে পারে: যদি আমরা একটি শিশুর লিঙ্গ না জানতাম, তাহলে দুটি মেয়ের সম্ভাবনা 100 এর বিপরীতে 25 হবে। কিন্তু যেহেতু আমরা জানি যে একটি শিশু একটি মেয়ে, তাই ছেলেদের পরিবারের সংখ্যা এক-তৃতীয়াংশে বেড়ে যাওয়ার সম্ভাবনা।
