গোল্ডবাচের সমস্যাটি সমস্ত গণিতের ইতিহাসে সবচেয়ে পুরানো এবং সবচেয়ে বেশি আলোচিত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি৷
এই অনুমানটি 4 × 1018 এর কম সমস্ত পূর্ণসংখ্যার জন্য সত্য বলে প্রমাণিত হয়েছে, কিন্তু গণিতবিদদের যথেষ্ট প্রচেষ্টা সত্ত্বেও অপ্রমাণিত রয়ে গেছে।
সংখ্যা
গোল্ডবাচ সংখ্যা হল একটি ধনাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যা যা এক জোড়া বিজোড় মৌলিক সংখ্যার যোগফল। গোল্ডবাচ অনুমানের আরেকটি রূপ হল যে সমস্ত এমনকি চারটির চেয়ে বড় পূর্ণসংখ্যাই হল গোল্ডবাচ সংখ্যা।
এই ধরনের সংখ্যার বিচ্ছেদকে বলা হয় গোল্ডবাচের পার্টিশন (বা পার্টিশন)। নীচে কিছু জোড় সংখ্যার জন্য অনুরূপ বিভাগের উদাহরণ রয়েছে:
6=3 + 38=3 + 510=3 + 7=5 + 512=7 + 5…100=3 + 97=11 + 89=17 + 83=29 + 71=41 + 59=47 + 53.
অনুমানের আবিষ্কার
গোল্ডবাখের অয়লার নামে একজন সহকর্মী ছিলেন, যিনি গণনা করতে, জটিল সূত্র লিখতে এবং অমীমাংসিত তত্ত্বগুলি উপস্থাপন করতে পছন্দ করতেন। এতে তারা গোল্ডবাচের মতো ছিল। অয়লার গোল্ডবাখের আগেও একই ধরনের গাণিতিক ধাঁধা তৈরি করেছিলেন, যার সাথে তিনিধ্রুবক চিঠিপত্র। তারপরে তিনি তার পান্ডুলিপির মার্জিনে একটি দ্বিতীয় পরামর্শের প্রস্তাব করেছিলেন, যে অনুসারে 2 এর চেয়ে বড় একটি পূর্ণসংখ্যাকে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। তিনি 1 কে একটি মৌলিক সংখ্যা হিসাবে বিবেচনা করেছিলেন৷
দুটি হাইপোথিসিস এখন একই রকম বলে জানা গেছে, কিন্তু এটি তখন কোনো সমস্যা বলে মনে হয়নি। গোল্ডবাচের সমস্যার আধুনিক সংস্করণে বলা হয়েছে যে 5-এর বেশি প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে। অয়লার 30 জুন, 1742 তারিখের একটি চিঠিতে উত্তর দিয়েছিলেন এবং গোল্ডবাচকে তাদের পূর্বের কথোপকথনের কথা মনে করিয়ে দিয়েছিলেন ("… তাই আমরা নিম্নলিখিত বিবৃতি থেকে উদ্ভূত মূল (এবং প্রান্তিক নয়) অনুমান সম্পর্কে কথা বলছি")।
অয়লার-গোল্ডবাচ সমস্যা
2 এবং এর জোড় সংখ্যা দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, যা গোল্ডবাচের অনুমানও। 30 জুন, 1742 তারিখের একটি চিঠিতে, অয়লার বলেছিলেন যে প্রতিটি জোড় পূর্ণসংখ্যা হল দুটি মৌলিক যোগের ফলাফল, যেটিকে তিনি একটি সুসংজ্ঞায়িত উপপাদ্য বলে মনে করেন, যদিও তিনি এটি প্রমাণ করতে পারেননি।
তৃতীয় সংস্করণ
গোল্ডবাচের সমস্যার তৃতীয় সংস্করণ (অন্য দুটি সংস্করণের সমতুল্য) হল সেই ফর্ম যেখানে সাধারণত অনুমান করা হয়। আজকে "দুর্বল", "বিজোড়" বা "টার্নারি" গোল্ডবাচ অনুমান হিসাবে পরিচিত দুর্বল অনুমান থেকে আলাদা করার জন্য এটি "শক্তিশালী", "জোড়" বা "বাইনারী" গোল্ডবাচ অনুমান হিসাবেও পরিচিত। দুর্বল অনুমান বলে যে 7-এর চেয়ে বড় সমস্ত বিজোড় সংখ্যা তিনটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি। দুর্বল অনুমান 2013 সালে প্রমাণিত হয়েছিল। দুর্বল অনুমান হলএকটি শক্তিশালী অনুমান একটি ফলাফল. বিপরীত ফলাফল এবং শক্তিশালী গোল্ডবাচ অনুমান আজও অপ্রমাণিত।
চেক
n এর ছোট মানের জন্য, গোল্ডবাচ সমস্যা (এবং সেই কারণে গোল্ডবাচ অনুমান) যাচাই করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 1938 সালে নিলস পিপিং সাবধানে n ≦ 105 পর্যন্ত অনুমান পরীক্ষা করেছিলেন। প্রথম কম্পিউটারের আবির্ভাবের সাথে, n এর আরও অনেক মান গণনা করা হয়েছিল।
অলিভেরা সিলভা একটি বিতরণ করা কম্পিউটার অনুসন্ধান করেছেন যা 2013 সালের হিসাবে n ≦ 4 × 1018 (এবং 4 × 1017 পর্যন্ত দুবার চেক আপ) এর অনুমানকে নিশ্চিত করেছে৷ এই অনুসন্ধান থেকে একটি এন্ট্রি হল যে 3,325,581,707,333,960,528 হল ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যেটির 9781 এর নিচে প্রাইম সহ গোল্ডব্যাচ বিভক্ত নেই।
হেরিস্টিক
গোল্ডবাচের অনুমানের শক্তিশালী রূপের সংস্করণটি নিম্নরূপ: যেহেতু পরিমাণ n বৃদ্ধির সাথে সাথে অসীমতার দিকে ঝোঁক, তাই আমরা আশা করি যে প্রতিটি বড় জোড় পূর্ণসংখ্যার দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে একাধিক প্রতিনিধিত্ব রয়েছে। কিন্তু আসলে, এই ধরনের উপস্থাপনা অনেক আছে. কে গোল্ডবাচ সমস্যার সমাধান করেছে? হায়, এখনও কেউ।
এই হিউরিস্টিক যুক্তিটি আসলে কিছুটা ভুল, কারণ এটি অনুমান করে যে m পরিসংখ্যানগতভাবে n থেকে স্বাধীন। উদাহরণস্বরূপ, যদি m বিজোড় হয়, তাহলে n - mও বিজোড়, এবং যদি m জোড় হয়, তাহলে n - m জোড়, এবং এটি একটি অ-তুচ্ছ (জটিল) সম্পর্ক, কারণ সংখ্যা 2 ছাড়াও, শুধুমাত্র বিজোড়। সংখ্যা মৌলিক হতে পারে। একইভাবে, যদি n 3 দ্বারা বিভাজ্য হয় এবং m আগে থেকেই 3 ছাড়া অন্য একটি মৌলিক ছিল, তাহলে n - mও পারস্পরিকভাবে3 সহ মৌলিক, তাই মোট সংখ্যার বিপরীতে একটি মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা বেশি। এই ধরণের বিশ্লেষণকে আরও যত্ন সহকারে সম্পাদন করে, হার্ডি এবং লিটলউড, 1923 সালে, তাদের বিখ্যাত হার্ডি-লিটলউড সহজ টিপল অনুমানের অংশ হিসাবে, পুরো তত্ত্বের উপরোক্ত পরিমার্জন করেছিলেন। কিন্তু এটি এখন পর্যন্ত সমস্যা সমাধানে সাহায্য করেনি।
দৃঢ় অনুমান
দৃঢ় গোল্ডবাচ অনুমান দুর্বল গোল্ডবাচ অনুমানের চেয়ে অনেক বেশি জটিল। শ্রনিরেলম্যান পরে প্রমাণ করেন যে 1-এর বেশি যেকোনো প্রাকৃতিক সংখ্যাকে সর্বাধিক C মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, যেখানে C একটি কার্যকরভাবে গণনাযোগ্য ধ্রুবক। অনেক গণিতবিদ এটি সমাধান করার চেষ্টা করেছেন, সংখ্যা গণনা এবং গুণ করেছেন, জটিল সূত্র প্রদান করেছেন ইত্যাদি। কিন্তু তারা কখনই সফল হয়নি, কারণ অনুমানটি খুব জটিল। কোন সূত্র সাহায্য করেনি।
কিন্তু গোল্ডবাচের সমস্যাকে একটু প্রমাণ করার প্রশ্ন থেকে দূরে সরে যাওয়া মূল্যবান। Shnirelman ধ্রুবক হল এই বৈশিষ্ট্য সহ ক্ষুদ্রতম C সংখ্যা। শনিরেলম্যান নিজেই C <800 000 পেয়েছিলেন। এই ফলাফলটি পরবর্তীকালে অনেক লেখক দ্বারা সম্পূরক হয়েছিল, যেমন অলিভিয়ের রামারেট, যিনি 1995 সালে দেখিয়েছিলেন যে প্রতিটি জোড় সংখ্যা n ≧ 4 আসলে সর্বাধিক ছয়টি মৌলিক সংখ্যার যোগফল। হারাল্ড হেলফগটের গোল্ডবাচ তত্ত্বের সাথে বর্তমানে যুক্ত সবচেয়ে বিখ্যাত ফলাফল।
আরো উন্নয়ন
1924 সালে, হার্ডি এবং লিটলউড G. R. H. দেখায় যে X পর্যন্ত জোড় সংখ্যার সংখ্যা, বাইনারি গোল্ডবাচ সমস্যা লঙ্ঘন করে, ছোট c-এর তুলনায় অনেক কম।
1973 সালে চেন জিংইউনআমি এই সমস্যাটি সমাধান করার চেষ্টা করেছি, কিন্তু এটি কাজ করেনি। তিনি একজন গণিতবিদও ছিলেন, তাই তিনি ধাঁধা সমাধান এবং উপপাদ্য প্রমাণ করতে খুব পছন্দ করতেন।
1975 সালে, দুজন আমেরিকান গণিতবিদ দেখিয়েছিলেন যে ধনাত্মক ধ্রুবক c এবং C রয়েছে - যেগুলির জন্য N যথেষ্ট বড়। বিশেষ করে, জোড় পূর্ণসংখ্যার সেটের শূন্য ঘনত্ব রয়েছে। এই সবই ত্রিদেশীয় গোল্ডবাচ সমস্যার সমাধানের জন্য কার্যকর ছিল, যা ভবিষ্যতে ঘটবে৷
1951 সালে, লিননিক একটি ধ্রুবক K এর অস্তিত্ব প্রমাণ করেছিলেন যে প্রতিটি যথেষ্ট বড় জোড় সংখ্যা একে অপরের সাথে একটি মৌলিক সংখ্যা এবং আরেকটি মৌলিক সংখ্যা যোগ করার ফলাফল। রজার হিথ-ব্রাউন এবং জান-ক্রিস্টোফ শ্লেজ-পুচতা 2002 সালে খুঁজে পেয়েছেন যে K=13 কাজ করে। যারা একে অপরের সাথে যোগ করতে চান, বিভিন্ন নম্বর যোগ করতে চান এবং দেখুন কি হয় তাদের জন্য এটি খুবই আকর্ষণীয়৷
গোল্ডব্যাচ সমস্যার সমাধান
গণিতের অনেক সুপরিচিত অনুমানগুলির মতো, গোল্ডবাচ অনুমানের অনেকগুলি কথিত প্রমাণ রয়েছে, যেগুলির কোনওটিই গাণিতিক সম্প্রদায় গ্রহণ করে না৷
যদিও গোল্ডবাচের অনুমান থেকে বোঝা যায় যে একটির চেয়ে বড় প্রতিটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যাকে সর্বাধিক তিনটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসাবে লেখা যেতে পারে, সর্বদা সম্ভাব্য সবচেয়ে বড় সম্ভাব্য মৌলিক সংখ্যা ব্যবহার করে এমন একটি লোভী অ্যালগরিদম ব্যবহার করে এমন একটি যোগফল পাওয়া সম্ভব নয়। প্রতিটি ধাপে পিল্লাই ক্রমটি তাদের লোভী উপস্থাপনায় সর্বাধিক প্রাইম প্রয়োজন এমন সংখ্যার ট্র্যাক রাখে। অতএব, গোল্ডবাচ সমস্যার সমাধানএখনও প্রশ্ন. যাইহোক, শীঘ্রই বা পরে এটি সম্ভবত সমাধান করা হবে৷
গোল্ডবাচের সমস্যার অনুরূপ তত্ত্ব রয়েছে যেখানে মৌলিক সংখ্যাগুলি অন্যান্য নির্দিষ্ট সংখ্যার সেট দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়, যেমন বর্গক্ষেত্র।
ক্রিশ্চিয়ান গোল্ডবাচ
খ্রিস্টান গোল্ডবাখ একজন জার্মান গণিতবিদ ছিলেন যিনি আইন অধ্যয়ন করেছিলেন। গোল্ডবাচ অনুমানের জন্য তাকে আজ স্মরণ করা হয়৷
তিনি সারাজীবন একজন গণিতবিদ হিসাবে কাজ করেছেন - তিনি সংখ্যা যোগ করতে, নতুন সূত্র আবিষ্কার করতে খুব পছন্দ করতেন। তিনি বেশ কয়েকটি ভাষাও জানতেন, যার প্রতিটিতে তিনি তার ব্যক্তিগত ডায়েরি রেখেছিলেন। এই ভাষাগুলি ছিল জার্মান, ফরাসি, ইতালীয় এবং রাশিয়ান। এছাড়াও, কিছু সূত্র অনুসারে, তিনি ইংরেজি এবং ল্যাটিন ভাষায় কথা বলতেন। তিনি তার জীবদ্দশায় একজন মোটামুটি সুপরিচিত গণিতবিদ হিসাবে পরিচিত ছিলেন। গোল্ডবাখ রাশিয়ার সাথেও বেশ ঘনিষ্ঠভাবে যুক্ত ছিলেন, কারণ তার অনেক রাশিয়ান সহকর্মী এবং রাজপরিবারের ব্যক্তিগত অনুগ্রহ ছিল।
তিনি 1725 সালে নতুন খোলা সেন্ট পিটার্সবার্গ একাডেমি অফ সায়েন্সে একাডেমির গণিত এবং ইতিহাসবিদ হিসাবে কাজ চালিয়ে যান। 1728 সালে, যখন দ্বিতীয় পিটার রাশিয়ার জার হন, তখন গোল্ডবাখ তাঁর পরামর্শদাতা হন। 1742 সালে তিনি রাশিয়ান পররাষ্ট্র মন্ত্রণালয়ে প্রবেশ করেন। অর্থাৎ তিনি আসলে আমাদের দেশে কাজ করেছেন। সে সময় অনেক বিজ্ঞানী, লেখক, দার্শনিক এবং সামরিক ব্যক্তিরা রাশিয়ায় এসেছিলেন, কারণ রাশিয়া তখন আমেরিকার মতো সুযোগের দেশ ছিল। অনেকেই এখানে ক্যারিয়ার গড়েছেন। এবং আমাদের নায়ক ব্যতিক্রম নয়।
খ্রিস্টান গোল্ডবাখ বহুভাষিক ছিলেন - তিনি জার্মান এবং ল্যাটিন ভাষায় একটি ডায়েরি লিখেছেন, তার চিঠিগুলিজার্মান, ল্যাটিন, ফরাসি এবং ইতালীয় ভাষায় লেখা ছিল এবং অফিসিয়াল নথির জন্য তিনি রাশিয়ান, জার্মান এবং ল্যাটিন ব্যবহার করেছেন।
তিনি মস্কোতে ৭৪ বছর বয়সে ২০শে নভেম্বর ১৭৬৪ সালে মারা যান। যেদিন গোল্ডবাচের সমস্যার সমাধান হবে সেই দিনটি হবে তার স্মৃতির প্রতি উপযুক্ত শ্রদ্ধাঞ্জলি।
উপসংহার
গোল্ডবাখ ছিলেন একজন মহান গণিতবিদ যিনি আমাদের এই বিজ্ঞানের অন্যতম সেরা রহস্য দিয়েছিলেন। এর কোনো সুরাহা হবে কি না জানা নেই। আমরা কেবল জানি যে এর অনুমিত রেজোলিউশন, যেমন ফার্মাটের উপপাদ্যের ক্ষেত্রে, গণিতের জন্য নতুন দৃষ্টিভঙ্গি উন্মুক্ত করবে। গণিতবিদরা এটি সমাধান এবং বিশ্লেষণ করতে খুব পছন্দ করেন। এটি একটি হিউরিস্টিক দৃষ্টিকোণ থেকে খুব আকর্ষণীয় এবং কৌতূহলী। এমনকি গণিতের শিক্ষার্থীরাও গোল্ডবাচ সমস্যা সমাধান করতে পছন্দ করে। কিভাবে অন্য? সর্বোপরি, তরুণরা ক্রমাগত উজ্জ্বল, উচ্চাভিলাষী এবং অমীমাংসিত সবকিছুর প্রতি আকৃষ্ট হয়, কারণ অসুবিধাগুলি কাটিয়ে উঠতে কেউ নিজেকে জাহির করতে পারে। আসুন আশা করি শীঘ্রই এই সমস্যার সমাধান হবে তরুণ, উচ্চাকাঙ্ক্ষী, অনুসন্ধিৎসু মন।
