ম্যাট্রিক্স গণিতের একটি বিশেষ বস্তু। এটি একটি আয়তক্ষেত্রাকার বা বর্গাকার টেবিলের আকারে চিত্রিত করা হয়েছে, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক সারি এবং কলামের সমন্বয়ে গঠিত। গণিতে, বিভিন্ন ধরণের ম্যাট্রিক্স রয়েছে, আকার বা বিষয়বস্তুতে ভিন্ন। এর সারি এবং কলামের সংখ্যাকে অর্ডার বলা হয়। এই বস্তুগুলি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমগুলির লেখার সংগঠিত করতে এবং সুবিধাজনকভাবে তাদের ফলাফলগুলি অনুসন্ধান করতে গণিতে ব্যবহৃত হয়। একটি ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে সমীকরণগুলি কার্ল গাউস, গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার, অপ্রাপ্তবয়স্ক এবং বীজগাণিতিক সংযোজন এবং আরও অনেক উপায় ব্যবহার করে সমাধান করা হয়। ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করার সময় মৌলিক দক্ষতা হল তাদের একটি আদর্শ ফর্মে নিয়ে আসা। যাইহোক, প্রথমে, আসুন গণিতবিদদের দ্বারা কী ধরণের ম্যাট্রিক্স আলাদা করা যায় তা বের করা যাক।
শূন্য প্রকার
এই ধরণের ম্যাট্রিক্সের সমস্ত উপাদান শূন্য। ইতিমধ্যে, এর সারি এবং কলামের সংখ্যা সম্পূর্ণ আলাদা৷
বর্গাকার ধরন
এই ধরণের ম্যাট্রিক্সের কলাম এবং সারির সংখ্যা একই। অন্য কথায়, এটি একটি "বর্গক্ষেত্র" আকৃতির টেবিল। এর কলামের (বা সারি) সংখ্যাকে অর্ডার বলা হয়। বিশেষ ক্ষেত্রে দ্বিতীয় ক্রম (ম্যাট্রিক্স 2x2), চতুর্থ ক্রম (4x4), দশম (10x10), সপ্তদশ (17x17) ইত্যাদির একটি ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব।
কলাম ভেক্টর
এটি একটি সহজ প্রকার ম্যাট্রিক্স, যার মধ্যে শুধুমাত্র একটি কলাম রয়েছে, যার মধ্যে তিনটি সংখ্যাসূচক মান রয়েছে৷ এটি রৈখিক সমীকরণের সিস্টেমে মুক্ত পদের একটি সিরিজ (ভেরিয়েবল থেকে স্বাধীন সংখ্যা) উপস্থাপন করে।
সারি ভেক্টর
আগেরটির মতোই দেখুন৷ তিনটি সাংখ্যিক উপাদান নিয়ে গঠিত, ঘুরে এক লাইনে সংগঠিত।
তির্যক প্রকার
প্রধান কর্ণের শুধুমাত্র উপাদান (সবুজ রঙে হাইলাইট করা) ম্যাট্রিক্সের তির্যক আকারে সাংখ্যিক মান গ্রহণ করে। প্রধান তির্যকটি উপরের বাম কোণে উপাদান দিয়ে শুরু হয় এবং যথাক্রমে নীচের ডানদিকে উপাদানটির সাথে শেষ হয়। বাকি উপাদানগুলো শূন্য। তির্যক টাইপ হল কিছু অর্ডারের একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। তির্যক আকারের ম্যাট্রিক্সের মধ্যে, কেউ একটি স্কেলার একক করতে পারে। এর সমস্ত উপাদান একই মান নেয়৷
পরিচয় ম্যাট্রিক্স
তির্যক ম্যাট্রিক্সের একটি উপপ্রজাতি। এর সমস্ত সংখ্যাসূচক মান একক। একটি একক ধরণের ম্যাট্রিক্স টেবিল ব্যবহার করে, এর মৌলিক রূপান্তরগুলি সম্পাদন করুন বা আসলটির বিপরীতে একটি ম্যাট্রিক্স খুঁজুন।
প্রামানিক প্রকার
একটি ম্যাট্রিক্সের ক্যানোনিকাল ফর্মটিকে প্রধানগুলির মধ্যে একটি হিসাবে বিবেচনা করা হয়; এটিতে ঢালাই প্রায়ই কাজ করার প্রয়োজন হয়। ক্যানোনিকাল ম্যাট্রিক্সে সারি এবং কলামের সংখ্যা আলাদা, এটি অগত্যা বর্গ প্রকারের অন্তর্গত নয়। এটি পরিচয় ম্যাট্রিক্সের সাথে কিছুটা সাদৃশ্যপূর্ণ, তবে, এর ক্ষেত্রে, প্রধান তির্যকের সমস্ত উপাদান একের সমান একটি মান গ্রহণ করে না। দুটি বা চারটি প্রধান তির্যক একক থাকতে পারে (এটি সমস্ত ম্যাট্রিক্সের দৈর্ঘ্য এবং প্রস্থের উপর নির্ভর করে)। অথবা সেখানে কোনো একক নাও থাকতে পারে (তখন এটি শূন্য হিসেবে বিবেচিত হয়)। ক্যানোনিকাল টাইপের অবশিষ্ট উপাদানগুলি, সেইসাথে তির্যক এবং পরিচয়ের উপাদানগুলি শূন্যের সমান৷
ত্রিভুজ প্রকার
মেট্রিক্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধরনের একটি, এটির নির্ধারক অনুসন্ধান করার সময় এবং সাধারণ ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করার সময় ব্যবহৃত হয়। ত্রিভুজাকার প্রকারটি তির্যক প্রকার থেকে আসে, তাই ম্যাট্রিক্সটিও বর্গক্ষেত্র। ম্যাট্রিক্সের ত্রিভুজাকার দৃশ্য উপরের ত্রিভুজাকার এবং নিম্ন ত্রিভুজাকারে বিভক্ত।
উপরের ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সে (চিত্র 1), শুধুমাত্র মূল কর্ণের উপরে থাকা উপাদানগুলি শূন্যের সমান একটি মান গ্রহণ করে। কর্ণের উপাদান এবং এর নীচের ম্যাট্রিক্সের অংশে সংখ্যাসূচক মান রয়েছে।
নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সে (চিত্র 2), বিপরীতে, ম্যাট্রিক্সের নীচের অংশে অবস্থিত উপাদানগুলি শূন্যের সমান৷
ধাপ ম্যাট্রিক্স
একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করার জন্য, সেইসাথে তাদের উপর প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপের জন্য (ত্রিভুজাকার প্রকারের সাথে) ভিউটি প্রয়োজনীয়। স্টেপ ম্যাট্রিক্সের এমন নামকরণ করা হয়েছে কারণ এতে শূন্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত "পদক্ষেপ" রয়েছে (চিত্রে দেখানো হয়েছে)। ধাপে ধাপে, শূন্যের একটি তির্যক গঠিত হয় (অগত্যা প্রধানটি নয়), এবং এই তির্যকের অধীনে সমস্ত উপাদানেরও শূন্যের সমান মান রয়েছে। একটি পূর্বশর্ত হল নিম্নলিখিত: যদি স্টেপ ম্যাট্রিক্সে একটি শূন্য সারি থাকে, তাহলে এর নীচের অবশিষ্ট সারিগুলিতেও সংখ্যাসূচক মান থাকবে না।
এইভাবে, আমরা তাদের সাথে কাজ করার জন্য প্রয়োজনীয় ম্যাট্রিক্সের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধরনের বিবেচনা করেছি। এখন একটি ম্যাট্রিক্সকে প্রয়োজনীয় ফর্মে রূপান্তর করার কাজটি মোকাবেলা করা যাক।
ত্রিভুজাকার আকারে হ্রাস করুন
কীভাবে ম্যাট্রিক্সকে ত্রিভুজাকার আকারে আনতে হয়? প্রায়শই, অ্যাসাইনমেন্টে, আপনাকে একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে রূপান্তর করতে হবে যাতে এটির নির্ধারক খুঁজে পাওয়া যায়, অন্যথায় নির্ধারক বলা হয়। এই পদ্ধতিটি সম্পাদন করার সময়, ম্যাট্রিক্সের প্রধান তির্যকটিকে "সংরক্ষণ" করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, কারণ একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকটি তার মূল কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল। আমাকে নির্ধারক খুঁজে বের করার বিকল্প পদ্ধতির কথাও মনে করিয়ে দিই। বর্গ-প্রকার নির্ধারক বিশেষ সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি ত্রিভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের জন্য, সারি, কলাম বা তাদের উপাদান দ্বারা পচনের পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। আপনি ম্যাট্রিক্সের অপ্রাপ্তবয়স্ক এবং বীজগণিতের পরিপূরক পদ্ধতিও প্রয়োগ করতে পারেন।
বিশদ বিবরণকিছু কাজের উদাহরণ ব্যবহার করে একটি ম্যাট্রিক্সকে ত্রিভুজাকার আকারে আনার প্রক্রিয়াটি বিশ্লেষণ করা যাক।
টাস্ক 1
এটি একটি ত্রিভুজাকার আকারে আনার পদ্ধতি ব্যবহার করে উপস্থাপিত ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে বের করা প্রয়োজন।
আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি তৃতীয় ক্রমটির একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। অতএব, এটিকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে রূপান্তর করতে, আমাদের প্রথম কলামের দুটি উপাদান এবং দ্বিতীয়টির একটি উপাদানকে বাতিল করতে হবে।
এটিকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে আনতে, ম্যাট্রিক্সের নীচের বাম কোণ থেকে রূপান্তর শুরু করুন - 6 নম্বর থেকে। এটিকে শূন্যে পরিণত করতে, প্রথম সারিটিকে তিন দ্বারা গুণ করুন এবং শেষ সারি থেকে বিয়োগ করুন।
গুরুত্বপূর্ণ! উপরের লাইনটি পরিবর্তন হয় না, তবে মূল ম্যাট্রিক্সের মতোই থাকে। আপনি একটি স্ট্রিং চারবার মূল এক লিখতে হবে না. কিন্তু স্ট্রিংগুলির মানগুলি যার উপাদানগুলিকে বাতিল করতে হবে তা ক্রমাগত পরিবর্তিত হচ্ছে৷
পরবর্তী, আসুন পরবর্তী মান নিয়ে কাজ করি - প্রথম কলামের দ্বিতীয় সারির উপাদান, নম্বর 8। প্রথম সারিটিকে চার দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয় সারি থেকে বিয়োগ করুন। আমরা শূন্য পাই।
শুধুমাত্র শেষ মানটি অবশিষ্ট থাকে - দ্বিতীয় কলামের তৃতীয় সারির উপাদান। এই সংখ্যা (-1)। এটিকে শূন্যে পরিণত করতে, প্রথম লাইন থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করুন।
আসুন পরীক্ষা করা যাক:
detA=2 x (-1) x 11=-22।
তাহলে টাস্কটির উত্তর হল -22।
টাস্ক 2
আমাদের একটি ত্রিভুজাকার আকারে এনে ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে বের করতে হবে।
প্রতিনিধিত্ব করা ম্যাট্রিক্সবর্গাকার প্রকারের অন্তর্গত এবং এটি চতুর্থ ক্রমে একটি ম্যাট্রিক্স। এর মানে হল যে প্রথম কলামের তিনটি উপাদান, দ্বিতীয় কলামের দুটি উপাদান এবং তৃতীয় কলামের একটি উপাদান অবশ্যই শূন্য করতে হবে।
আসুন নীচের বাম কোণে অবস্থিত উপাদান থেকে এর হ্রাস শুরু করা যাক - 4 নম্বর থেকে। আমাদের এই সংখ্যাটিকে শূন্যে পরিণত করতে হবে। এটি করার সবচেয়ে সহজ উপায় হল উপরের সারিটিকে চার দিয়ে গুণ করা এবং তারপর চতুর্থ সারি থেকে বিয়োগ করা। আসুন রূপান্তরের প্রথম পর্যায়ের ফলাফল লিখি।
সুতরাং, চতুর্থ লাইনের উপাদানটি শূন্যে সেট করা হয়েছে। আসুন তৃতীয় লাইনের প্রথম উপাদানে, 3 নম্বরে চলে যাই। আমরা একই রকম অপারেশন করি। প্রথম লাইনকে তিনটি দিয়ে গুণ করুন, তৃতীয় লাইন থেকে বিয়োগ করুন এবং ফলাফল লিখুন।
পরবর্তী, আমরা দ্বিতীয় লাইনে 2 নম্বরটি দেখতে পাচ্ছি। আমরা অপারেশনটি পুনরাবৃত্তি করি: উপরের সারিটিকে দুই দ্বারা গুণ করুন এবং দ্বিতীয়টি থেকে বিয়োগ করুন।
আমরা এই বর্গ ম্যাট্রিক্সের প্রথম কলামের সমস্ত উপাদানকে শূন্যে সেট করতে পেরেছি, সংখ্যা 1 বাদে, প্রধান তির্যকের উপাদান যার রূপান্তরের প্রয়োজন নেই৷ এখন ফলাফল শূন্য রাখা গুরুত্বপূর্ণ, তাই আমরা সারি দিয়ে রূপান্তর সম্পাদন করব, কলাম নয়। আসুন উপস্থাপিত ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় কলামে চলে যাই।
আবার নিচ থেকে শুরু করা যাক - শেষ সারির দ্বিতীয় কলামের উপাদান থেকে। এটি সংখ্যা (-7)। যাইহোক, এই ক্ষেত্রে এটি সংখ্যা (-1) দিয়ে শুরু করা আরও সুবিধাজনক - তৃতীয় সারির দ্বিতীয় কলামের উপাদান। এটিকে শূন্যে পরিণত করতে, তৃতীয় সারি থেকে দ্বিতীয় সারিটি বিয়োগ করুন। তারপরে আমরা দ্বিতীয় সারিটিকে সাত দিয়ে গুণ করি এবং চতুর্থ থেকে বিয়োগ করি। আমরা দ্বিতীয় কলামের চতুর্থ সারিতে অবস্থিত উপাদানটির পরিবর্তে শূন্য পেয়েছি। এখন তৃতীয় দিকে যাওয়া যাককলাম।
এই কলামে, আমাদের শুধুমাত্র একটি সংখ্যা শূন্য করতে হবে - 4। এটি করা সহজ: শুধুমাত্র শেষ লাইনে তৃতীয়টি যোগ করুন এবং আমাদের প্রয়োজনীয় শূন্য দেখুন।
সমস্ত রূপান্তরের পরে, আমরা প্রস্তাবিত ম্যাট্রিক্সটিকে একটি ত্রিভুজাকার আকারে নিয়ে এসেছি। এখন, এর নির্ধারক খুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে শুধুমাত্র মূল তির্যকের ফলস্বরূপ উপাদানগুলিকে গুণ করতে হবে। আমরা পাই: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160। অতএব, সমাধান হল সংখ্যা 160।
সুতরাং, এখন ম্যাট্রিক্সকে ত্রিভুজাকার আকারে আনার প্রশ্নটি আপনার পক্ষে কঠিন হবে না।
পদক্ষেপ আকারে হ্রাস
ম্যাট্রিসে প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপে, ধাপে দেওয়া ফর্মটি ত্রিভুজাকারের চেয়ে কম "চাহিদার" হয়। এটি সাধারণত একটি ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে পেতে (অর্থাৎ, এর অ-শূন্য সারির সংখ্যা) বা রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং স্বাধীন সারি নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়। যাইহোক, স্টেপড ম্যাট্রিক্স ভিউ আরও বহুমুখী, কারণ এটি শুধুমাত্র বর্গক্ষেত্রের জন্যই নয়, অন্য সকলের জন্যও উপযুক্ত৷
একটি ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে কমাতে, আপনাকে প্রথমে এর নির্ধারক খুঁজে বের করতে হবে। এই জন্য, উপরের পদ্ধতিগুলি উপযুক্ত। নির্ধারক খোঁজার উদ্দেশ্য হল এটিকে একটি ধাপ ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা যায় কিনা তা খুঁজে বের করা। যদি নির্ধারকটি শূন্যের চেয়ে বড় বা কম হয়, তাহলে আপনি নিরাপদে কাজটিতে এগিয়ে যেতে পারেন। যদি এটি শূন্যের সমান হয়, তাহলে এটি ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে কমাতে কাজ করবে না। এই ক্ষেত্রে, আপনাকে রেকর্ডে বা ম্যাট্রিক্স ট্রান্সফরমেশনে কোনো ত্রুটি আছে কিনা তা পরীক্ষা করতে হবে। যদি এই ধরনের কোনো ভুল না থাকে, তাহলে কাজটি সমাধান করা যাবে না।
চলুন দেখি কিভাবেবিভিন্ন কাজের উদাহরণ ব্যবহার করে ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে আনুন।
টাস্ক 1. প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স টেবিলের র্যাঙ্ক খুঁজুন।
আমাদের আগে তৃতীয় ক্রম (3x3) এর একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স। আমরা জানি যে র্যাঙ্ক খুঁজে পেতে, এটিকে ধাপে ধাপে কমাতে হবে। অতএব, আমাদের প্রথমে ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক খুঁজে বের করতে হবে। ত্রিভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করে: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
নির্ধারক=12. এটি শূন্যের চেয়ে বড়, যার মানে ম্যাট্রিক্সটিকে একটি ধাপে ছোট করা যেতে পারে। এর রূপান্তর শুরু করা যাক।
আসুন তৃতীয় সারির বাম কলামের উপাদান দিয়ে শুরু করা যাক - সংখ্যা 2। উপরের সারিটিকে দুই দ্বারা গুণ করুন এবং তৃতীয়টি থেকে বিয়োগ করুন। এই ক্রিয়াকলাপের জন্য ধন্যবাদ, আমাদের প্রয়োজনীয় উপাদান এবং নম্বর 4 - তৃতীয় সারির দ্বিতীয় কলামের উপাদান - উভয়ই শূন্যে পরিণত হয়েছে৷
পরবর্তী, প্রথম কলামের দ্বিতীয় সারির উপাদানটিকে শূন্যে ঘুরিয়ে দিন - নম্বর 3। এটি করার জন্য, উপরের সারিটিকে তিন দিয়ে গুণ করুন এবং দ্বিতীয়টি থেকে বিয়োগ করুন।
আমরা দেখি যে হ্রাসের ফলে একটি ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স হয়েছে। আমাদের ক্ষেত্রে, রূপান্তরটি চালিয়ে যাওয়া যাবে না, যেহেতু অবশিষ্ট উপাদানগুলিকে শূন্যে পরিণত করা যাবে না।
সুতরাং, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে এই ম্যাট্রিক্সে (বা এর র্যাঙ্ক) সাংখ্যিক মান ধারণকারী সারির সংখ্যা হল 3। টাস্কের উত্তর: 3.
টাস্ক 2. এই ম্যাট্রিক্সের রৈখিকভাবে স্বাধীন সারির সংখ্যা নির্ধারণ করুন।
আমাদের এমন স্ট্রিংগুলি খুঁজে বের করতে হবে যা কোনও রূপান্তর দ্বারা বিপরীত করা যায় নাশূন্য থেকে আসলে, আমাদের অ-শূন্য সারির সংখ্যা বা প্রতিনিধিত্ব করা ম্যাট্রিক্সের র্যাঙ্ক খুঁজে বের করতে হবে। এটি করার জন্য, আসুন এটি সহজ করা যাক।
আমরা একটি ম্যাট্রিক্স দেখতে পাচ্ছি যা বর্গ প্রকারের অন্তর্গত নয়। এর মাত্রা 3x4। নিচের বাম কোণার উপাদান থেকেও কাস্ট শুরু করা যাক - সংখ্যাটি (-1)।
তৃতীয় লাইনে প্রথম লাইন যোগ করুন। এরপর, 5 নম্বরকে শূন্যে পরিণত করতে এটি থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করুন।
আরো রূপান্তর অসম্ভব। সুতরাং, আমরা উপসংহারে পৌঁছেছি যে এতে রৈখিকভাবে স্বাধীন লাইনের সংখ্যা এবং টাস্কের উত্তর হল 3।
এখন ম্যাট্রিক্সকে ধাপে ধাপে নিয়ে আসা আপনার পক্ষে অসম্ভব কাজ নয়।
এই কাজের উদাহরণগুলিতে, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সকে একটি ত্রিভুজাকার আকার এবং একটি ধাপযুক্ত আকারে হ্রাস করা বিশ্লেষণ করেছি। ম্যাট্রিক্স টেবিলের পছন্দসই মানগুলি বাতিল করার জন্য, কিছু ক্ষেত্রে কল্পনা দেখানো এবং তাদের কলাম বা সারিগুলিকে সঠিকভাবে রূপান্তর করা প্রয়োজন। গণিতে সৌভাগ্য এবং ম্যাট্রিক্সের সাথে কাজ করা!
