কিভাবে ম্যাট্রিক্সের পণ্য খুঁজে বের করবেন। ম্যাট্রিক্স গুণ। ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণফল। তিনটি ম্যাট্রিসের পণ্য

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 05:18

Matrices (সাংখ্যিক উপাদান সহ টেবিল) বিভিন্ন গণনার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। তাদের মধ্যে কয়েকটি হল একটি সংখ্যা, একটি ভেক্টর, আরেকটি ম্যাট্রিক্স, বেশ কয়েকটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ। পণ্য কখনও কখনও ভুল হয়. একটি ভুল ফলাফল গণনামূলক ক্রিয়া সম্পাদনের নিয়ম সম্পর্কে অজ্ঞতার ফলাফল। চলুন জেনে নেওয়া যাক কিভাবে গুন করতে হয়।

ম্যাট্রিক্স এবং সংখ্যা

আসুন সবচেয়ে সহজ জিনিস দিয়ে শুরু করা যাক - একটি নির্দিষ্ট মান দ্বারা সংখ্যা সহ একটি টেবিলকে গুণ করা। উদাহরণ স্বরূপ, আমাদের একটি ম্যাট্রিক্স A আছে যার উপাদানগুলি a_ij (i হল সারি সংখ্যা এবং j হল কলাম সংখ্যা) এবং সংখ্যা e। ই সংখ্যা দ্বারা ম্যাট্রিক্সের গুণফল হবে bij _{উপাদান সহ ম্যাট্রিক্স B, যা সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়:}

b_ij=e × a_ij.

T. e. b₁₁ উপাদানটি পেতে আপনাকে উপাদানটি নিতে হবে a₁₁ এবং এটিকে পছন্দসই সংখ্যা দিয়ে গুণ করতে হবে, b_{12 পেতে} উপাদানটির গুণফল খুঁজে বের করতে হবে a₁₂ এবং সংখ্যা e, ইত্যাদি।

ছবিতে উপস্থাপিত ১ নম্বর সমস্যার সমাধান করা যাক। ম্যাট্রিক্স B পেতে, A থেকে উপাদানগুলিকে 3 দ্বারা গুণ করুন:

1. a₁₁ × 3=18। কলাম নং 1 এবং সারি নং 1 ছেদ করার জায়গায় আমরা এই মানটি ম্যাট্রিক্স B তে লিখি৷
2. a₂₁ × 3=15। আমরা উপাদান b₂₁ পেয়েছি।
3. a₁₂ × 3=-6। আমরা b₁₂ এলিমেন্ট পেয়েছি। আমরা এটিকে ম্যাট্রিক্স বি-তে লিখি যেখানে কলাম 2 এবং সারি 1 ছেদ করে।
4. a₂₂ × 3=9. এই ফলাফলটি b₂₂।
5. a₁₃ × 3=12। এই সংখ্যাটি ম্যাট্রিক্সে b₁₃।
6. a₂₃ × 3=-3। প্রাপ্ত শেষ নম্বরটি হল উপাদান b₂₃.

এইভাবে, আমরা সাংখ্যিক উপাদান সহ একটি আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারে পেয়েছি।

18	–6	12
15	9	–3

ভেক্টর এবং ম্যাট্রিক্সের একটি পণ্যের অস্তিত্বের শর্ত

গাণিতিক শাখায়, "ভেক্টর" এর মতো একটি জিনিস রয়েছে। এই শব্দটি একটি ₁ থেকে একটি পর্যন্ত মানগুলির একটি অর্ডারকৃত সেটকে নির্দেশ করে৷ এগুলিকে ভেক্টর স্পেস কোঅর্ডিনেট বলা হয় এবং একটি কলাম হিসাবে লেখা হয়। "ট্রান্সপোজড ভেক্টর" শব্দটিও রয়েছে। এর উপাদানগুলি একটি স্ট্রিং হিসাবে সাজানো হয়৷

ভেক্টরকে ম্যাট্রিস বলা যেতে পারে:

• কলাম ভেক্টর একটি কলাম থেকে তৈরি একটি ম্যাট্রিক্স;
• সারি ভেক্টর একটি ম্যাট্রিক্স যা শুধুমাত্র একটি সারি অন্তর্ভুক্ত করে।

হয়ে গেলেগুণন ক্রিয়াকলাপের ম্যাট্রিক্সের উপরে, এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে একটি পণ্যের অস্তিত্বের জন্য একটি শর্ত রয়েছে। গণনামূলক ক্রিয়া A × B শুধুমাত্র তখনই সঞ্চালিত হতে পারে যখন সারণি A-তে কলামের সংখ্যা সারণি B-এর সারির সংখ্যার সমান হয়। গণনার ফলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সে সর্বদা সারণি A-তে সারির সংখ্যা এবং কলামের সংখ্যা থাকে। সারণিতে B.

গুন করার সময়, ম্যাট্রিক্স (গুণক) পুনর্বিন্যাস করার পরামর্শ দেওয়া হয় না। তাদের পণ্য সাধারণত গুণনের কম্যুটেটিভ (স্থানচ্যুতি) নিয়মের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ নয়, অর্থাৎ অপারেশন A × B অপারেশনের ফলাফল B × A এর ফলাফলের সমান নয়। এই বৈশিষ্ট্যটিকে গুনফলের নন-কমিউট্যাটিভিটি বলা হয় ম্যাট্রিক্স কিছু ক্ষেত্রে, A × B গুণের ফলাফল B × A গুণের ফলাফলের সমান, অর্থাৎ, গুণফলটি পরিবর্তনশীল। যে ম্যাট্রিক্সের জন্য সমতা A × B=B × A ধারণ করে তাকে পারমুটেশন ম্যাট্রিস বলে। নিচে এই ধরনের টেবিলের উদাহরণ দেখুন।

একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা গুণন

একটি কলাম ভেক্টর দ্বারা একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, আমাদের অবশ্যই পণ্যটির অস্তিত্বের শর্তটি বিবেচনা করতে হবে। সারণীতে কলামের সংখ্যা (n) ভেক্টর তৈরি করা স্থানাঙ্কের সংখ্যার সাথে মেলে। গণনার ফলাফল হল রূপান্তরিত ভেক্টর। এর স্থানাঙ্কের সংখ্যা টেবিল থেকে লাইনের (মি) সংখ্যার সমান।

একটি ম্যাট্রিক্স A এবং একটি ভেক্টর x থাকলে y ভেক্টরের স্থানাঙ্কগুলি কীভাবে গণনা করা হয়? গণনার জন্য তৈরি সূত্র:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1x

y₂=এ 2n_x,

………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}mn_x,

যেখানে x₁, …, x x-ভেক্টর থেকে স্থানাঙ্ক, m হল ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা এবং সংখ্যা নতুন y-ভেক্টরে স্থানাঙ্কের, n হল ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা এবং x-ভেক্টরে স্থানাঙ্কের সংখ্যা, a₁₁, a_{12, …, a}mn– ম্যাট্রিক্স A. _{এর উপাদান}

এইভাবে, নতুন ভেক্টরের i-th উপাদান পেতে, স্কেলার পণ্যটি সঞ্চালিত হয়। i-ম সারি ভেক্টরটি ম্যাট্রিক্স A থেকে নেওয়া হয়েছে এবং এটি উপলব্ধ ভেক্টর x দ্বারা গুণ করা হয়েছে।

আসুন সমস্যা 2 সমাধান করি। আপনি একটি ম্যাট্রিক্স এবং একটি ভেক্টরের গুণফল খুঁজে পেতে পারেন কারণ A-তে 3টি কলাম রয়েছে এবং x 3টি স্থানাঙ্ক নিয়ে গঠিত। ফলস্বরূপ, আমাদের 4টি স্থানাঙ্ক সহ একটি কলাম ভেক্টর পাওয়া উচিত। আসুন উপরের সূত্রগুলি ব্যবহার করি:

1. কম্পিউট করুন y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4)। চূড়ান্ত মান হল 2.
2. কম্পিউট করুন y₂। 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4)। গণনা করার সময়, আমরা পাই 0.
3. কম্পিউট করুন y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4)। নির্দেশিত ফ্যাক্টরগুলির পণ্যের যোগফল হল 6.
4. কম্পিউট করুন y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4)। স্থানাঙ্ক হল -8।

সারি ভেক্টর-ম্যাট্রিক্স গুণন

আপনি একটি সারি ভেক্টর দ্বারা একাধিক কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করতে পারবেন না। এই ধরনের ক্ষেত্রে, কাজের অস্তিত্বের জন্য শর্ত সন্তুষ্ট হয় না। কিন্তু একটি সারি ভেক্টরকে একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করা সম্ভব। এইকম্পিউটেশনাল অপারেশন সঞ্চালিত হয় যখন ভেক্টরের স্থানাঙ্কের সংখ্যা এবং টেবিলের সারির সংখ্যা মিলে যায়। একটি ভেক্টর এবং একটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ফলাফল হল একটি নতুন সারি ভেক্টর। এর স্থানাঙ্কের সংখ্যা অবশ্যই ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যার সমান হবে।

একটি নতুন ভেক্টরের প্রথম স্থানাঙ্ক কম্পিউট করার জন্য সারি ভেক্টর এবং টেবিল থেকে প্রথম কলাম ভেক্টরকে গুণ করা জড়িত। দ্বিতীয় স্থানাঙ্কটি একইভাবে গণনা করা হয়, তবে প্রথম কলাম ভেক্টরের পরিবর্তে, দ্বিতীয় কলাম ভেক্টর নেওয়া হয়। স্থানাঙ্ক গণনার জন্য এখানে সাধারণ সূত্র:

y_k=a₁k_x1_{+ a}2_kx₂+ … _মি,

যেখানে y_k y-ভেক্টর থেকে একটি স্থানাঙ্ক, (k হল 1 এবং n এর মধ্যে), m হল ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যা এবং স্থানাঙ্কের সংখ্যা x-ভেক্টরে, n হল ম্যাট্রিক্সের কলামের সংখ্যা এবং y-ভেক্টরে স্থানাঙ্কের সংখ্যা, a বর্ণসংখ্যার সূচক সহ ম্যাট্রিক্স A এর উপাদান।

আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের পণ্য

এই হিসাবটা জটিল মনে হতে পারে। যাইহোক, গুন সহজে সম্পন্ন করা হয়। একটি সংজ্ঞা দিয়ে শুরু করা যাক। m সারি এবং n কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স A এর গুণফল এবং n সারি এবং p কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স B হল m সারি এবং p কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স C, যার উপাদানটি c_{ij সারণি A থেকে i-তম সারি এবং B টেবিল থেকে j-ম কলামের উপাদানগুলির গুণফলের যোগফল। সহজ ভাষায়, উপাদান cij} হল i-ম সারির স্কেলার গুণফল টেবিল A থেকে ভেক্টর এবং B টেবিল থেকে j-তম কলাম ভেক্টর।

এখন চলুন অনুশীলনে বের করা যাক কিভাবে আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সের গুণফল বের করা যায়। এর জন্য 3 নং সমস্যার সমাধান করা যাক। একটি পণ্যের অস্তিত্বের শর্তটি সন্তুষ্ট। আসুন c_ij:

উপাদানগুলি গণনা করা শুরু করি

1. ম্যাট্রিক্স সি-তে ২টি সারি এবং ৩টি কলাম থাকবে।
2. উপাদান c₁₁ গণনা করুন। এটি করার জন্য, আমরা ম্যাট্রিক্স A থেকে সারি নং 1 এবং ম্যাট্রিক্স B থেকে কলাম নং 1 এর স্কেলার গুণফল সম্পাদন করি। c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. তারপর আমরা একইভাবে এগিয়ে যাই, শুধুমাত্র সারি, কলাম পরিবর্তন করে (উপাদান সূচকের উপর নির্ভর করে)।
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

উপাদানগুলি গণনা করা হয়৷ এখন এটি শুধুমাত্র প্রাপ্ত নম্বরগুলির একটি আয়তক্ষেত্রাকার ব্লক তৈরি করতে রয়ে গেছে৷

16	12	9
31	18	36

তিনটি ম্যাট্রিকের গুণন: তাত্ত্বিক অংশ

আপনি কি তিনটি ম্যাট্রিসের গুণফল খুঁজে পেতে পারেন? এই গণনামূলক অপারেশন সম্ভব। ফলাফল বিভিন্ন উপায়ে প্রাপ্ত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3টি বর্গাকার টেবিল রয়েছে (একই ক্রম অনুসারে) - A, B এবং C। পণ্যটি গণনা করতে, আপনি করতে পারেন:

1. প্রথমে A এবং B গুন করুন। তারপর ফলাফল C দিয়ে গুণ করুন।
2. প্রথমে B এবং C এর গুণফল বের করুন। তারপর ফলাফল দিয়ে ম্যাট্রিক্স Aকে গুণ করুন।

আপনার যদি আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সগুলিকে গুণ করতে হয়, তাহলে প্রথমে আপনাকে নিশ্চিত করতে হবে যে এই গণনামূলক ক্রিয়াকলাপটি সম্ভব। উচিতপণ্য A × B এবং B × C বিদ্যমান৷

ক্রমবর্ধমান গুন একটি ভুল নয়। "ম্যাট্রিক্স গুণনের সহযোগীতা" হিসাবে একটি জিনিস আছে। এই শব্দটি সমতাকে বোঝায় (A × B) × C=A × (B × C)।

তিনটি ম্যাট্রিক্স গুণের অনুশীলন

স্কোয়ার ম্যাট্রিস

ছোট বর্গ ম্যাট্রিক্স গুণ করে শুরু করুন। নীচের চিত্রটি 4 নম্বর সমস্যা দেখায়, যা আমাদের সমাধান করতে হবে৷

আমরা সহযোগীতা সম্পত্তি ব্যবহার করব। প্রথমে আমরা A এবং B, অথবা B এবং C গুন করি। আমরা শুধুমাত্র একটি জিনিস মনে রাখি: আপনি গুণনীয়কগুলিকে অদলবদল করতে পারবেন না, তা হল, আপনি B × A বা C × B গুণ করতে পারবেন না। এই গুণের মাধ্যমে, আমরা একটি পাব ভুল ফলাফল।

সিদ্ধান্তের অগ্রগতি।

এক ধাপ। সাধারণ গুণফল খুঁজে বের করার জন্য, আমরা প্রথমে A কে B দ্বারা গুণ করি। দুটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার সময়, আমরা উপরে বর্ণিত নিয়মগুলি দ্বারা পরিচালিত হব। সুতরাং, A এবং B গুণ করার ফলাফল 2টি সারি এবং 2টি কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স D হবে, অর্থাৎ একটি আয়তক্ষেত্রাকার বিন্যাসে 4টি উপাদান থাকবে। আসুন গণনা করে তাদের খুঁজে বের করি:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d_২১=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

মধ্যবর্তী ফলাফল প্রস্তুত।

30	10
15	16

ধাপ দুই। এখন ম্যাট্রিক্স D কে ম্যাট্রিক্স C দ্বারা গুন করি। ফলাফলটি 2 সারি এবং 2 টি কলাম সহ একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স G হওয়া উচিত। উপাদান গণনা করুন:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g_২১=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123।

এইভাবে, বর্গ ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ফলাফল গণনা করা উপাদান সহ একটি টেবিল G।

250	180
136	123

আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্স

নীচের চিত্রটি 5 নম্বর সমস্যা দেখায়। আয়তক্ষেত্রাকার ম্যাট্রিক্সকে গুণ করতে এবং একটি সমাধান খুঁজে বের করতে হবে।

আসুন A × B এবং B × C পণ্যগুলির অস্তিত্বের শর্তটি সন্তুষ্ট কিনা তা পরীক্ষা করা যাক৷ নির্দেশিত ম্যাট্রিক্সের আদেশগুলি আমাদের গুণন সম্পাদন করতে দেয়৷ আসুন সমস্যাটি সমাধান করা শুরু করি৷

সিদ্ধান্তের অগ্রগতি।

এক ধাপ। D পেতে B কে C দ্বারা গুন করুন। ম্যাট্রিক্স B এর 3 টি সারি এবং 4 টি কলাম এবং ম্যাট্রিক্স C এর 4 টি সারি এবং 2 টি কলাম রয়েছে। এর মানে হল যে আমরা 3টি সারি এবং 2টি কলাম সহ একটি ম্যাট্রিক্স D পাব। এর উপাদান গণনা করা যাক. এখানে 2টি গণনার উদাহরণ রয়েছে:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁2_{=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.}

আমরা সমস্যার সমাধান চালিয়ে যাচ্ছি। আরও গণনার ফলস্বরূপ, আমরা d₂₁, d₂ খুঁজে পাই 2, d₃₁ এবং d₃₂। এই উপাদানগুলি যথাক্রমে 0, 19, 1 এবং 11। আসুন পাওয়া মানগুলিকে একটি আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারেতে লিখি৷

0	7
0	19
1	11

ধাপ দুই। চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্স F পেতে A কে D দ্বারা গুণ করুন। এতে 2টি সারি এবং 2টি কলাম থাকবে। উপাদান গণনা করুন:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52।

একটি আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারে রচনা করুন, যা তিনটি ম্যাট্রিক্সকে গুণ করার শেষ ফলাফল৷

1	139
3	52

প্রত্যক্ষ কাজের ভূমিকা

বস্তু বোঝা বেশ কঠিন ম্যাট্রিক্সের ক্রোনেকার পণ্য। এটির একটি অতিরিক্ত নামও রয়েছে - একটি সরাসরি কাজ। এই পদ দ্বারা কি বোঝানো হয়েছে? ধরা যাক আমাদের ক্রম m × n এর টেবিল A এবং p × q এর সারণী B আছে। ম্যাট্রিক্স A এবং ম্যাট্রিক্স B এর সরাসরি গুণফল হল mp × nq এর একটি ম্যাট্রিক্স।

আমাদের 2টি বর্গ ম্যাট্রিক্স A, B, যা ছবিতে দেখানো হয়েছে। প্রথমটিতে 2টি কলাম এবং 2টি সারি এবং দ্বিতীয়টিতে 3টি কলাম এবং 3টি সারি রয়েছে। আমরা দেখতে পাই যে সরাসরি পণ্যের ফলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সে 6টি সারি এবং ঠিক একই সংখ্যক কলাম রয়েছে।

একটি নতুন ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলিকে সরাসরি পণ্যে কীভাবে গণনা করা হয়? ছবি বিশ্লেষণ করলে এই প্রশ্নের উত্তর পাওয়া খুব সহজ। প্রথমে প্রথম লাইনটি পূরণ করুন। সারণি A এর উপরের সারি থেকে প্রথম উপাদানটি নিন এবং ক্রমানুসারে প্রথম সারির উপাদানগুলি দ্বারা গুণ করুনটেবিল B থেকে। এরপর, টেবিল A এর প্রথম সারির দ্বিতীয় উপাদানটি নিন এবং সারণি B এর প্রথম সারির উপাদান দিয়ে ক্রমিকভাবে গুণ করুন। দ্বিতীয় সারিটি পূরণ করতে, টেবিল A এর প্রথম সারি থেকে আবার প্রথম উপাদানটি নিন এবং টেবিল B এর দ্বিতীয় সারির উপাদান দিয়ে এটিকে গুণ করুন।

সরাসরি পণ্য দ্বারা প্রাপ্ত চূড়ান্ত ম্যাট্রিক্সকে ব্লক ম্যাট্রিক্স বলা হয়। যদি আমরা চিত্রটি আবার বিশ্লেষণ করি, আমরা দেখতে পাব যে আমাদের ফলাফল 4টি ব্লক নিয়ে গঠিত। তাদের সবকটিতেই ম্যাট্রিক্স বি-এর উপাদান রয়েছে। উপরন্তু, প্রতিটি ব্লকের একটি উপাদানকে ম্যাট্রিক্স A-এর একটি নির্দিষ্ট উপাদান দ্বারা গুণিত করা হয়। প্রথম ব্লকে, সমস্ত উপাদানকে a₁₁ দ্বারা গুণ করা হয়। দ্বিতীয় - একটি _{12, তৃতীয়টিতে - একটি}২১_{, চতুর্থটিতে - একটি}22_।

পণ্য নির্ধারক

ম্যাট্রিক্স গুণনের বিষয়টি বিবেচনা করার সময়, "ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ধারক" এর মতো একটি শব্দ বিবেচনা করা মূল্যবান। একটি নির্ধারক কি? এটি একটি বর্গ ম্যাট্রিক্সের একটি গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য, একটি নির্দিষ্ট মান যা এই ম্যাট্রিক্সে বরাদ্দ করা হয়। নির্ধারকের আক্ষরিক উপাধি হল det৷

দুটি কলাম এবং দুটি সারি সমন্বিত একটি ম্যাট্রিক্স A-এর জন্য নির্ধারক খুঁজে পাওয়া সহজ। একটি ছোট সূত্র রয়েছে যা নির্দিষ্ট উপাদানগুলির পণ্যগুলির মধ্যে পার্থক্য:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

আসুন একটি দ্বিতীয়-অর্ডার টেবিলের নির্ধারক গণনার একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। একটি ম্যাট্রিক্স A আছে যেখানে a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 এবং a ₂₂=1. নির্ধারক গণনা করতে, সূত্রটি ব্যবহার করুন:

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

3 × 3 ম্যাট্রিসের জন্য, নির্ধারককে আরও জটিল সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়। এটি ম্যাট্রিক্স A এর জন্য নীচে উপস্থাপন করা হয়েছে:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 ইয়ার 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃।

সূত্রটি মনে রাখার জন্য, আমরা ত্রিভুজ নিয়ম নিয়ে এসেছি, যা ছবিতে দেখানো হয়েছে। প্রথমত, প্রধান তির্যকের উপাদানগুলিকে গুণ করা হয়। লাল বাহু সহ ত্রিভুজ কোণ দ্বারা নির্দেশিত এই উপাদানগুলির পণ্যগুলি প্রাপ্ত মানের সাথে যোগ করা হয়। এরপর, গৌণ কর্ণের উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয় এবং নীল বাহুর ত্রিভুজগুলির কোণগুলি দ্বারা নির্দেশিত সেই উপাদানগুলির গুণফল বিয়োগ করা হয়৷

এখন ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ধারক সম্পর্কে কথা বলা যাক। একটি উপপাদ্য রয়েছে যা বলে যে এই সূচকটি গুণক টেবিলের নির্ধারকগুলির গুণফলের সমান। আসুন একটি উদাহরণ দিয়ে এটি যাচাই করা যাক। আমাদের এন্ট্রি সহ ম্যাট্রিক্স A আছে a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 এবং a22_{=1 এবং ম্যাট্রিক্স B এন্ট্রি সহ b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 এবং b}22_{=2. ম্যাট্রিক্স A এবং B, গুণফল A × B এবং এই পণ্যের নির্ধারক নির্ণয়ক খুঁজুন।}

সিদ্ধান্তের অগ্রগতি।

এক ধাপ। A এর নির্ধারক গণনা করুন: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1। এরপর, B-এর নির্ধারক গণনা করুন: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

ধাপ দুই। চল খুঁজিপণ্য A × B. C অক্ষর দ্বারা নতুন ম্যাট্রিক্স নির্দেশ করুন। এর উপাদানগুলি গণনা করুন:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

ধাপ তিন। C এর নির্ধারক গণনা করুন: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3। মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ধারকগুলিকে গুণ করে যে মানের সাথে প্রাপ্ত করা যেতে পারে তার সাথে তুলনা করুন। সংখ্যা একই. উপরের উপপাদ্যটি সত্য।

পণ্যের স্থান

একটি ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা রৈখিকভাবে স্বাধীন সারি বা কলামের সর্বাধিক সংখ্যাকে প্রতিফলিত করে। র্যাঙ্ক গণনা করতে, ম্যাট্রিক্সের প্রাথমিক রূপান্তরগুলি সঞ্চালিত হয়:

• দুটি সমান্তরাল সারির পুনর্বিন্যাস;
• টেবিল থেকে একটি নির্দিষ্ট সারির সমস্ত উপাদানকে একটি অ-শূন্য সংখ্যা দ্বারা গুণ করা;
• একটি সারির উপাদানের উপাদানে অন্য সারির উপাদান যোগ করা, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা দ্বারা গুণ করা।

প্রাথমিক রূপান্তরের পরে, নন-জিরো স্ট্রিংগুলির সংখ্যা দেখুন। তাদের সংখ্যা ম্যাট্রিক্সের র‌্যাঙ্ক। আগের উদাহরণ বিবেচনা করুন। এটি 2টি ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন করেছে: A উপাদান সহ a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 এবং এ 21_{=1 এবং b}22_{=2। আমরা গুণের ফলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্স C ব্যবহার করব। যদি আমরা প্রাথমিক রূপান্তর সম্পাদন করি, তাহলে সরলীকৃত ম্যাট্রিক্সে কোন শূন্য সারি থাকবে না। এর মানে হল যে টেবিল A এর র‌্যাঙ্ক এবং টেবিল B এর র‌্যাঙ্ক এবং র‌্যাঙ্কটেবিল C হল 2.}

এখন ম্যাট্রিক্সের গুণফলের র‌্যাঙ্কের দিকে বিশেষ মনোযোগ দেওয়া যাক। একটি উপপাদ্য আছে যা বলে যে সাংখ্যিক উপাদান সম্বলিত সারণীগুলির একটি গুণফলের র্যাঙ্ক যেকোনও কারণের র্যাঙ্ককে অতিক্রম করে না। এটা প্রমাণ করা যেতে পারে। A কে একটি k × s ম্যাট্রিক্স এবং B একটি s × m ম্যাট্রিক্স হোক। A এবং B এর গুণফল C এর সমান।

আসুন উপরের ছবিটি অধ্যয়ন করি। এটি ম্যাট্রিক্স সি এর প্রথম কলাম এবং এর সরলীকৃত স্বরলিপি দেখায়। এই কলামটি ম্যাট্রিক্স A-তে অন্তর্ভুক্ত কলামগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। একইভাবে, আয়তক্ষেত্রাকার অ্যারে C থেকে অন্য যে কোনও কলাম সম্পর্কে বলা যেতে পারে। এইভাবে, টেবিল C এর কলাম ভেক্টর দ্বারা গঠিত সাবস্পেসটি গঠিত সাবস্পেসে রয়েছে। সারণী A এর কলাম ভেক্টর। সুতরাং, সাবস্পেস নং 1 এর মাত্রা সাবস্পেস নং 2 এর মাত্রা অতিক্রম করে না। এর দ্বারা বোঝায় যে টেবিল C এর কলামের র্যাঙ্ক A টেবিলের কলামের র্যাঙ্ক অতিক্রম করে না, যেমন, r(C) ≦ r(A)। যদি আমরা একইভাবে তর্ক করি, তাহলে আমরা নিশ্চিত করতে পারি যে ম্যাট্রিক্স C-এর সারিগুলি ম্যাট্রিক্স B-এর সারির রৈখিক সংমিশ্রণ। এটি অসমতা r(C) ≦ r(B) বোঝায়।

কীভাবে ম্যাট্রিক্সের পণ্য খুঁজে বের করা যায় একটি বরং জটিল বিষয়। এটি সহজেই আয়ত্ত করা যায়, তবে এই ধরনের ফলাফল অর্জন করতে, আপনাকে সমস্ত বিদ্যমান নিয়ম এবং উপপাদ্যগুলি মুখস্ত করতে অনেক সময় ব্যয় করতে হবে৷