গণিতের একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা একটি ফাংশন। এর সাহায্যে, আপনি প্রকৃতিতে ঘটতে থাকা অনেক প্রক্রিয়া কল্পনা করতে পারেন, গ্রাফে সূত্র, টেবিল এবং চিত্র ব্যবহার করে নির্দিষ্ট পরিমাণের মধ্যে সম্পর্ক প্রতিফলিত করতে পারেন। একটি উদাহরণ হল নিমজ্জনের গভীরতা, ত্বরণ - একটি বস্তুর উপর একটি নির্দিষ্ট শক্তির ক্রিয়া, তাপমাত্রা বৃদ্ধি - প্রেরিত শক্তির উপর এবং অন্যান্য অনেক প্রক্রিয়ার উপর একটি শরীরের উপর একটি তরল স্তরের চাপের নির্ভরতা। একটি ফাংশনের অধ্যয়নের মধ্যে একটি গ্রাফ নির্মাণ, এর বৈশিষ্ট্যগুলির স্পষ্টীকরণ, সুযোগ এবং মান, বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান জড়িত। এই প্রক্রিয়ার একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হল চরম পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা। কীভাবে এটি সঠিকভাবে করা যায় এবং কথোপকথন চলবে।
একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে ধারণা সম্পর্কে নিজেই
মেডিসিনে, একটি ফাংশন গ্রাফ প্লট করা রোগীর শরীরে একটি রোগের অগ্রগতি সম্পর্কে বলতে পারে, দৃশ্যত তার অবস্থা প্রতিফলিত করে। আসুন ধরে নিই যে দিনের মধ্যে সময়টি OX অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়েছে এবং মানবদেহের তাপমাত্রা OY অক্ষ বরাবর প্লট করা হয়েছে। চিত্রটি স্পষ্টভাবে দেখায় কিভাবে এই সূচকটি দ্রুত বৃদ্ধি পায়, এবংতারপর এটি পড়ে। একক পয়েন্টগুলি লক্ষ্য করাও সহজ যেগুলি সেই মুহুর্তগুলিকে প্রতিফলিত করে যখন ফাংশনটি, পূর্বে বৃদ্ধি পেয়ে, হ্রাস পেতে শুরু করে এবং এর বিপরীতে। এগুলি হল চরম পয়েন্ট, অর্থাৎ, রোগীর তাপমাত্রার এই ক্ষেত্রে সমালোচনামূলক মান (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন), যার পরে তার অবস্থার পরিবর্তন ঘটে।
টিল্ট কোণ
একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা চিত্র থেকে নির্ণয় করা সহজ। যদি গ্রাফের সরল রেখাগুলি সময়ের সাথে উপরে যায় তবে এটি ইতিবাচক। এবং তারা যত বেশি খাড়া হবে, ডেরিভেটিভের মান তত বেশি হবে, কারণ প্রবণতার কোণ বাড়বে। হ্রাসের সময়কালে, এই মানটি নেতিবাচক মান নেয়, চরম বিন্দুতে শূন্যে পরিণত হয় এবং পরবর্তী ক্ষেত্রে ডেরিভেটিভের গ্রাফটি OX অক্ষের সমান্তরালে আঁকা হয়।
অন্য যেকোন প্রক্রিয়ার সাথে একইভাবে আচরণ করা উচিত। কিন্তু এই ধারণার সবচেয়ে ভালো জিনিসটি বিভিন্ন দেহের গতিবিধি বলতে পারে, যা গ্রাফে স্পষ্টভাবে দেখানো হয়েছে।
আন্দোলন
ধরুন কিছু বস্তু সরলরেখায় চলে, সমানভাবে গতি লাভ করে। এই সময়ের মধ্যে, শরীরের স্থানাঙ্কের পরিবর্তন গ্রাফিকভাবে একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখার প্রতিনিধিত্ব করে, যাকে একজন গণিতবিদ প্যারাবোলার একটি শাখা বলবেন। একই সময়ে, ফাংশনটি ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে, যেহেতু স্থানাঙ্ক সূচকগুলি প্রতি সেকেন্ডের সাথে দ্রুত এবং দ্রুত পরিবর্তন হয়। গতির গ্রাফটি ডেরিভেটিভের আচরণ দেখায়, যার মানও বৃদ্ধি পায়। এর মানে এই যে আন্দোলনের কোন গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট নেই।
এটি অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত থাকত। কিন্তু যদি শরীর হঠাৎ ধীর হয়ে যাওয়ার সিদ্ধান্ত নেয়, থামুন এবং অন্যটিতে চলতে শুরু করুনঅভিমুখ? এই ক্ষেত্রে, স্থানাঙ্ক সূচকগুলি হ্রাস পেতে শুরু করবে। এবং ফাংশনটি সমালোচনামূলক মান অতিক্রম করবে এবং বৃদ্ধি থেকে হ্রাস পাবে।
এই উদাহরণে, আপনি আবার বুঝতে পারবেন যে ফাংশন গ্রাফের চরম বিন্দুগুলি সেই মুহুর্তে উপস্থিত হয় যখন এটি একঘেয়ে হওয়া বন্ধ করে দেয়।
ডেরিভেটিভের শারীরিক অর্থ
আগে বর্ণিত স্পষ্টভাবে দেখায় যে ডেরিভেটিভ মূলত ফাংশনের পরিবর্তনের হার। এই পরিমার্জন এর শারীরিক অর্থ ধারণ করে। এক্সট্রিম পয়েন্টগুলি চার্টের গুরুত্বপূর্ণ ক্ষেত্র। ডেরিভেটিভের মান গণনা করে তাদের খুঁজে বের করা এবং সনাক্ত করা সম্ভব, যা শূন্যের সমান হবে।
আরেকটি চিহ্ন রয়েছে, যা একটি চরমপন্থার জন্য যথেষ্ট শর্ত। এই ধরনের বিবর্তনের জায়গায় ডেরিভেটিভ তার চিহ্ন পরিবর্তন করে: সর্বাধিক অঞ্চলে "+" থেকে "-" এবং সর্বনিম্ন অঞ্চলে "-" থেকে "+"।
মাধ্যাকর্ষণ শক্তির প্রভাবে চলাফেরা
আসুন আরেকটি পরিস্থিতি কল্পনা করা যাক। বাচ্চারা, বল খেলছিল, এটি এমনভাবে নিক্ষেপ করেছিল যে এটি দিগন্তের দিকে একটি কোণে সরতে শুরু করেছিল। প্রাথমিক মুহুর্তে, এই বস্তুর গতি সবচেয়ে বেশি ছিল, কিন্তু মাধ্যাকর্ষণ শক্তির প্রভাবে এটি কমতে শুরু করে এবং প্রতি সেকেন্ডে একই মান দিয়ে, প্রায় 9.8 m/s2এটি ত্বরণের মান যা মুক্ত পতনের সময় পৃথিবীর অভিকর্ষের প্রভাবে ঘটে। চাঁদে, এটি প্রায় ছয় গুণ ছোট হবে৷
শরীরের গতিবিধি বর্ণনাকারী গ্রাফটি শাখা সহ একটি প্যারাবোলা,নিম্নগামী কিভাবে extremum পয়েন্ট খুঁজে পেতে? এই ক্ষেত্রে, এটি ফাংশনের শীর্ষবিন্দু, যেখানে শরীরের গতি (বল) একটি শূন্য মান নেয়। ফাংশনের ডেরিভেটিভ শূন্য হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, দিক, এবং তাই গতির মান, বিপরীতে পরিবর্তিত হয়। শরীর প্রতি সেকেন্ড দ্রুত এবং দ্রুত নিচে উড়ে যায়, এবং একই পরিমাণে ত্বরান্বিত হয় - 9.8 m/s2।
সেকেন্ড ডেরিভেটিভ
আগের ক্ষেত্রে, বেগ মডুলাসের গ্রাফটি একটি সরল রেখা হিসাবে আঁকা হয়েছে। এই রেখাটি প্রথমে নীচের দিকে নির্দেশিত হয়, যেহেতু এই পরিমাণের মান ক্রমাগত হ্রাস পাচ্ছে। সময়ের মধ্যে একটি পয়েন্টে শূন্যে পৌঁছে, তারপরে এই মানের সূচকগুলি বাড়তে শুরু করে এবং গতি মডিউলের গ্রাফিকাল উপস্থাপনার দিকটি নাটকীয়ভাবে পরিবর্তিত হয়। লাইন এখন উপরে নির্দেশ করছে।
বেগ, স্থানাঙ্কের সময় ডেরিভেটিভ হওয়ার কারণে, এর একটি গুরুত্বপূর্ণ বিন্দুও রয়েছে। এই অঞ্চলে, ফাংশন, প্রাথমিকভাবে হ্রাস, বাড়তে শুরু করে। এটি ফাংশনের ডেরিভেটিভের চরম বিন্দুর স্থান। এই ক্ষেত্রে, স্পর্শকের ঢাল শূন্য হয়ে যায়। এবং ত্বরণ, সময়ের সাপেক্ষে স্থানাঙ্কের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ হওয়ায়, চিহ্ন "-" থেকে "+" এ পরিবর্তিত হয়। এবং সমানভাবে ধীর থেকে আন্দোলন সমানভাবে ত্বরান্বিত হয়।
ত্বরণ চার্ট
এখন চারটি ছবি বিবেচনা করুন। তাদের প্রত্যেকটি ত্বরণের মতো ভৌত পরিমাণের সময়ের সাথে পরিবর্তনের একটি গ্রাফ প্রদর্শন করে। "A" এর ক্ষেত্রে এর মান ধনাত্মক এবং স্থির থাকে। এর মানে শরীরের গতি, তার স্থানাঙ্কের মতো, ক্রমাগত বৃদ্ধি পাচ্ছে। যদি একটিকল্পনা করুন যে বস্তুটি এইভাবে অসীম দীর্ঘ সময়ের জন্য চলে যাবে, সময়ের উপর স্থানাঙ্কের নির্ভরতা প্রতিফলিত করে ফাংশনটি ক্রমাগত বৃদ্ধি পাবে। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে এটির কোনও সমালোচনামূলক অঞ্চল নেই। ডেরিভেটিভের গ্রাফে কোন চরম বিন্দু নেই, অর্থাৎ রৈখিকভাবে পরিবর্তনশীল গতি।
একটি ইতিবাচক এবং ক্রমাগত ক্রমবর্ধমান ত্বরণ সহ ক্ষেত্রে "B" এর ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। সত্য, স্থানাঙ্ক এবং গতির প্লটগুলি এখানে কিছুটা জটিল হবে৷
যখন ত্বরণ শূন্য হয়
"B" ছবিটি দেখলে আপনি একটি সম্পূর্ণ ভিন্ন ছবি দেখতে পাবেন যা শরীরের নড়াচড়ার বৈশিষ্ট্য দেখায়। এর গতি গ্রাফিকভাবে একটি প্যারাবোলা হিসাবে চিত্রিত করা হবে যার শাখাগুলি নীচের দিকে নির্দেশ করে। যদি আমরা ত্বরণের পরিবর্তন বর্ণনা করে রেখাটি চালিয়ে যাই যতক্ষণ না এটি OX অক্ষের সাথে ছেদ করে, এবং আরও, তাহলে আমরা কল্পনা করতে পারি যে এই গুরুত্বপূর্ণ মান পর্যন্ত, যেখানে ত্বরণ শূন্যের সমান হবে, বস্তুর গতি বৃদ্ধি পাবে। আরো এবং আরো ধীরে ধীরে। স্থানাঙ্ক ফাংশনের ডেরিভেটিভের চরম বিন্দুটি প্যারাবোলার ঠিক শীর্ষে থাকবে, তারপরে শরীরটি আমূল পরিবর্তনের প্রকৃতি পরিবর্তন করবে এবং অন্য দিকে যেতে শুরু করবে।
পরবর্তী ক্ষেত্রে, "G", আন্দোলনের প্রকৃতি সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা যায় না। এখানে আমরা শুধু জানি যে বিবেচনাধীন কিছু সময়ের জন্য কোন ত্বরণ নেই। এর মানে হল যে বস্তুটি জায়গায় থাকতে পারে বা একটি ধ্রুবক গতিতে চলাচল করতে পারে।
অর্ডিনেট যোগ টাস্ক
আসুন আমরা এমন কাজগুলিতে এগিয়ে যাই যা প্রায়শই স্কুলে বীজগণিত অধ্যয়নে পাওয়া যায় এবং এর জন্য প্রস্তাব করা হয়পরীক্ষার জন্য প্রস্তুতি। নিচের চিত্রটি ফাংশনের গ্রাফ দেখায়। এক্সট্রিম পয়েন্টের যোগফল গণনা করতে হবে।
আসুন y-অক্ষের জন্য এটি করা যাক গুরুত্বপূর্ণ অঞ্চলগুলির স্থানাঙ্কগুলি নির্ধারণ করে যেখানে ফাংশনের বৈশিষ্ট্যগুলির পরিবর্তন লক্ষ্য করা যায়। সহজ কথায়, আমরা ইনফ্লেকশন বিন্দুর জন্য x-অক্ষ বরাবর মানগুলি খুঁজে পাই এবং তারপরে ফলস্বরূপ পদ যোগ করতে এগিয়ে যাই। গ্রাফ অনুসারে, এটা স্পষ্ট যে তারা নিম্নলিখিত মানগুলি গ্রহণ করে: -8; -7; -5; -3; -2; এক; 3. এটি -21 পর্যন্ত যোগ করে, যা উত্তর।
সর্বোত্তম সমাধান
ব্যবহারিক কার্য সম্পাদনের ক্ষেত্রে সর্বোত্তম সমাধানের পছন্দ কতটা গুরুত্বপূর্ণ তা ব্যাখ্যা করার প্রয়োজন নেই। সর্বোপরি, লক্ষ্য অর্জনের অনেকগুলি উপায় রয়েছে এবং একটি নিয়ম হিসাবে সর্বোত্তম উপায়টি কেবল একটি। এটি অত্যন্ত প্রয়োজনীয়, উদাহরণস্বরূপ, জাহাজ, মহাকাশযান এবং বিমান, স্থাপত্য কাঠামো ডিজাইন করার সময় এই মানবসৃষ্ট বস্তুর সর্বোত্তম আকৃতি খুঁজে বের করার জন্য।
যানবাহনের গতি মূলত নির্ভর করে জল এবং বাতাসের মধ্য দিয়ে চলার সময় তারা যে প্রতিরোধের অভিজ্ঞতা লাভ করে, মহাকর্ষীয় শক্তি এবং অন্যান্য অনেক সূচকের প্রভাবে উদ্ভূত ওভারলোড থেকে। সমুদ্রের একটি জাহাজের ঝড়ের সময় স্থিতিশীলতার মতো গুণাবলীর প্রয়োজন; একটি নদী জাহাজের জন্য, একটি ন্যূনতম খসড়া গুরুত্বপূর্ণ। সর্বোত্তম নকশা গণনা করার সময়, গ্রাফের চরম বিন্দুগুলি দৃশ্যত একটি জটিল সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান সম্পর্কে ধারণা দিতে পারে। এই ধরনের কাজ প্রায়ই হয়অর্থনীতিতে, অর্থনৈতিক ক্ষেত্রে, জীবনের অন্যান্য পরিস্থিতিতে সমাধান করা হয়৷
প্রাচীন ইতিহাস থেকে
চরম সমস্যা এমনকি প্রাচীন ঋষিদেরও দখল করেছে। গ্রীক বিজ্ঞানীরা সফলভাবে গাণিতিক গণনার মাধ্যমে এলাকা এবং আয়তনের রহস্য উদ্ঘাটন করেছিলেন। তারাই প্রথম বুঝতে পেরেছিল যে একই ঘের সহ বিভিন্ন চিত্রের সমতলে, বৃত্তের সর্বদা বৃহত্তম ক্ষেত্র থাকে। একইভাবে, একই পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফলের সাথে মহাকাশের অন্যান্য বস্তুর মধ্যে একটি বল সর্বাধিক আয়তনে সমৃদ্ধ। আর্কিমিডিস, ইউক্লিড, অ্যারিস্টটল, অ্যাপোলোনিয়াসের মতো বিখ্যাত ব্যক্তিত্বরা এই ধরনের সমস্যা সমাধানে নিজেদের নিবেদিত করেছিলেন। হেরন চরম বিন্দুগুলি খুঁজে বের করতে খুব ভালভাবে সফল হয়েছিল, যারা গণনার অবলম্বন করে, বুদ্ধিমান ডিভাইস তৈরি করেছিল। এর মধ্যে রয়েছে বাষ্প, পাম্প এবং টারবাইনের মাধ্যমে চলমান স্বয়ংক্রিয় মেশিনগুলি একই নীতিতে কাজ করে৷
কার্থেজ নির্মাণ
একটি কিংবদন্তি রয়েছে, যার প্লটটি চরম সমস্যার একটি সমাধানের উপর ভিত্তি করে। ফিনিশিয়ান রাজকুমারী দ্বারা প্রদর্শিত ব্যবসায়িক পদ্ধতির ফলাফল, যিনি সাহায্যের জন্য ঋষিদের দিকে ফিরেছিলেন, কার্থেজের নির্মাণ ছিল। এই প্রাচীন এবং বিখ্যাত শহরের জমির প্লটটি আফ্রিকান উপজাতিগুলির একটির নেতা ডিডোকে (এটি শাসকের নাম) উপস্থাপন করেছিলেন। বরাদ্দের ক্ষেত্রটি প্রথমে তার কাছে খুব বড় বলে মনে হয়নি, যেহেতু চুক্তি অনুসারে এটি একটি অক্সাইড দিয়ে আবৃত করতে হয়েছিল। কিন্তু রাজকুমারী তার সৈন্যদের নির্দেশ দিয়েছিলেন যে তারা এটিকে পাতলা ফিতে কেটে একটি বেল্ট তৈরি করুন। এটি এত দীর্ঘ হয়ে উঠল যে এটি সাইটটিকে কভার করে,যেখানে পুরো শহর মানানসই।
ক্যালকুলাসের উৎপত্তি
এবং এখন প্রাচীনকাল থেকে পরবর্তী যুগে যাওয়া যাক। মজার বিষয় হল, 17 শতকে, কেপলারকে একজন ওয়াইন বিক্রেতার সাথে বৈঠকের মাধ্যমে গাণিতিক বিশ্লেষণের ভিত্তি বোঝার জন্য অনুরোধ করা হয়েছিল। বণিক তার পেশায় এতটাই পারদর্শী ছিলেন যে তিনি সহজেই একটি লোহার টর্নিকেট নামিয়ে ব্যারেলে পানীয়ের পরিমাণ নির্ধারণ করতে পারতেন। এই জাতীয় কৌতূহলের প্রতিফলন করে, বিখ্যাত বিজ্ঞানী নিজের জন্য এই দ্বিধাটি সমাধান করতে পেরেছিলেন। দেখা যাচ্ছে যে সেই সময়ের দক্ষ কুপাররা এমনভাবে পাত্র তৈরি করতে পেরেছিল যে বেঁধে দেওয়া রিংগুলির পরিধির একটি নির্দিষ্ট উচ্চতা এবং ব্যাসার্ধে তাদের সর্বোচ্চ ক্ষমতা থাকবে।
এটি কেপলারের আরও প্রতিফলনের জন্য ছিল। বোচাররা একটি দীর্ঘ অনুসন্ধান, ভুল এবং নতুন প্রচেষ্টার মাধ্যমে সর্বোত্তম সমাধানে এসেছেন, প্রজন্ম থেকে প্রজন্মে তাদের অভিজ্ঞতা পাস করেছেন। কিন্তু কেপলার এই প্রক্রিয়াটিকে ত্বরান্বিত করতে চেয়েছিলেন এবং গাণিতিক গণনার মাধ্যমে অল্প সময়ের মধ্যে কীভাবে একই কাজ করা যায় তা শিখতে চেয়েছিলেন। তার সমস্ত উন্নয়ন, সহকর্মীদের দ্বারা বাছাই করা, ফারম্যাট এবং নিউটন - লাইবনিজের এখন পরিচিত তত্ত্বে পরিণত হয়েছে৷
সর্বোচ্চ এলাকা সমস্যা
আসুন কল্পনা করা যাক যে আমাদের কাছে 50 সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের একটি তার আছে। কীভাবে এটি থেকে সবচেয়ে বড় ক্ষেত্রফল নিয়ে একটি আয়তক্ষেত্র তৈরি করবেন?
একটি সিদ্ধান্ত শুরু করে, একজনকে সহজ এবং পরিচিত সত্য থেকে এগিয়ে যেতে হবে। এটা স্পষ্ট যে আমাদের চিত্রের পরিধি 50 সেমি হবে। এটি উভয় পক্ষের দ্বিগুণ দৈর্ঘ্য নিয়ে গঠিত। এর অর্থ হল, তাদের একটিকে "X" হিসাবে মনোনীত করে, অন্যটিকে (25 - X) হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
এখান থেকে আমরা পাইX এর সমান একটি এলাকা (25 - X)। এই অভিব্যক্তিটিকে একটি ফাংশন হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে যা অনেকগুলি মান নেয়। সমস্যার সমাধানের জন্য তাদের সর্বাধিক খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যার অর্থ হল আপনার চরম পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করা উচিত।
এটি করার জন্য, আমরা প্রথম ডেরিভেটিভটি খুঁজে পাই এবং এটিকে শূন্যের সাথে সমান করি। ফলাফল হল একটি সহজ সমীকরণ: 25 - 2X=0.
এটি থেকে আমরা শিখি যে একটি বাহু X=12, 5।
অতএব, আরেকটি: 25 – 12, 5=12, 5।
এটা দেখা যাচ্ছে যে সমস্যার সমাধান হবে 12.5 সেন্টিমিটারের একটি বর্গক্ষেত্র।
কিভাবে সর্বোচ্চ গতি বের করবেন
আসুন আরও একটি উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। কল্পনা করুন যে এমন একটি দেহ আছে যার রেক্টিলিনিয়ার গতি S=- t3 + 9t2 – 24t – 8 দ্বারা বর্ণিত হয়েছে, যেখানে দূরত্ব ভ্রমণকে মিটারে প্রকাশ করা হয় এবং সময়টি সেকেন্ডে। এটি সর্বোচ্চ গতি খুঁজে বের করতে হবে. এটা কিভাবে করতে হবে? ডাউনলোড করা গতি খুঁজুন, অর্থাৎ প্রথম ডেরিভেটিভ।
আমরা সমীকরণটি পেয়েছি: V=- 3t2 + 18t – 24। এখন, সমস্যা সমাধানের জন্য, আমাদের আবার এক্সট্রিম পয়েন্টগুলি খুঁজে বের করতে হবে। এটি অবশ্যই আগের টাস্কের মতো একইভাবে করা উচিত। গতির প্রথম ডেরিভেটিভ খুঁজুন এবং এটিকে শূন্যের সমান করুন।
আমরা পাই: - 6t + 18=0। তাই t=3 s। এই সময় যখন শরীরের গতি একটি সমালোচনামূলক মান নেয়। আমরা প্রাপ্ত ডেটাকে বেগ সমীকরণে প্রতিস্থাপন করি এবং পাই: V=3 m/s.
কিন্তু কীভাবে বুঝবেন যে এটি ঠিক সর্বোচ্চ গতি, কারণ একটি ফাংশনের সমালোচনামূলক পয়েন্ট তার সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান হতে পারে? চেক করতে, আপনাকে একটি সেকেন্ড খুঁজে বের করতে হবেগতির ডেরিভেটিভ এটি একটি বিয়োগ চিহ্ন সহ 6 নম্বর হিসাবে প্রকাশ করা হয়। এর মানে হল যে পাওয়া বিন্দু সর্বাধিক। এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের একটি ধনাত্মক মানের ক্ষেত্রে, একটি সর্বনিম্ন হবে। সুতরাং, পাওয়া সমাধানটি সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছে৷
উদাহরণ হিসাবে প্রদত্ত কাজগুলি কেবলমাত্র সেইগুলির একটি অংশ যা একটি ফাংশনের চরম পয়েন্টগুলি খুঁজে পেতে সক্ষম হয়ে সমাধান করা যেতে পারে। আসলে, আরো অনেক আছে. আর এই ধরনের জ্ঞান মানব সভ্যতার জন্য সীমাহীন সম্ভাবনার দ্বার উন্মোচন করে।
