একটি ত্রিভুজ হল একটি বহুভুজ যার তিনটি বাহু (তিন কোণ)। প্রায়শই, পার্শ্বগুলি ছোট অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, বড় অক্ষরগুলির সাথে সম্পর্কিত যা বিপরীত শীর্ষবিন্দুগুলিকে নির্দেশ করে। এই নিবন্ধে, আমরা এই জ্যামিতিক আকারগুলির প্রকারগুলির সাথে পরিচিত হব, একটি উপপাদ্য যা একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি কত তা নির্ধারণ করে৷
কোণ অনুসারে ভিউ
তিনটি শীর্ষবিন্দু সহ নিম্নলিখিত ধরণের বহুভুজকে আলাদা করা হয়েছে:
- তীব্র-কোণযুক্ত, যার সমস্ত কোণ ধারালো;
- আয়তক্ষেত্রাকার, একটি সমকোণ রয়েছে, যখন এটি তৈরি করা বাহুগুলিকে পা বলা হয়, এবং ডান কোণের বিপরীত দিকে রাখা হয় তাকে বলা হয় কর্ণ;
- অবস্তুয যখন এক কোণ অস্পষ্ট হয়;
- সমদ্বিবাহু, যার দুটি বাহু সমান, এবং তাদের পার্শ্বীয় বলা হয় এবং তৃতীয়টি ত্রিভুজের ভিত্তি;
- সমবাহু, তিনটি সমান বাহু আছে।
বৈশিষ্ট্য
এরা প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলিকে হাইলাইট করে যা প্রতিটি ধরণের ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যযুক্ত:
- বৃহত্তর দিকের বিপরীতে সর্বদা একটি বড় কোণ থাকে এবং এর বিপরীতে;
- সমান আকারের বিপরীত বাহুগুলি সমান কোণ এবং তদ্বিপরীত;
- যেকোনো ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণ আছে;
- একটি বাইরের কোণ তার সংলগ্ন নয় এমন ভিতরের কোণার চেয়ে বড়;
- যেকোন দুটি কোণের সমষ্টি সর্বদা 180 ডিগ্রির কম হয়;
- বাইরের কোণটি অন্য দুটি কোণার যোগফলের সমান যা এটির সাথে ছেদ করে না।
কোণ উপপাদ্যের ত্রিভুজ যোগফল
উপপাদ্যটি বলে যে আপনি যদি একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের সমস্ত কোণ যোগ করেন, যা ইউক্লিডীয় সমতলে অবস্থিত, তাহলে তাদের যোগফল হবে 180 ডিগ্রি। আসুন এই উপপাদ্য প্রমাণ করার চেষ্টা করি।
আসুন KMN এর শীর্ষবিন্দু সহ একটি নির্বিচারে ত্রিভুজ আছে।
M শীর্ষবিন্দুর মাধ্যমে সরলরেখা KN এর সমান্তরাল একটি সরল রেখা আঁকুন (এই রেখাটিকে ইউক্লিডীয় সরলরেখাও বলা হয়)। আমরা এটিতে বিন্দু Aকে এমনভাবে চিহ্নিত করি যাতে বিন্দু K এবং A সরলরেখা MN এর বিভিন্ন দিকে অবস্থিত। আমরা AMN এবং KNM সমান কোণ পাই, যেগুলি অভ্যন্তরীণ কোণগুলির মতো, আড়াআড়িভাবে অবস্থিত এবং সেকেন্ট MN দ্বারা একত্রিত সরলরেখা KN এবং MA, যা সমান্তরাল। এটি থেকে এটি অনুসরণ করে যে M এবং H শীর্ষবিন্দুতে অবস্থিত ত্রিভুজটির কোণের সমষ্টি KMA কোণের আকারের সমান। তিনটি কোণই যোগফল তৈরি করে, যা KMA এবং MKN কোণের সমষ্টির সমান। যেহেতু এই কোণগুলি সাপেক্ষে অভ্যন্তরীণ একতরফাসমান্তরাল সরলরেখা KN এবং MA একটি সেকেন্ট KM সহ, তাদের যোগফল 180 ডিগ্রি। উপপাদ্য প্রমাণিত।
পরিণাম
নিম্নলিখিত ফলাফলটি উপরে প্রমাণিত উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা হয়েছে: যেকোনো ত্রিভুজের দুটি তীব্র কোণ রয়েছে। এটি প্রমাণ করার জন্য, আসুন আমরা ধরে নিই যে একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের শুধুমাত্র একটি তীব্র কোণ রয়েছে। এটিও অনুমান করা যেতে পারে যে কোণগুলির একটিও তীব্র নয়। এই ক্ষেত্রে, কমপক্ষে দুটি কোণ থাকতে হবে যা 90 ডিগ্রির সমান বা তার বেশি। কিন্তু তখন কোণের যোগফল 180 ডিগ্রির বেশি হবে। তবে এটি হতে পারে না, কারণ উপপাদ্য অনুসারে, একটি ত্রিভুজের কোণের যোগফল 180 ° - বেশি নয় এবং কম নয়। এটাই প্রমাণ করতে হবে।
বহিরাগত কোণার সম্পত্তি
বাহ্যিক ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি কত? এই প্রশ্নের উত্তর দুটি উপায়ে দেওয়া যেতে পারে। প্রথমটি হল কোণগুলির যোগফল খুঁজে বের করা প্রয়োজন, যা প্রতিটি শীর্ষে একটি নেওয়া হয়, অর্থাৎ তিনটি কোণ। দ্বিতীয়টি বোঝায় যে আপনাকে শীর্ষবিন্দুতে সমস্ত ছয়টি কোণের যোগফল খুঁজে বের করতে হবে। প্রথমত, প্রথম বিকল্পের সাথে মোকাবিলা করা যাক। সুতরাং, ত্রিভুজটিতে ছয়টি বাহ্যিক কোণ রয়েছে - প্রতিটি শীর্ষে দুটি।
প্রতিটি জোড়ার সমান কোণ রয়েছে কারণ তারা উল্লম্ব:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
এছাড়া, এটি জানা যায় যে একটি ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণ দুটি অভ্যন্তরীণ কোণের সমষ্টির সমান যা এটিকে ছেদ করে না। অতএব, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
এ থেকে দেখা যাচ্ছে যে বহিরাগতের যোগফলকোণগুলি, যা প্রতিটি শীর্ষে একটি করে নেওয়া হয়, এর সমান হবে:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C)।
প্রদত্ত যে কোণের যোগফল 180 ডিগ্রি, এটি যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে ∟A + ∟B + ∟C=180°। এবং এর মানে হল ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180°=360°। যদি দ্বিতীয় বিকল্পটি ব্যবহার করা হয়, তাহলে ছয়টি কোণের যোগফল হবে যথাক্রমে, দ্বিগুণ বড়। অর্থাৎ, ত্রিভুজের বাহ্যিক কোণের সমষ্টি হবে:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°।
সমকোণী ত্রিভুজ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের তীব্র কোণের সমষ্টি কত? এই প্রশ্নের উত্তর, আবার, উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করে, যা বলে যে একটি ত্রিভুজের কোণগুলি 180 ডিগ্রি পর্যন্ত যোগ করে। এবং আমাদের বিবৃতি (সম্পত্তি) এইরকম শোনাচ্ছে: একটি সমকোণী ত্রিভুজে, তীব্র কোণগুলি 90 ডিগ্রি পর্যন্ত যোগ করে। আসুন এর সত্যতা প্রমাণ করি।
আমাদের একটি ত্রিভুজ KMN দেওয়া যাক, যার মধ্যে ∟Н=90°। এটা প্রমাণ করতে হবে যে ∟K + ∟M=90°।
সুতরাং, কোণ যোগ উপপাদ্য অনুযায়ী ∟К + ∟М + ∟Н=180°। আমাদের অবস্থা বলে যে ∟Н=90°। তাহলে দেখা যাচ্ছে, ∟K + ∟M + 90°=180°। অর্থাৎ, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°। এটাই আমাদের প্রমাণ করতে হবে।
একটি সমকোণী ত্রিভুজের উপরের বৈশিষ্ট্যগুলি ছাড়াও, আপনি নিম্নলিখিতগুলি যোগ করতে পারেন:
- পায়ের বিপরীতে থাকা কোণগুলি তীক্ষ্ণ;
- কর্ণটি যেকোনো পায়ের চেয়ে ত্রিভুজাকার বেশি;
- পায়ের সমষ্টি কর্ণের চেয়ে বড়;
- পাএকটি ত্রিভুজ যেটি 30 ডিগ্রি কোণের বিপরীতে অবস্থিত তা অর্ধেক কর্ণ, অর্থাৎ এটির অর্ধেকের সমান।
এই জ্যামিতিক চিত্রের আরেকটি বৈশিষ্ট্য হিসাবে, পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যটিকে আলাদা করা যেতে পারে। তিনি বলেন যে 90 ডিগ্রি কোণ (আয়তক্ষেত্রাকার) একটি ত্রিভুজে, পায়ের বর্গগুলির যোগফল কর্ণের বর্গক্ষেত্রের সমান৷
একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি
আগে আমরা বলেছিলাম যে সমদ্বিবাহু হল একটি বহুভুজ যার তিনটি শীর্ষবিন্দু রয়েছে, যার দুটি সমান বাহু রয়েছে। একটি প্রদত্ত জ্যামিতিক চিত্রের এই বৈশিষ্ট্যটি পরিচিত: এর ভিত্তির কোণগুলি সমান। আসুন প্রমাণ করি।
KMN ত্রিভুজটি ধরুন, যা সমদ্বিবাহু, KN হল এর ভিত্তি।
আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে ∟К=∟Н। সুতরাং, ধরা যাক যে MA হল আমাদের ত্রিভুজ KMN-এর দ্বিখণ্ডক। এমসিএ ত্রিভুজ, সাম্যের প্রথম চিহ্নটিকে বিবেচনা করে, এমসিএ ত্রিভুজের সমান। যথা, শর্ত অনুসারে এটি দেওয়া হয়েছে যে KM=NM, MA একটি সাধারণ দিক, ∟1=∟2, যেহেতু MA একটি দ্বিখণ্ডক। এই দুটি ত্রিভুজ সমান তা ব্যবহার করে, আমরা বলতে পারি যে ∟K=∟Н। সুতরাং উপপাদ্যটি প্রমাণিত।
কিন্তু আমরা একটি ত্রিভুজের (সমদ্বিবাহু) কোণের সমষ্টি কী তা নিয়ে আগ্রহী। যেহেতু এই ক্ষেত্রে এর নিজস্ব বিশেষত্ব নেই, তাই আমরা আগে বিবেচিত উপপাদ্য থেকে শুরু করব। অর্থাৎ, আমরা বলতে পারি যে ∟K + ∟M + ∟H=180°, বা 2 x ∟K + ∟M=180° (যেহেতু ∟K=∟H)। আমরা এই সম্পত্তিটি প্রমাণ করব না, যেহেতু ত্রিভুজ সমষ্টি উপপাদ্য নিজেই আগে প্রমাণিত হয়েছিল৷
আলোচনা ছাড়াএকটি ত্রিভুজ কোণ সম্পর্কে বৈশিষ্ট্য, এই ধরনের গুরুত্বপূর্ণ বিবৃতি আছে:
- একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, বেসের দিকে যে উচ্চতা নামানো হয়েছে তা মধ্যমা, সমান বাহুর মধ্যে অবস্থিত কোণের দ্বিখণ্ডক, সেইসাথে এর ভিত্তির প্রতিসাম্যের অক্ষ;
- মিডিয়ান (দ্বিভাজক, উচ্চতা) যা এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রের পাশে আঁকা হয় সমান।
সমবাহু ত্রিভুজ
এটিকে ডানও বলা হয়, এটি ত্রিভুজ যার সব বাহু সমান। অতএব, কোণগুলিও সমান। প্রতিটি 60 ডিগ্রি। আসুন এই সম্পত্তি প্রমাণ করি।
ধরুন আমাদের একটি ত্রিভুজ KMN আছে। আমরা জানি যে KM=NM=KN. এবং এর মানে হল একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভিত্তিতে অবস্থিত কোণের বৈশিষ্ট্য অনুসারে, ∟К=∟М=∟Н। যেহেতু, উপপাদ্য অনুসারে, একটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল ∟К + ∟М + ∟Н=180°, তারপর 3 x ∟К=180° বা ∟К=60°, ∟М=60°, ∟ Н=60°। এভাবে উক্তিটি প্রমাণিত হয়।
আপনি উপপাদ্যটির উপর ভিত্তি করে উপরের প্রমাণ থেকে দেখতে পাচ্ছেন, একটি সমবাহু ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি, অন্য যেকোনো ত্রিভুজের কোণের সমষ্টির মতো, 180 ডিগ্রি। এই উপপাদ্যটি আবার প্রমাণ করার দরকার নেই।
একটি সমবাহু ত্রিভুজের বৈশিষ্ট্যের বৈশিষ্ট্যও রয়েছে:
- মিডিয়ান, দ্বিখন্ডক, এই ধরনের জ্যামিতিক চিত্রের উচ্চতা একই, এবং তাদের দৈর্ঘ্য হিসাবে গণনা করা হয় (a x √3): 2;
- যদি আপনি প্রদত্ত বহুভুজের চারপাশে একটি বৃত্ত বর্ণনা করেন, তাহলে এর ব্যাসার্ধ হবেসমান (a x √3): 3;
- যদি আপনি একটি সমবাহু ত্রিভুজে একটি বৃত্ত লিখুন, তাহলে এর ব্যাসার্ধ হবে (a x √3): 6;
- এই জ্যামিতিক চিত্রের ক্ষেত্রফলটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: (a2 x √3): 4.
অব-কোণী ত্রিভুজ
একটি স্থূল ত্রিভুজের সংজ্ঞা অনুসারে, এর একটি কোণ 90 থেকে 180 ডিগ্রির মধ্যে। কিন্তু এই জ্যামিতিক চিত্রের অন্য দুটি কোণ তীব্র, আমরা উপসংহারে আসতে পারি যে তারা 90 ডিগ্রির বেশি নয়। অতএব, একটি স্থূল ত্রিভুজে কোণের সমষ্টি গণনা করার সময় কোণের উপপাদ্যের ত্রিভুজ যোগফল কাজ করে। দেখা যাচ্ছে যে আমরা নিরাপদে বলতে পারি, পূর্বোক্ত উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে, একটি স্থূল ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি হল 180 ডিগ্রি। আবার, এই উপপাদ্যটি পুনরায় প্রমাণ করার প্রয়োজন নেই।
