মানবজাতির অগ্রগতি মূলত প্রতিভাদের দ্বারা করা আবিষ্কারের কারণে। তাদের একজন ব্লেইস প্যাসকেল। তার সৃজনশীল জীবনী আবারও লায়ন ফিউচটওয়াংগারের অভিব্যক্তির সত্যতা নিশ্চিত করে "একজন প্রতিভাবান ব্যক্তি, সবকিছুতে প্রতিভাবান।" এই মহান বিজ্ঞানীর সমস্ত বৈজ্ঞানিক কৃতিত্ব গণনা করা কঠিন। তাদের মধ্যে গণিতের বিশ্বের সবচেয়ে মার্জিত আবিষ্কারগুলির মধ্যে একটি - প্যাসকেলের ত্রিভুজ।
প্রতিভা সম্পর্কে কিছু কথা
39 বছর বয়সে ব্লেইস প্যাসকেল আধুনিক মানদণ্ডের প্রথম দিকে মারা যান। যাইহোক, তার সংক্ষিপ্ত জীবনে তিনি নিজেকে একজন অসামান্য পদার্থবিদ, গণিতবিদ, দার্শনিক এবং লেখক হিসাবে আলাদা করেছিলেন। কৃতজ্ঞ বংশধররা তার সম্মানে চাপের একক এবং জনপ্রিয় প্রোগ্রামিং ভাষা প্যাসকাল নামকরণ করেছে। বিভিন্ন কোড কীভাবে লিখতে হয় তা শেখানোর জন্য এটি প্রায় 60 বছর ধরে ব্যবহার করা হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এটির সাহায্যে, প্রতিটি শিক্ষার্থী পাসকেলে একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা করার জন্য একটি প্রোগ্রাম লিখতে পারে, পাশাপাশি সার্কিটের বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করতে পারে, প্রায়যা নিচে আলোচনা করা হবে।
অসাধারণ চিন্তার অধিকারী এই বিজ্ঞানীর কার্যকলাপ বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রে বিস্তৃত। বিশেষ করে, ব্লেইস প্যাসকেল হাইড্রোস্ট্যাটিক্স, গাণিতিক বিশ্লেষণ, জ্যামিতি এবং সম্ভাব্যতা তত্ত্বের কিছু ক্ষেত্রগুলির অন্যতম প্রতিষ্ঠাতা। এছাড়াও, তিনি:
- পসকেল হুইল নামে পরিচিত একটি যান্ত্রিক ক্যালকুলেটর তৈরি করেছেন;
- পরীক্ষামূলক প্রমাণ দিয়েছে যে বাতাসের স্থিতিস্থাপকতা এবং ওজন রয়েছে;
- প্রতিষ্ঠিত যে একটি ব্যারোমিটার আবহাওয়ার পূর্বাভাস দিতে ব্যবহার করা যেতে পারে;
- ঠেলাগাড়ি আবিষ্কার করেন;
- অমনিবাস আবিষ্কার করেন - নির্দিষ্ট রুট সহ ঘোড়ায় টানা গাড়ি, যা পরবর্তীতে প্রথম ধরনের নিয়মিত পাবলিক ট্রান্সপোর্ট ইত্যাদিতে পরিণত হয়।
পাসকেলের পাটিগণিত ত্রিভুজ
ইতিমধ্যেই উল্লেখ করা হয়েছে, এই মহান ফরাসি বিজ্ঞানী গাণিতিক বিজ্ঞানে বিশাল অবদান রেখেছিলেন। তার একটি নিখুঁত বৈজ্ঞানিক মাস্টারপিস হল "পাটিগণিত ত্রিভুজের উপর গ্রন্থ", যা একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো দ্বিপদ সহগ নিয়ে গঠিত। এই স্কিমের বৈশিষ্ট্যগুলি তাদের বৈচিত্র্যে আকর্ষণীয় এবং এটি নিজেই প্রবাদটিকে নিশ্চিত করে "বুদ্ধিমান সবকিছুই সহজ!"।
একটু ইতিহাস
ন্যায্যভাবে বলতে গেলে, এটি অবশ্যই বলা উচিত যে প্যাসকেলের ত্রিভুজটি 16 শতকের শুরুতে ইউরোপে পরিচিত ছিল। বিশেষ করে, ইঙ্গোলস্ট্যাড বিশ্ববিদ্যালয়ের বিখ্যাত জ্যোতির্বিজ্ঞানী পিটার অ্যাপিয়ানের একটি পাটিগণিত পাঠ্যপুস্তকের প্রচ্ছদে তার চিত্র দেখা যায়। একটি অনুরূপ ত্রিভুজ একটি চিত্র হিসাবে দেখানো হয়.1303 সালে প্রকাশিত চীনা গণিতবিদ ইয়াং হুইয়ের একটি বইতে। অসাধারণ পারস্য কবি ও দার্শনিক ওমর খৈয়ামও দ্বাদশ শতাব্দীর শুরুতে এর বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে সচেতন ছিলেন। অধিকন্তু, এটা বিশ্বাস করা হয় যে তার সাথে পূর্বে লেখা আরব ও ভারতীয় বিজ্ঞানীদের গ্রন্থ থেকে তার সাক্ষাৎ হয়েছিল।
বর্ণনা
পসকেলের ত্রিভুজটির সবচেয়ে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যগুলি অন্বেষণ করার আগে, এটির নিখুঁততা এবং সরলতায় সুন্দর, এটি কী তা জানা মূল্যবান৷
বৈজ্ঞানিকভাবে বলতে গেলে, এই সংখ্যাসূচক স্কিমটি একটি নির্দিষ্ট ক্রমে সাজানো দ্বিপদ সহগ থেকে গঠিত একটি অবিরাম ত্রিভুজাকার টেবিল। এর শীর্ষে এবং পাশে রয়েছে 1 সংখ্যা। অবশিষ্ট অবস্থানগুলি একে অপরের পাশে তাদের উপরে অবস্থিত দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান সংখ্যা দ্বারা দখল করা হয়েছে। তাছাড়া, প্যাসকেলের ত্রিভুজের সমস্ত রেখা তার উল্লম্ব অক্ষ সম্পর্কে প্রতিসম।
মৌলিক বৈশিষ্ট্য
প্যাসকেলের ত্রিভুজ তার পরিপূর্ণতার সাথে আঘাত করে। n (n=0, 1, 2…) নম্বরযুক্ত যেকোনো লাইনের জন্য সত্য:
- প্রথম এবং শেষ সংখ্যা হল ১;
- সেকেন্ড এবং শেষ - n;
- তৃতীয় সংখ্যাটি ত্রিভুজাকার সংখ্যার সমান (যে বৃত্তের সংখ্যা একটি সমবাহু ত্রিভুজে সাজানো যায়, যেমন 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- চতুর্থ সংখ্যাটি টেট্রাহেড্রাল, অর্থাৎ এটি একটি পিরামিড যার গোড়ায় একটি ত্রিভুজ রয়েছে।
উপরন্তু, তুলনামূলকভাবে সম্প্রতি, 1972 সালে, প্যাসকেলের ত্রিভুজের আরেকটি সম্পত্তি প্রতিষ্ঠিত হয়েছিল। তার জন্য আদেশখুঁজে বের করার জন্য, আপনাকে এই স্কিমের উপাদানগুলিকে 2 অবস্থান দ্বারা সারি স্থানান্তর সহ একটি টেবিলের আকারে লিখতে হবে। তারপর লাইন সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা নোট করুন। দেখা যাচ্ছে যে কলামের সংখ্যা যেখানে সমস্ত সংখ্যা হাইলাইট করা হয়েছে সেটি একটি মৌলিক সংখ্যা।
একই কৌশল অন্যভাবে করা যেতে পারে। এটি করার জন্য, প্যাসকেলের ত্রিভুজে, সংখ্যাগুলি তাদের বিভাগের অবশিষ্টাংশ দ্বারা টেবিলের সারি সংখ্যা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়। তারপর রেখাগুলি ফলস্বরূপ ত্রিভুজে সাজানো হয় যাতে পরবর্তীটি আগেরটির প্রথম উপাদান থেকে ডানদিকে 2টি কলাম শুরু করে। তারপরে মৌলিক সংখ্যাগুলির সংখ্যা সহ কলামগুলি কেবল শূন্য নিয়ে গঠিত হবে এবং যৌগিক সংখ্যাগুলির মধ্যে কমপক্ষে একটি শূন্য থাকবে৷
নিউটনের দ্বিপদীর সাথে সংযোগ
আপনি জানেন, এটি দুটি ভেরিয়েবলের যোগফলের একটি অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা শক্তির পরিপ্রেক্ষিতে সম্প্রসারণের সূত্রের নাম, যা দেখতে এইরকম:
এগুলির মধ্যে উপস্থিত সহগগুলি C m =n এর সমান! / (m! (n - m)!), যেখানে m হল Pascal এর ত্রিভুজের সারির n-এর ক্রমিক সংখ্যা। অন্য কথায়, এই টেবিলটি হাতে রেখে, আপনি সহজেই যেকোন সংখ্যাকে একটি শক্তিতে বাড়াতে পারবেন, পূর্বে সেগুলিকে দুটি পদে বিভক্ত করে ফেলেছেন।
এইভাবে, প্যাসকেলের ত্রিভুজ এবং নিউটনের দ্বিপদ ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।
গণিতের বিস্ময়
প্যাসকেলের ত্রিভুজটির একটি নিবিড় পরীক্ষা প্রকাশ করে যে:
- এর সাথে লাইনে থাকা সমস্ত সংখ্যার যোগফলক্রমিক সংখ্যা n (0 থেকে গণনা) হল 2;
- যদি রেখাগুলো বাঁদিকে সারিবদ্ধ করা হয়, তাহলে প্যাসকেলের ত্রিভুজের কর্ণ বরাবর অবস্থিত সংখ্যার যোগফল নিচ থেকে ওপরে এবং বাম থেকে ডানে যাচ্ছে, ফিবোনাচি সংখ্যার সমান;
- প্রথম "তির্যক" ক্রমানুসারে প্রাকৃতিক সংখ্যা নিয়ে গঠিত;
- প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে যেকোন উপাদান, এক দ্বারা হ্রাস, সমান্তরালগ্রামের ভিতরে অবস্থিত সমস্ত সংখ্যার যোগফলের সমান, যা এই সংখ্যার উপর ছেদ করা বাম এবং ডান কর্ণ দ্বারা সীমাবদ্ধ;
- চিত্রের প্রতিটি লাইনে, জোড় স্থানে সংখ্যার যোগফল বিজোড় স্থানে উপাদানের যোগফলের সমান।
Sierpinski ত্রিভুজ
এমন একটি আকর্ষণীয় গাণিতিক স্কিম, জটিল সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে বেশ আশাব্যঞ্জক, প্যাসকেল চিত্রের জোড় সংখ্যাকে এক রঙে এবং বিজোড় সংখ্যাকে অন্য রঙে রঙ করার মাধ্যমে পাওয়া যায়।
Sierpinski ত্রিভুজটি অন্যভাবে তৈরি করা যেতে পারে:
- ছায়াযুক্ত প্যাসকেল স্কিমে, মধ্যবর্তী ত্রিভুজটি একটি ভিন্ন রঙে পুনরায় রঙ করা হয়, যা মূলটির বাহুর মধ্যবিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করে গঠিত হয়;
- কোণায় অবস্থিত তিনটি আনপেইন্টেডের সাথে ঠিক একই কাজ করুন;
- যদি প্রক্রিয়াটি অনির্দিষ্টকালের জন্য অব্যাহত থাকে, তাহলে ফলাফলটি একটি দুই রঙের চিত্র হওয়া উচিত।
সিয়ারপিনস্কি ত্রিভুজের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য হল এর স্ব-সাদৃশ্যতা, যেহেতু এটির 3টি কপি রয়েছে, যা 2 গুণ কমে গেছে। এটি আমাদের এই স্কিমটিকে ফ্র্যাক্টাল বক্ররেখার জন্য দায়ী করতে দেয়, এবং সেগুলি, সাম্প্রতিক দ্বারা দেখানো হয়েছেমেঘ, গাছপালা, নদীর ব-দ্বীপ এবং মহাবিশ্বের গাণিতিক মডেলিংয়ের জন্য গবেষণা সবচেয়ে উপযুক্ত৷
বেশ কিছু আকর্ষণীয় কাজ
পাসকেলের ত্রিভুজ কোথায় ব্যবহৃত হয়? এর সাহায্যে সমাধান করা যেতে পারে এমন কাজের উদাহরণগুলি বেশ বৈচিত্র্যময় এবং বিজ্ঞানের বিভিন্ন ক্ষেত্রের অন্তর্গত। চলুন দেখে নেওয়া যাক আরও আকর্ষণীয় কিছু।
সমস্যা 1. একটি দুর্গ প্রাচীর দ্বারা বেষ্টিত কিছু বড় শহরে শুধুমাত্র একটি প্রবেশদ্বার আছে। প্রথম মোড়ে প্রধান সড়কটি দুই ভাগ হয়ে গেছে। অন্য যেকোনো ক্ষেত্রেও একই ঘটনা ঘটে। 210 জন লোক শহরে প্রবেশ করে। প্রতিটি মোড়ে তারা মিলিত হয়, তারা অর্ধেক বিভক্ত হয়। প্রতিটি মোড়ে কত লোক পাওয়া যাবে কখন তা আর শেয়ার করা সম্ভব হবে না। তার উত্তর হল প্যাসকেলের ত্রিভুজের লাইন 10 (উপরে উপস্থাপিত সহগ সূত্র), যেখানে 210 নম্বরগুলি উল্লম্ব অক্ষের উভয় পাশে অবস্থিত৷
টাস্ক 2। রঙের 7টি নাম রয়েছে। আপনাকে 3টি ফুলের তোড়া তৈরি করতে হবে। এটি কতগুলি বিভিন্ন উপায়ে করা যেতে পারে তা খুঁজে বের করতে হবে। এই সমস্যাটি কম্বিনেটরিক্সের ক্ষেত্র থেকে। এটি সমাধান করার জন্য, আমরা আবার প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করি এবং তৃতীয় অবস্থানে (উভয় ক্ষেত্রেই 0 থেকে সংখ্যাকরণ) 35 নম্বরে 7ম লাইনে উঠি।
এখন আপনি জানেন যে মহান ফরাসি দার্শনিক এবং বিজ্ঞানী ব্লেইস পাসকাল কী আবিষ্কার করেছিলেন। এর বিখ্যাত ত্রিভুজ, সঠিকভাবে ব্যবহার করা হলে, অনেক সমস্যা সমাধানের জন্য একটি বাস্তব জীবন রক্ষাকারী হয়ে উঠতে পারে, বিশেষ করে ক্ষেত্র থেকেসমন্বয়বিদ্যা উপরন্তু, এটি ফ্র্যাক্টাল সম্পর্কিত অসংখ্য রহস্য সমাধান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।
