একটি সিলিন্ডার হল একটি সাধারণ ত্রিমাত্রিক চিত্র যা স্কুল জ্যামিতি কোর্সে অধ্যয়ন করা হয় (বিভাগ কঠিন জ্যামিতি)। এই ক্ষেত্রে, একটি সিলিন্ডারের আয়তন এবং ভর গণনা করার পাশাপাশি এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ধারণে প্রায়শই সমস্যা দেখা দেয়। চিহ্নিত প্রশ্নের উত্তর এই নিবন্ধে দেওয়া আছে।
সিলিন্ডার কি?
প্রশ্নের উত্তরে এগিয়ে যাওয়ার আগে, সিলিন্ডারের ভর এবং এর আয়তন কত, এই স্থানিক চিত্রটি কী তা বিবেচনা করা উচিত। এটি অবিলম্বে উল্লেখ করা উচিত যে একটি সিলিন্ডার একটি ত্রিমাত্রিক বস্তু। অর্থাৎ, মহাকাশে, আপনি কার্টেসিয়ান আয়তক্ষেত্রাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় প্রতিটি অক্ষ বরাবর এর তিনটি পরামিতি পরিমাপ করতে পারেন। প্রকৃতপক্ষে, একটি সিলিন্ডারের মাত্রা দ্ব্যর্থহীনভাবে নির্ধারণ করার জন্য, এর মাত্র দুটি পরামিতি জানা যথেষ্ট।
সিলিন্ডার একটি ত্রিমাত্রিক চিত্র যা দুটি বৃত্ত এবং একটি নলাকার পৃষ্ঠ দ্বারা গঠিত। এই বস্তুটিকে আরও স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করার জন্য, এটি একটি আয়তক্ষেত্র নেওয়া এবং এটির যে কোনও দিকের চারপাশে ঘোরানো শুরু করা যথেষ্ট, যা ঘূর্ণনের অক্ষ হবে। এই ক্ষেত্রে, ঘূর্ণমান আয়তক্ষেত্র আকৃতি বর্ণনা করবেঘূর্ণন - সিলিন্ডার।
দুটি গোলাকার পৃষ্ঠকে সিলিন্ডারের ভিত্তি বলা হয়, এগুলি একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। ঘাঁটির মধ্যে দূরত্বকে উচ্চতা বলে। দুটি ঘাঁটি একটি নলাকার পৃষ্ঠ দ্বারা পরস্পর সংযুক্ত। উভয় বৃত্তের কেন্দ্রের মধ্য দিয়ে যাওয়া রেখাকে সিলিন্ডারের অক্ষ বলা হয়।
আয়তন এবং পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল
আপনি উপরের থেকে দেখতে পাচ্ছেন, সিলিন্ডার দুটি প্যারামিটার দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে: উচ্চতা h এবং এর বেস r এর ব্যাসার্ধ। এই পরামিতিগুলি জেনে, বিবেচিত শরীরের অন্যান্য সমস্ত বৈশিষ্ট্য গণনা করা সম্ভব। নীচে প্রধানগুলি রয়েছে:
- ঘাঁটির এলাকা। এই মানটি সূত্র দ্বারা গণনা করা হয়: S1=2pir2, যেখানে pi 3 এর সমান, 14। সংখ্যা 2 সূত্রে দেখা যাচ্ছে কারণ সিলিন্ডারের দুটি অভিন্ন বেস রয়েছে।
- নলাকার পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল। এটি এভাবে গণনা করা যেতে পারে: S2=2pirh। এই সূত্রটি বোঝা সহজ: যদি একটি নলাকার পৃষ্ঠটি একটি বেস থেকে অন্য বেসে উল্লম্বভাবে কাটা হয় এবং প্রসারিত হয়, তবে একটি আয়তক্ষেত্র পাওয়া যাবে, যার উচ্চতা সিলিন্ডারের উচ্চতার সমান হবে এবং প্রস্থটি মিলবে ত্রিমাত্রিক চিত্রের ভিত্তির পরিধি। যেহেতু ফলিত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হল তার বাহুর গুণফল, যা h এবং 2pir এর সমান, উপরের সূত্রটি পাওয়া গেছে।
- সিলিন্ডার পৃষ্ঠ এলাকা। এটি S1 এবং S2 এর ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান, আমরা পাই: S3=S1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pir(r+h).
- আয়তন। এই মানটি খুঁজে পাওয়া সহজ, আপনাকে শুধুমাত্র একটি বেসের ক্ষেত্রফলকে চিত্রের উচ্চতা দ্বারা গুণ করতে হবে: V=(S1/2)h=pir 2 ঘ.
একটি সিলিন্ডারের ভর নির্ণয় করা
অবশেষে, নিবন্ধের বিষয়ে সরাসরি যাওয়া মূল্যবান। কিভাবে একটি সিলিন্ডার ভর নির্ধারণ? এটি করার জন্য, আপনাকে এর আয়তন জানতে হবে, গণনার সূত্র যা উপরে উপস্থাপিত হয়েছিল। এবং এটি গঠিত পদার্থের ঘনত্ব। ভর একটি সাধারণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়: m=ρV, যেখানে ρ হল বস্তুর ঘনত্ব যা প্রশ্নে বস্তুটিকে গঠন করে।
ঘনত্বের ধারণাটি স্থানের একক আয়তনে থাকা পদার্থের ভরকে চিহ্নিত করে। উদাহরণ স্বরূপ. এটা জানা যায় যে কাঠের তুলনায় লোহার ঘনত্ব বেশি। এর মানে হল যে লোহা এবং কাঠের পদার্থের সমান আয়তনের ক্ষেত্রে, আগেরটির ভর পরবর্তীটির তুলনায় অনেক বেশি হবে (প্রায় 16 বার)।
একটি তামার সিলিন্ডারের ভর গণনা করা
একটি সাধারণ সমস্যা বিবেচনা করুন। তামার তৈরি সিলিন্ডারের ভর খুঁজে বের করা প্রয়োজন। সুনির্দিষ্টতার জন্য, সিলিন্ডারের ব্যাস 20 সেমি এবং উচ্চতা 10 সেমি হতে দিন।
আপনি সমস্যাটি সমাধান করা শুরু করার আগে, আপনার উত্স ডেটা নিয়ে কাজ করা উচিত৷ সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ তার ব্যাসের অর্ধেকের সমান, যার মানে হল r=20/2=10 সেমি, যখন উচ্চতা হল h=10 সেমি। যেহেতু সমস্যাটিতে বিবেচিত সিলিন্ডারটি তামার তৈরি, তাই উল্লেখ করে রেফারেন্স ডেটা, আমরা এই উপাদানটির ঘনত্বের মান লিখি: ρ=8, 96 g/cm3 (তাপমাত্রা 20 °C এর জন্য)।
এখন আপনি সমস্যার সমাধান করা শুরু করতে পারেন। প্রথমে, আসুন ভলিউম গণনা করি: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 সেমি3তাহলে সিলিন্ডারের ভর হবে: m=ρV=8.963140=28134 গ্রাম বা আনুমানিক 28 কিলোগ্রাম।
সংশ্লিষ্ট সূত্রগুলিতে ইউনিটগুলি ব্যবহারের সময় আপনাকে তাদের মাত্রার দিকে মনোযোগ দিতে হবে। সুতরাং, সমস্যায়, সমস্ত পরামিতি সেন্টিমিটার এবং গ্রামে উপস্থাপিত হয়েছিল৷
একজাত এবং ফাঁপা সিলিন্ডার
উপরে প্রাপ্ত ফলাফল থেকে, এটি দেখা যায় যে তুলনামূলকভাবে ছোট আকারের (10 সেমি) একটি তামার সিলিন্ডারের একটি বড় ভর (28 কেজি) রয়েছে। এটি শুধুমাত্র এই কারণেই নয় যে এটি ভারী উপাদান দিয়ে তৈরি, তবে এটি সমজাতীয় হওয়ার কারণেও। এই সত্যটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ, যেহেতু ভর গণনার জন্য উপরের সূত্রটি শুধুমাত্র তখনই ব্যবহার করা যেতে পারে যদি সিলিন্ডারটি সম্পূর্ণরূপে (বাইরে এবং ভিতরে) একই উপাদান দিয়ে তৈরি হয়, অর্থাৎ এটি একজাতীয় হয়৷
অনুশীলনে, ফাঁপা সিলিন্ডারগুলি প্রায়শই ব্যবহার করা হয় (উদাহরণস্বরূপ, জলের জন্য নলাকার ব্যারেল)। অর্থাৎ এগুলি কিছু উপাদানের পাতলা শীট দিয়ে তৈরি, কিন্তু ভিতরে সেগুলি খালি। একটি ফাঁপা সিলিন্ডারের জন্য, ভর গণনার জন্য নির্দেশিত সূত্র ব্যবহার করা যাবে না।
একটি ফাঁপা সিলিন্ডারের ভর গণনা করা
একটি তামার সিলিন্ডার ভিতরে খালি থাকলে তার ভর কত হবে তা গণনা করা আকর্ষণীয়। উদাহরণস্বরূপ, এটি একটি পাতলা তামার পাত থেকে তৈরি করা যাক যার পুরুত্ব শুধুমাত্র d=2 মিমি।
এই সমস্যাটি সমাধান করতে, আপনাকে তামার আয়তন খুঁজে বের করতে হবে, যেখান থেকে বস্তুটি তৈরি হয়েছে। সিলিন্ডারের আয়তন নয়। কারণ পুরুত্বসিলিন্ডারের মাত্রার তুলনায় শীটটি ছোট (d=2 মিমি এবং r=10 সেমি), তারপর তামার আয়তন যা থেকে বস্তুটি তৈরি করা হয়েছে তা সিলিন্ডারের সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল দ্বারা গুণ করে পাওয়া যাবে তামার পাতটির পুরুত্ব, আমরা পাই: V=dS 3=d2pir(r+h)। আগের সমস্যা থেকে ডেটা প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই: V=0.223, 1410(10+10)=251.2 সেমি3। একটি ফাঁপা সিলিন্ডারের ভর তামার প্রাপ্ত পরিমাণকে গুণ করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে, যা এটির উত্পাদনের জন্য প্রয়োজনীয় ছিল, তামার ঘনত্ব দ্বারা: m \u003d 251.28.96 \u003d 2251 গ্রাম বা 2.3 কেজি। অর্থাৎ, বিবেচিত ফাঁপা সিলিন্ডারের ওজন একটি সমজাতীয় সিলিন্ডারের চেয়ে 12 (28, 1/2, 3) গুণ কম৷
