পিরামিড হল একটি জ্যামিতিক স্থানিক চিত্র, যার বৈশিষ্ট্যগুলি কঠিন জ্যামিতি কোর্সে উচ্চ বিদ্যালয়ে অধ্যয়ন করা হয়। এই নিবন্ধে, আমরা একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড, এর প্রকারগুলি, সেইসাথে এর পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল গণনার সূত্রগুলি বিবেচনা করব৷
আমরা কোন পিরামিডের কথা বলছি?
একটি ত্রিভুজাকার পিরামিড এমন একটি চিত্র যা একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের সমস্ত শীর্ষবিন্দুকে একটি একক বিন্দুর সাথে সংযুক্ত করে প্রাপ্ত করা যেতে পারে যা এই ত্রিভুজের সমতলে থাকে না। এই সংজ্ঞা অনুসারে, বিবেচনাধীন পিরামিডটিতে একটি প্রাথমিক ত্রিভুজ থাকা উচিত, যাকে চিত্রের ভিত্তি বলা হয় এবং তিনটি পার্শ্ব ত্রিভুজ যার ভিত্তির সাথে একটি সাধারণ বাহু রয়েছে এবং একটি বিন্দুতে একে অপরের সাথে সংযুক্ত। পরেরটিকে পিরামিডের শীর্ষ বলা হয়।
উপরের ছবিটি একটি নির্বিচারে ত্রিভুজাকার পিরামিড দেখায়৷
বিবেচনার অধীন চিত্রটি তির্যক বা সোজা হতে পারে। পরবর্তী ক্ষেত্রে, পিরামিডের শীর্ষ থেকে তার ভিত্তি পর্যন্ত লম্বটি অবশ্যই জ্যামিতিক কেন্দ্রে ছেদ করবে। যে কোনোটির জ্যামিতিক কেন্দ্রত্রিভুজ হল এর মধ্যকার ছেদ বিন্দু। জ্যামিতিক কেন্দ্র পদার্থবিদ্যায় চিত্রের ভর কেন্দ্রের সাথে মিলে যায়।
যদি একটি নিয়মিত (সমবাহু) ত্রিভুজ একটি সরল পিরামিডের গোড়ায় থাকে, তাহলে তাকে নিয়মিত ত্রিভুজ বলা হয়। একটি নিয়মিত পিরামিডে, সমস্ত বাহু একে অপরের সমান এবং সমবাহু ত্রিভুজ।
যদি একটি নিয়মিত পিরামিডের উচ্চতা এমন হয় যে এর বাহুর ত্রিভুজগুলি সমবাহু হয়ে যায়, তবে তাকে টেট্রাহেড্রন বলা হয়। একটি টেট্রাহেড্রনে, চারটি মুখই একে অপরের সমান, তাই তাদের প্রত্যেকটিকে একটি ভিত্তি হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে।
পিরামিড উপাদান
এই উপাদানগুলির মধ্যে রয়েছে একটি চিত্রের মুখ বা পাশ, এর প্রান্ত, শীর্ষবিন্দু, উচ্চতা এবং অ্যাপোথেমস।
যেমন দেখানো হয়েছে, একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের সব বাহু ত্রিভুজ। তাদের সংখ্যা 4 (3 পাশে এবং একটি গোড়ায়)।
শীর্ষবিন্দুগুলি হল তিনটি ত্রিভুজাকার বাহুর ছেদ বিন্দু। এটি অনুমান করা কঠিন নয় যে পিরামিডের জন্য বিবেচনাধীন রয়েছে তাদের মধ্যে 4টি (3টি ভিত্তির এবং 1টি পিরামিডের শীর্ষে)।
প্রান্তগুলিকে রেখা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যেগুলি দুটি ত্রিভুজাকার বাহুকে ছেদ করে বা প্রতি দুটি শীর্ষবিন্দুকে সংযুক্ত করে এমন রেখা হিসাবে। প্রান্তের সংখ্যা বেস শীর্ষবিন্দুর দ্বিগুণ সংখ্যার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, অর্থাৎ, একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের জন্য এটি 6 (3টি প্রান্ত ভিত্তির অন্তর্গত এবং 3টি প্রান্ত পাশের মুখ দ্বারা গঠিত)।
উচ্চতা, উপরে উল্লিখিত হিসাবে, পিরামিডের শীর্ষ থেকে তার ভিত্তি পর্যন্ত অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য। যদি আমরা এই শীর্ষবিন্দু থেকে ত্রিভুজাকার ভিত্তির প্রতিটি পাশে উচ্চতা আঁকি,তারপর তাদের বলা হবে apotems (বা apothems)। এইভাবে, ত্রিভুজাকার পিরামিডের একটি উচ্চতা এবং তিনটি অ্যাপোথেম রয়েছে। পরেরটি একটি নিয়মিত পিরামিডের জন্য একে অপরের সমান।
পিরামিডের ভিত্তি এবং এর এলাকা
যেহেতু বিবেচনাধীন চিত্রটির ভিত্তিটি সাধারণত একটি ত্রিভুজ, তাই এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য এটির উচ্চতা ho এবং বেসের পাশের দৈর্ঘ্য বের করাই যথেষ্ট একটি, যার উপর এটি নত করা হয়। বেসের So এলাকার জন্য সূত্র হল:
So=1/2hoa
যদি বেসের ত্রিভুজটি সমবাহু হয়, তাহলে ত্রিভুজাকার পিরামিডের ভিত্তির ক্ষেত্রফল নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা হয়:
So=√3/4a2
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল So ত্রিভুজাকার বেসের a পাশের দৈর্ঘ্য দ্বারা স্বতন্ত্রভাবে নির্ধারিত হয়।
চিত্রের পার্শ্ব এবং মোট ক্ষেত্রফল
একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের ক্ষেত্রফল বিবেচনা করার আগে, এটির বিকাশ দেখানো উপযোগী। তিনি নীচের ছবি.
চারটি ত্রিভুজ দ্বারা গঠিত এই সুইপের ক্ষেত্রফল হল পিরামিডের মোট ক্ষেত্রফল। ত্রিভুজগুলির মধ্যে একটি বেসের সাথে মিলে যায়, যার বিবেচিত মানের সূত্র উপরে লেখা হয়েছিল। তিনটি পার্শ্বীয় ত্রিভুজাকার মুখ একসাথে চিত্রটির পার্শ্বীয় ক্ষেত্র তৈরি করে। অতএব, এই মান নির্ধারণ করার জন্য, তাদের প্রতিটিতে একটি নির্বিচারে ত্রিভুজের জন্য উপরের সূত্রটি প্রয়োগ করা এবং তারপর তিনটি ফলাফল যোগ করা যথেষ্ট।
পিরামিড সঠিক হলে হিসাবপাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল সুবিধাজনক, যেহেতু সমস্ত পার্শ্বীয় মুখগুলি অভিন্ন সমবাহু ত্রিভুজ। hbঅ্যাপোথেমের দৈর্ঘ্য নির্দেশ করুন, তারপর পার্শ্বীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল Sb এইভাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে:
Sb=3/2ahb
এই সূত্রটি একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সাধারণ অভিব্যক্তি থেকে অনুসরণ করে। পিরামিডের তিনটি পার্শ্বমুখ থাকার কারণে সংখ্যায় 3 নম্বরটি উপস্থিত হয়েছে৷
Apotema hb একটি নিয়মিত পিরামিডে গণনা করা যেতে পারে যদি h চিত্রের উচ্চতা জানা যায়। পিথাগোরিয়ান উপপাদ্য প্রয়োগ করে আমরা পাই:
hb=√(h2+ a2/12)
অবশ্যই, চিত্রটির পৃষ্ঠের মোট ক্ষেত্রফল S এর পার্শ্ব এবং ভিত্তি এলাকার সমষ্টির সমান:
S=So+ Sb
একটি নিয়মিত পিরামিডের জন্য, সমস্ত পরিচিত মান প্রতিস্থাপন করে, আমরা সূত্রটি পাই:
S=√3/4a2+ 3/2a√(h2+ a 2/12)
একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের ক্ষেত্রফল শুধুমাত্র তার ভিত্তির পাশের দৈর্ঘ্য এবং উচ্চতার উপর নির্ভর করে।
উদাহরণ সমস্যা
এটা জানা যায় যে একটি ত্রিভুজাকার পিরামিডের পাশের প্রান্তটি 7 সেমি, এবং ভিত্তিটির দিকটি 5 সেমি। আপনি যদি জানেন যে পিরামিডটি জানেন তবে আপনাকে চিত্রটির পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল খুঁজে বের করতে হবে নিয়মিত।
একটি সাধারণ সমতা ব্যবহার করুন:
S=So+ Sb
ক্ষেত্রফল Soএর সমান:
So=√3/4a2 =√3/452 ≈10, 825cm2.
পাশ্বর্ীয় পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, আপনাকে apotema খুঁজে বের করতে হবে। এটি দেখানো কঠিন নয় যে পাশের প্রান্তের দৈর্ঘ্যের মাধ্যমে ab এটি সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:
hb=√(ab2- a2 /4)=√(7 2- 52/4) ≈ 6.538 সেমি।
তারপর Sb হল:
Sb=3/2ahb=3/256, 538=49.035 সেমি2।
পিরামিডের মোট ক্ষেত্রফল হল:
S=So+ Sb=10.825 + 49.035=59.86 সেমি2 ।
মনে রাখবেন যে সমস্যাটি সমাধান করার সময়, আমরা গণনায় পিরামিডের উচ্চতার মান ব্যবহার করিনি।
