সংজ্ঞার পরিধি - এটা কি?

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

এটিকে সহজভাবে এবং সংক্ষেপে বলতে গেলে, স্কোপ হল সেই মানগুলি যা যেকোনো ফাংশন নিতে পারে। এই বিষয়টি সম্পূর্ণরূপে অন্বেষণ করার জন্য, আপনাকে ধীরে ধীরে নিম্নলিখিত পয়েন্ট এবং ধারণাগুলিকে আলাদা করতে হবে। প্রথমে, আসুন ফাংশনের সংজ্ঞা এবং এর উপস্থিতির ইতিহাস বুঝুন।

একটি ফাংশন কি

সমস্ত সঠিক বিজ্ঞান আমাদের অনেক উদাহরণ প্রদান করে যেখানে প্রশ্নে থাকা ভেরিয়েবলগুলি একে অপরের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি পদার্থের ঘনত্ব সম্পূর্ণরূপে তার ভর এবং আয়তন দ্বারা নির্ধারিত হয়। ধ্রুবক আয়তনে একটি আদর্শ গ্যাসের চাপ তাপমাত্রার সাথে পরিবর্তিত হয়। এই উদাহরণগুলি এই সত্য দ্বারা একত্রিত হয়েছে যে সমস্ত সূত্রের ভেরিয়েবলের মধ্যে নির্ভরতা রয়েছে, যেগুলিকে কার্যকরী বলা হয়৷

একটি ফাংশন এমন একটি ধারণা যা একটি পরিমাণের উপর অন্য পরিমাণের নির্ভরতা প্রকাশ করে। এটির ফর্ম y=f(x), যেখানে y হল ফাংশনের মান, যা x - আর্গুমেন্টের উপর নির্ভর করে। সুতরাং, আমরা বলতে পারি যে y হল x এর মানের উপর নির্ভরশীল একটি চলক। x একসাথে যে মানগুলি নিতে পারে তা হলপ্রদত্ত ফাংশনের ডোমেইন (D(y) বা D(f)), এবং সেই অনুযায়ী, y এর মানগুলি ফাংশন মানগুলির সেট গঠন করে (E(f) বা E(y))। এমন কিছু ক্ষেত্রে আছে যখন একটি ফাংশন কিছু সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়। এই ক্ষেত্রে, সংজ্ঞার ডোমেনে এই ধরনের ভেরিয়েবলের মান থাকে, যেখানে সূত্রের সাথে স্বরলিপি অর্থপূর্ণ হয়।

মেলা বা সমান বৈশিষ্ট্য আছে। এই দুটি ফাংশনের বৈধ মানের সমান রেঞ্জ রয়েছে, সেইসাথে ফাংশনের মানগুলিও একই আর্গুমেন্টের জন্য সমান।

নির্ভুল বিজ্ঞানের অনেক আইনের নাম বাস্তব জীবনের পরিস্থিতির অনুরূপ। গাণিতিক ফাংশন সম্পর্কে যেমন একটি আকর্ষণীয় তথ্য আছে। একটি ফাংশন "স্যান্ডউইচড" এর সীমা সম্পর্কে একটি উপপাদ্য রয়েছে অন্য দুটির মধ্যে যার একই সীমা রয়েছে - প্রায় দুজন পুলিশ সদস্য। তারা এটিকে এভাবে ব্যাখ্যা করে: যেহেতু দুজন পুলিশ একজন বন্দিকে তাদের মধ্যকার একটি কক্ষে নিয়ে যাচ্ছে, অপরাধী সেখানে যেতে বাধ্য হয়, এবং তার আর কোন উপায় নেই।

ঐতিহাসিক বৈশিষ্ট্যের উল্লেখ

একটি ফাংশনের ধারণা অবিলম্বে চূড়ান্ত এবং সুনির্দিষ্ট হয়ে ওঠেনি, এটি হয়ে উঠতে দীর্ঘ পথ অতিক্রম করেছে। প্রথমত, 17 শতকের শেষভাগে প্রকাশিত প্লেন এবং সলিড প্লেসগুলির ফার্ম্যাটের পরিচিতি এবং অধ্যয়ন, নিম্নলিখিতগুলি জানিয়েছে:

যখনই চূড়ান্ত সমীকরণে দুটি অজানা থাকে, সেখানে জায়গা থাকে।

সাধারণভাবে, এই কাজটি কার্যকরী নির্ভরতা এবং এর উপাদান চিত্রের কথা বলে (স্থান=লাইন)।

এছাড়াও, প্রায় একই সময়ে, রেনে ডেসকার্টস তার রচনা "জ্যামিতি" (1637) এর সমীকরণ দ্বারা রেখাগুলি অধ্যয়ন করেছিলেন, যেখানে আবার সত্যএকে অপরের উপর দুটি পরিমাণের নির্ভরতা।

"ফাংশন" শব্দটির খুব উল্লেখ শুধুমাত্র 17 শতকের শেষের দিকে লাইবনিজের সাথে আবির্ভূত হয়েছিল, কিন্তু এর আধুনিক ব্যাখ্যায় নয়। তার বৈজ্ঞানিক কাজে, তিনি বিবেচনা করেছিলেন যে একটি ফাংশন একটি বাঁকা রেখার সাথে যুক্ত বিভিন্ন অংশ।

কিন্তু ইতিমধ্যে 18 শতকে, ফাংশনটি আরও সঠিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা শুরু করেছে। বার্নোলি নিম্নলিখিত লিখেছেন:

একটি ফাংশন একটি ভেরিয়েবল এবং একটি ধ্রুবক দ্বারা গঠিত একটি মান।

অয়লারের চিন্তাও এর কাছাকাছি ছিল:

একটি পরিবর্তনশীল পরিমাণ ফাংশন হল একটি বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি যা এই পরিবর্তনশীল পরিমাণ এবং সংখ্যা বা ধ্রুবক পরিমাণের কিছু উপায়ে গঠিত।

যখন কিছু পরিমাণ অন্যের উপর এমনভাবে নির্ভর করে যে যখন পরেরটি পরিবর্তিত হয়, তারা নিজেরাই পরিবর্তিত হয়, তখন পূর্ববর্তীটিকে পরেরটির ফাংশন বলা হয়।

ফাংশন গ্রাফ

ফাংশনের গ্রাফটি স্থানাঙ্ক সমতলের অক্ষগুলির সাথে সম্পর্কিত সমস্ত বিন্দু নিয়ে গঠিত, যার অ্যাবসিসাসগুলি আর্গুমেন্টের মান নেয় এবং এই বিন্দুগুলিতে ফাংশনের মানগুলি অর্ডিনেট।

একটি ফাংশনের সুযোগ সরাসরি তার গ্রাফের সাথে সম্পর্কিত, কারণ যদি কোনো অ্যাবসিসাস বৈধ মানের পরিসর দ্বারা বাদ দেওয়া হয়, তাহলে আপনাকে গ্রাফে খালি বিন্দু আঁকতে হবে বা নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে গ্রাফটি আঁকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, যদি y=tgx ফর্মের একটি গ্রাফ নেওয়া হয়, তাহলে মান x=pi / 2 + pin, n∉R সংজ্ঞা এলাকা থেকে বাদ দেওয়া হয়, একটি স্পর্শক গ্রাফের ক্ষেত্রে, আপনাকে আঁকতে হবেy-অক্ষের সমান্তরাল উল্লম্ব রেখাগুলি (এগুলিকে অ্যাসিম্পটোট বলা হয়) বিন্দুর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে ±pi/2৷

ফাংশনগুলির যে কোনও পুঙ্খানুপুঙ্খ এবং যত্নশীল অধ্যয়ন গণিতের একটি বড় শাখা গঠন করে যাকে ক্যালকুলাস বলা হয়। প্রাথমিক গণিতে, ফাংশন সম্পর্কে প্রাথমিক প্রশ্নগুলিও স্পর্শ করা হয়, উদাহরণস্বরূপ, একটি সাধারণ গ্রাফ তৈরি করা এবং একটি ফাংশনের কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য স্থাপন করা।

কি ফাংশন সেট করা যেতে পারে

ফাংশন করতে পারে:

• একটি সূত্র হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: y=cos x;
• ফর্মের জোড়ার যেকোনো টেবিল দ্বারা সেট করা হয়েছে (x; y);
• অবিলম্বে একটি গ্রাফিকাল ভিউ আছে, এর জন্য ফর্মের পূর্ববর্তী আইটেম (x; y) থেকে জোড়াগুলি স্থানাঙ্ক অক্ষগুলিতে প্রদর্শিত হতে হবে৷

কিছু উচ্চ-স্তরের সমস্যার সমাধান করার সময় সতর্কতা অবলম্বন করুন, প্রায় যেকোন এক্সপ্রেশনকে ফাংশন y (x) এর মানের জন্য কিছু যুক্তির সাপেক্ষে একটি ফাংশন হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এই ধরনের কাজের সংজ্ঞার ডোমেইন খুঁজে পাওয়া সমাধানের চাবিকাঠি হতে পারে।

এর সুযোগ কি?

একটি ফাংশন অধ্যয়ন বা নির্মাণ করার জন্য আপনাকে প্রথমে যা জানতে হবে তা হল এর সুযোগ। গ্রাফটিতে শুধুমাত্র সেই পয়েন্টগুলি থাকা উচিত যেখানে ফাংশনটি বিদ্যমান থাকতে পারে। সংজ্ঞার ডোমেন (x) গ্রহণযোগ্য মানগুলির ডোমেন হিসাবেও উল্লেখ করা যেতে পারে (সংক্ষেপে ODZ)।

সঠিকভাবে এবং দ্রুত ফাংশনগুলির একটি গ্রাফ তৈরি করতে, আপনাকে এই ফাংশনের ডোমেনটি জানতে হবে, কারণ গ্রাফের উপস্থিতি এবং বিশ্বস্ততা এটির উপর নির্ভর করেনির্মাণ. উদাহরণস্বরূপ, একটি ফাংশন y=√x গঠন করতে, আপনাকে জানতে হবে যে x শুধুমাত্র ধনাত্মক মান নিতে পারে। অতএব, এটি শুধুমাত্র প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে নির্মিত হয়৷

প্রাথমিক ফাংশনের উদাহরণে সংজ্ঞার পরিধি

এর অস্ত্রাগারে, গণিতের অল্প সংখ্যক সহজ, সংজ্ঞায়িত ফাংশন রয়েছে। তাদের একটি সীমিত সুযোগ আছে। আপনার সামনে একটি তথাকথিত জটিল ফাংশন থাকলেও এই সমস্যার সমাধান অসুবিধা সৃষ্টি করবে না। এটি বেশ কয়েকটি সাধারণের সমন্বয় মাত্র।

1. সুতরাং, ফাংশনটি ভগ্নাংশ হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ: f(x)=1/x। সুতরাং, ভেরিয়েবল (আমাদের যুক্তি) হর এর মধ্যে রয়েছে এবং সবাই জানে যে একটি ভগ্নাংশের হর 0 এর সমান হতে পারে না, তাই, আর্গুমেন্টটি 0 বাদে যেকোনো মান নিতে পারে। স্বরলিপিটি এরকম দেখাবে: D(y)=x∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)। যদি হর-এ একটি ভেরিয়েবল সহ কিছু অভিব্যক্তি থাকে, তাহলে আপনাকে x-এর সমীকরণটি সমাধান করতে হবে এবং মানগুলিকে বাদ দিতে হবে যা হরকে 0-এ পরিণত করে। একটি পরিকল্পিত উপস্থাপনের জন্য, 5টি সঠিকভাবে নির্বাচিত বিন্দুই যথেষ্ট। এই ফাংশনের গ্রাফটি একটি হাইপারবোলা হবে যার একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট বিন্দু (0; 0) এবং একত্রে, Ox এবং Oy অক্ষের মধ্য দিয়ে যাবে। যদি গ্রাফিক চিত্রটি উপসর্গগুলির সাথে ছেদ করে, তবে এই জাতীয় ত্রুটিকে সবচেয়ে গুরুতর বলে গণ্য করা হবে৷
2. কিন্তু রুটের ডোমেইন কি? একটি র্যাডিকাল এক্সপ্রেশন (f(x)=√(2x + 5)) সহ একটি ফাংশনের ডোমেইন, একটি পরিবর্তনশীল ধারণ করে, এর নিজস্ব সূক্ষ্মতা রয়েছে (শুধুমাত্র একটি জোড় ডিগ্রির মূলে প্রযোজ্য)। হিসাবেগাণিতিক মূল হল একটি ধনাত্মক রাশি বা 0 এর সমান, তারপর মূল অভিব্যক্তিটি অবশ্যই 0 এর থেকে বেশি বা সমান হতে হবে, আমরা নিম্নলিখিত অসমতা সমাধান করি: 2x + 5 ≧ 0, x ≧ -2, 5, অতএব, এর ডোমেন ফাংশন: D(y)=x ∈ (-2, 5; +∞)। গ্রাফটি একটি প্যারাবোলার শাখাগুলির মধ্যে একটি, যা 90 ডিগ্রি দ্বারা ঘোরানো হয়, প্রথম স্থানাঙ্ক চতুর্ভুজে অবস্থিত৷
3. যদি আমরা একটি লগারিদমিক ফাংশন নিয়ে কাজ করি, তবে আপনার মনে রাখা উচিত যে লগারিদমের বেস এবং লগারিদমের চিহ্নের অধীনে অভিব্যক্তি সম্পর্কিত একটি সীমাবদ্ধতা রয়েছে, এই ক্ষেত্রে আপনি সংজ্ঞার ডোমেনটি খুঁজে পেতে পারেন অনুসরণ করে আমাদের একটি ফাংশন আছে: y=log_{a(x + 7), আমরা অসমতা সমাধান করি: x + 7 > 0, x > -7। তারপর এই ফাংশনের ডোমেইন হল D(y)=x ∈ (-7; +∞)।}
4. এছাড়াও y=tgx এবং y=ctgx ফর্মের ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলিতে মনোযোগ দিন, যেহেতু y=tgx=sinx/cos/x এবং y=ctgx=cosx/sinx, অতএব, আপনাকে মানগুলি বাদ দিতে হবে যেখানে হর শূন্যের সমান হতে পারে। আপনি যদি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলির গ্রাফগুলির সাথে পরিচিত হন তবে তাদের ডোমেন বোঝা একটি সহজ কাজ৷

কীভাবে জটিল ফাংশন ভিন্ন

কিছু মৌলিক নিয়ম মনে রাখবেন। যদি আমরা একটি জটিল ফাংশন নিয়ে কাজ করি, তাহলে কিছু সমাধান করার, সরলীকরণ করার, ভগ্নাংশ যোগ করার, সর্বনিম্ন সাধারণ হরকে হ্রাস করা এবং মূল বের করার দরকার নেই। আমাদের অবশ্যই এই ফাংশনটি তদন্ত করতে হবে কারণ বিভিন্ন (এমনকি অভিন্ন) অপারেশনগুলি ফাংশনের সুযোগ পরিবর্তন করতে পারে, যার ফলে একটি ভুল উত্তর হয়৷

উদাহরণস্বরূপ, আমাদের একটি জটিল ফাংশন আছে: y=(x2 - 4)/(x - 2)। আমরা ভগ্নাংশের লব এবং হরকে কমাতে পারি না, যেহেতু এটি শুধুমাত্র x ≠ 2 হলেই সম্ভব, এবং এটি ফাংশনের ডোমেন খুঁজে বের করার কাজ, তাই আমরা লবকে গুণিত করি না এবং কোনো অসমতার সমাধান করি না, কারণ যে মানটিতে ফাংশনটি বিদ্যমান নেই, খালি চোখে দৃশ্যমান। এই ক্ষেত্রে, x মান 2 নিতে পারে না, যেহেতু হর 0 তে যেতে পারে না, স্বরলিপিটি এইরকম দেখাবে: D(y)=x ∉ (-∞; 2) ∪ (2; +∞).

পারস্পরিক কার্যাবলী

শুরু করার জন্য, এটা বলার অপেক্ষা রাখে না যে একটি ফাংশন শুধুমাত্র বৃদ্ধি বা হ্রাসের ব্যবধানে বিপরীত হতে পারে। বিপরীত ফাংশন খুঁজে পেতে, আপনাকে স্বরলিপিতে x এবং y অদলবদল করতে হবে এবং x এর সমীকরণটি সমাধান করতে হবে। সংজ্ঞার ডোমেন এবং মূল্যের ডোমেনগুলি কেবল বিপরীত হয়৷

প্রত্যাবর্তনশীলতার প্রধান শর্ত হল একটি ফাংশনের একঘেয়ে ব্যবধান, যদি একটি ফাংশনে বৃদ্ধি এবং হ্রাসের ব্যবধান থাকে, তবে এটি যেকোন একটি ব্যবধানের (বৃদ্ধি বা হ্রাস) বিপরীত ফাংশন রচনা করা সম্ভব।

উদাহরণস্বরূপ, সূচকীয় ফাংশনের জন্য y=e^x রেসিপ্রোকাল হল প্রাকৃতিক লগারিদমিক ফাংশন y=log_{ea=lna। ত্রিকোণমিতির জন্য, এগুলি হবে উপসর্গ arc- সহ ফাংশন: y=sinx এবং y=arcsinx ইত্যাদি। কিছু অক্ষ বা উপসর্গের সাপেক্ষে গ্রাফগুলি প্রতিসমভাবে স্থাপন করা হবে।}

সিদ্ধান্ত

গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসরের জন্য অনুসন্ধান করা ফাংশনের গ্রাফ পরীক্ষা করার জন্য নেমে আসে (যদি একটি থাকে),প্রয়োজনীয় সুনির্দিষ্ট বৈষম্যের সিস্টেম রেকর্ডিং এবং সমাধান করা।

সুতরাং, এই নিবন্ধটি আপনাকে একটি ফাংশনের সুযোগ কী এবং এটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যায় তা বুঝতে সাহায্য করেছে৷ আমরা আশা করি এটি আপনাকে প্রাথমিক বিদ্যালয়ের কোর্সটি ভালভাবে বুঝতে সাহায্য করবে৷