লগারিদম: উদাহরণ এবং সমাধান

2024 লেখক: Angel Austin | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2024-01-02 17:42

আপনি জানেন, রাশিগুলিকে ক্ষমতা দিয়ে গুণ করার সময়, তাদের সূচকগুলি সর্বদা যোগ হয় (a^ba^c=a^{b+ c)। এই গাণিতিক আইনটি আর্কিমিডিস দ্বারা উদ্ভূত হয়েছিল এবং পরবর্তীতে, 8ম শতাব্দীতে, গণিতবিদ বীরসেন পূর্ণসংখ্যা নির্দেশকের একটি টেবিল তৈরি করেছিলেন। তারাই লগারিদমের আরও আবিষ্কারের জন্য কাজ করেছিল। এই ফাংশনটি ব্যবহার করার উদাহরণগুলি প্রায় সর্বত্র পাওয়া যাবে যেখানে এটি সহজ যোগে কষ্টকর গুণনকে সরল করার জন্য প্রয়োজন। আপনি যদি এই নিবন্ধটি পড়তে 10 মিনিট ব্যয় করেন, আমরা আপনাকে লগারিদমগুলি কী এবং কীভাবে তাদের সাথে কাজ করতে হবে তা ব্যাখ্যা করব। সহজ এবং সহজলভ্য ভাষা।}

গণিতে সংজ্ঞা

লগারিদম হল নিম্নোক্ত ফর্মের একটি অভিব্যক্তি: লগ_ab=c c" যার মধ্যে শেষ পর্যন্ত মান পেতে হলে আপনাকে ভিত্তি "a" বাড়াতে হবে " খ" উদাহরণ ব্যবহার করে লগারিদম বিশ্লেষণ করা যাক, ধরা যাক এখানে একটি এক্সপ্রেশন লগ_{28 আছে। কিভাবে উত্তর খুঁজে? এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি ডিগ্রী খুঁজে বের করতে হবে যাতে 2 থেকে প্রয়োজনীয় ডিগ্রী পর্যন্ত আপনি 8 পেতে পারেন। আপনার মনে কিছু গণনা করে, আমরা 3 নম্বর পাই! এবং এটা সত্য, কারণ3 এর ঘাতে 2 উত্থাপিত উত্তর দেয় 8।}

লগারিদমের বিভিন্নতা

অনেক ছাত্র এবং ছাত্রদের জন্য, এই বিষয়টি জটিল এবং বোধগম্য বলে মনে হয়, কিন্তু আসলে, লগারিদমগুলি এতটা ভীতিকর নয়, মূল জিনিসটি তাদের সাধারণ অর্থ বোঝা এবং তাদের বৈশিষ্ট্য এবং কিছু নিয়ম মনে রাখা। লগারিদমিক এক্সপ্রেশনের তিনটি পৃথক প্রকার রয়েছে:

1. প্রাকৃতিক লগারিদম ln a, যেখানে ভিত্তি হল অয়লার সংখ্যা (e=2, 7)।
2. দশমিক লগারিদম lg a, যেখানে ভিত্তিটি সংখ্যা 10।
3. যেকোন সংখ্যা b এর লগারিদম a>1 বেস।

লোগারিদমিক উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি লগারিদমে সরলীকরণ, হ্রাস এবং পরবর্তীতে হ্রাস সহ তাদের প্রত্যেকটি একটি আদর্শ উপায়ে সমাধান করা হয়। লগারিদমগুলির সঠিক মানগুলি পেতে, একজনকে তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি এবং সেগুলি সমাধান করার জন্য কর্মের ক্রম মনে রাখতে হবে৷

নিয়ম এবং কিছু বিধিনিষেধ

গণিতে, বেশ কিছু নিয়ম-নিষেধ আছে যেগুলোকে স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে গ্রহণ করা হয়, অর্থাৎ সেগুলো আলোচনার যোগ্য নয় এবং সত্য। উদাহরণস্বরূপ, সংখ্যাগুলিকে শূন্য দ্বারা ভাগ করা অসম্ভব, এবং ঋণাত্মক সংখ্যা থেকে একটি জোড় মূল নেওয়াও অসম্ভব। লগারিদমেরও তাদের নিজস্ব নিয়ম রয়েছে, যেগুলি অনুসরণ করে আপনি সহজেই শিখতে পারেন কীভাবে দীর্ঘ এবং ধারণযোগ্য লগারিদমিক অভিব্যক্তির সাথেও কাজ করতে হয়:

• "a" এর ভিত্তি সর্বদা শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে এবং একই সময়ে 1 এর সমান হবে না, অন্যথায় অভিব্যক্তিটি তার অর্থ হারাবে, কারণ "1" এবং "0" যে কোনো মাত্রায় সর্বদা তাদের মানের সমান;
• যদি একটি > 0, তারপর ab>0,দেখা যাচ্ছে যে "c" অবশ্যই শূন্যের চেয়ে বড় হতে হবে৷

কিভাবে লগারিদম সমাধান করবেন?

উদাহরণস্বরূপ, 10^x=100 সমীকরণের উত্তর খুঁজে বের করার জন্য টাস্ক দেওয়া হয়েছে। এটা খুবই সহজ, আপনাকে এমন একটি পাওয়ার বেছে নিতে হবে, দশ নম্বর বাড়াতে হবে, আমরা 100 পান। এই, অবশ্যই ওয়েল, দ্বিঘাত শক্তি! 10^2=100.

এখন এই অভিব্যক্তিটিকে লগারিদমিক হিসাবে উপস্থাপন করা যাক। আমরা লগারিদমের সমাধান পাই।

একটি অজানা ডিগ্রির মান সঠিকভাবে নির্ধারণ করতে, আপনাকে ডিগ্রি টেবিলের সাথে কীভাবে কাজ করতে হয় তা শিখতে হবে। এটা এই মত দেখাচ্ছে:

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, কিছু সূচককে স্বজ্ঞাতভাবে অনুমান করা যেতে পারে যদি আপনার একটি প্রযুক্তিগত মানসিকতা এবং গুণন সারণী সম্পর্কে জ্ঞান থাকে। যাইহোক, বড় মানগুলির জন্য একটি পাওয়ার টেবিলের প্রয়োজন হবে। এমনকি যারা জটিল গাণিতিক বিষয়ে কিছুই বোঝেন না তারাও এটি ব্যবহার করতে পারেন। বাম কলামে সংখ্যা রয়েছে (বেস a), সংখ্যার উপরের সারিটি হল পাওয়ার c এর মান, যেখানে সংখ্যাটি উত্থাপিত হয়েছে। ছেদ-এ, কক্ষগুলি সংখ্যার মান নির্ধারণ করে যা উত্তর (ac=b)। উদাহরণস্বরূপ, 10 নম্বর সহ প্রথম ঘরটি ধরা যাক এবং এটিকে বর্গাকার করুন, আমরা 100 এর মান পাই, যা আমাদের দুটি কোষের সংযোগস্থলে নির্দেশিত। সবকিছু এত সহজ এবং সহজ যে এমনকি সবচেয়ে প্রকৃত মানবতাবাদীও বুঝতে পারবে!

সমীকরণ এবং অসমতা

এটা দেখা যাচ্ছে যখনকিছু শর্তে, সূচক হল লগারিদম। অতএব, যেকোনো গাণিতিক সংখ্যাসূচক রাশিকে লগারিদমিক সমীকরণ হিসেবে লেখা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, 3⁴=81কে 81 থেকে বেস 3-এর লগারিদম হিসাবে লেখা যেতে পারে, যা চারটি (লগ₃81=4)। নেতিবাচক ডিগ্রির জন্য, নিয়মগুলি একই: 2^-5=1/32 লগারিদম হিসাবে লেখা, আমরা লগ পাই_{2 (1/32))=-5। গণিতের সবচেয়ে আকর্ষণীয় বিভাগগুলির মধ্যে একটি হল "লগারিদম" বিষয়। আমরা তাদের বৈশিষ্ট্য অধ্যয়ন করার পরপরই, সমীকরণের উদাহরণ এবং সমাধানগুলিকে একটু কম বিবেচনা করব। আপাতত, আসুন দেখি বৈষম্যগুলি কেমন দেখায় এবং কীভাবে তাদের সমীকরণ থেকে আলাদা করা যায়।}

নিম্নলিখিত অভিব্যক্তিটি দেওয়া হয়েছে: লগ_{2(x-1) > 3 - এটি একটি লগারিদমিক অসমতা, যেহেতু অজানা মান "x" এর চিহ্নের নীচে রয়েছে লগারিদম অভিব্যক্তিটি দুটি মানেরও তুলনা করে: কাঙ্ক্ষিত সংখ্যার বেস দুই লগারিদম সংখ্যা তিনের চেয়ে বড়৷}

লগারিদমিক সমীকরণ এবং অসমতার মধ্যে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য হল লগারিদমের সমীকরণ (উদাহরণ - লগারিদম₂x=√9)_{বোঝায় উত্তরে এক বা একাধিক নির্দিষ্ট সংখ্যাসূচক মান, অসমতা সমাধান করার সময়, গ্রহণযোগ্য মানগুলির পরিসর এবং এই ফাংশনের বিরতি পয়েন্ট উভয়ই নির্ধারিত হয়। ফলস্বরূপ, উত্তরটি সমীকরণের উত্তরের মতো পৃথক সংখ্যার একটি সরল সেট নয়, বরং একটি ধারাবাহিক ধারা বা সংখ্যার সেট৷}

লগারিদমের মৌলিক উপপাদ্য

লোগারিদমের মানগুলি খুঁজে পেতে আদিম কাজগুলি সমাধান করার সময়, আপনি এর বৈশিষ্ট্যগুলি জানেন না। যাইহোক, যখন লগারিদমিক সমীকরণ বা অসমতার কথা আসে, প্রথমত, লগারিদমের সমস্ত মৌলিক বৈশিষ্ট্যগুলিকে স্পষ্টভাবে বোঝা এবং অনুশীলনে প্রয়োগ করা প্রয়োজন। আমরা পরে সমীকরণের উদাহরণগুলির সাথে পরিচিত হব, আসুন প্রথমে প্রতিটি সম্পত্তি আরও বিশদে বিশ্লেষণ করি৷

1. মূল পরিচয়টি দেখতে এইরকম: alogaB=B. এটি শুধুমাত্র তখনই প্রযোজ্য হয় যদি a 0-এর বেশি হয়, একের সমান না হয় এবং B শূন্যের চেয়ে বড় হয়।
2. পণ্যের লগারিদম নিম্নলিখিত সূত্রে উপস্থাপন করা যেতে পারে: লগ_d(s₁s₂₎₌ লগ_ds₁ + লগ_ds_2. এই ক্ষেত্রে, বাধ্যতামূলক শর্ত হল: d, s₁ এবং s₂ > 0; a≠1. আপনি উদাহরণ এবং সমাধান সহ লগারিদমের এই সূত্রটির জন্য একটি প্রমাণ দিতে পারেন। লগ_as₁ =f₁ এবং লগ_as ₂=f₂, তারপর a^f1=s₁, a ^f2=s_2. আমরা পেয়েছি যে s₁s₂ =a^f1a ^f2=a^f1+f2 (ডিগ্রি বৈশিষ্ট্য), এবং আরও সংজ্ঞা অনুসারে: লগ_a(s₁ s₂)=f₁+ f₂=লগ _as1 + লগ_as_{2, যা প্রমাণ করতে হবে।}
3. ভাগফলের লগারিদমটি এইরকম দেখায়: লগ_a(s_1/s₂)=লগ _as₁- লগ_as_2.
4. একটি সূত্র আকারে উপপাদ্যটি নিম্নলিখিত রূপ নেয়: লগa_q^bn _{=n/q লগ}a^b.

এই সূত্রটিকে "লগারিদমের ডিগ্রির বৈশিষ্ট্য" বলা হয়। এটি সাধারণ ডিগ্রির বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ, এবং এটি আশ্চর্যজনক নয়, কারণ সমস্ত গণিত নিয়মিত পোস্টুলেটের উপর নির্ভর করে। আসুন প্রমাণ দেখি।

লগ করুন_ab=t, আমরা একটি^t=b পাই। আপনি যদি উভয় দিককে m শক্তিতে বাড়ান: a^tn=b^;

কিন্তু কারণ a^tn=(a^q)^nt/q=b^{, তাই লগ}a_qb^{n=(nt)/t, তারপর লগ}a_qbⁿ =n/q লগ_ab. উপপাদ্য প্রমাণিত।

সমস্যা এবং অসমতার উদাহরণ

লগারিদম সমস্যাগুলির সবচেয়ে সাধারণ প্রকারগুলি হল সমীকরণ এবং অসমতার উদাহরণ। এগুলি প্রায় সমস্ত সমস্যা বইতে পাওয়া যায় এবং গণিতের পরীক্ষার বাধ্যতামূলক অংশেও অন্তর্ভুক্ত। একটি বিশ্ববিদ্যালয়ে প্রবেশ করতে বা গণিতে প্রবেশিকা পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে হলে আপনাকে জানতে হবে কিভাবে এই ধরনের সমস্যাগুলো সঠিকভাবে সমাধান করতে হয়।

দুর্ভাগ্যবশত, লগারিদমের অজানা মান সমাধান এবং নির্ধারণের জন্য কোন একক পরিকল্পনা বা স্কিম নেই, তবে প্রতিটি গাণিতিক অসমতা বা লগারিদমিক সমীকরণে নির্দিষ্ট নিয়ম প্রয়োগ করা যেতে পারে। প্রথমত, আপনার অভিব্যক্তিটি সরলীকৃত বা সাধারণ আকারে হ্রাস করা যায় কিনা তা খুঁজে বের করা উচিত। আপনি যদি তাদের বৈশিষ্ট্যগুলি সঠিকভাবে ব্যবহার করেন তবে আপনি দীর্ঘ লগারিদমিক অভিব্যক্তিকে সরল করতে পারেন। আসুন শীঘ্রই তাদের সাথে পরিচিত হই।

লগারিদমিক সমীকরণ সমাধান করার সময়,আমাদের সামনে আমাদের কী ধরনের লগারিদম আছে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন: একটি অভিব্যক্তির উদাহরণে একটি প্রাকৃতিক লগারিদম বা দশমিক একটি থাকতে পারে৷

এখানে দশমিক লগারিদমের উদাহরণ রয়েছে: ln100, ln1026৷ তাদের সমাধানটি এই সত্যে ফুটে উঠেছে যে আপনাকে বেস 10 যথাক্রমে 100 এবং 1026 এর সমান হবে তা নির্ধারণ করতে হবে। প্রাকৃতিক লগারিদমের সমাধানের জন্য, লগারিদমিক পরিচয় বা তাদের বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করতে হবে। চলুন বিভিন্ন ধরনের লগারিদমিক সমস্যা সমাধানের উদাহরণ দেখি।

কিভাবে লগারিদম সূত্র ব্যবহার করবেন: উদাহরণ এবং সমাধান সহ

তাহলে, আসুন লগারিদম সম্পর্কে মূল উপপাদ্য ব্যবহারের উদাহরণ দেখি।

1. পণ্যের লগারিদমের বৈশিষ্ট্যটি এমন কাজে ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে b সংখ্যার একটি বড় মানের সরল কারণগুলিতে পচন করা প্রয়োজন। উদাহরণস্বরূপ, লগ₂4 + লগ₂128=লগ₂(4128)=লগ_{2512। উত্তর হল 9.}
2. লগ₄8=লগ_2² 2³ =3/2 লগ_{22=1, 5 - আপনি দেখতে পাচ্ছেন, লগারিদমের ডিগ্রির চতুর্থ বৈশিষ্ট্য প্রয়োগ করে, আমরা প্রথম নজরে সমাধান করতে পেরেছি একটি জটিল এবং অমীমাংসিত অভিব্যক্তি। আপনাকে যা করতে হবে তা হল ভিত্তিকে ফ্যাক্টর করুন এবং তারপর লগারিদমের চিহ্ন থেকে শক্তি বের করে নিন।}

পরীক্ষা থেকে অ্যাসাইনমেন্ট

লগারিদমগুলি প্রায়শই প্রবেশিকা পরীক্ষায় পাওয়া যায়, বিশেষ করে ইউনিফাইড স্টেট পরীক্ষায় (সমস্ত স্কুল স্নাতকদের জন্য রাজ্য পরীক্ষা) প্রচুর লগারিদমিক সমস্যা। সাধারণত এই কাজগুলি শুধুমাত্র A অংশে উপস্থিত থাকে না (সবচেয়ে বেশিপরীক্ষার সহজ পরীক্ষা অংশ), তবে অংশ সি (সবচেয়ে কঠিন এবং বিশাল কাজ)। পরীক্ষার জন্য "প্রাকৃতিক লগারিদম" বিষয়ের সঠিক এবং নিখুঁত জ্ঞানের প্রয়োজন।

পরীক্ষার অফিসিয়াল সংস্করণ থেকে উদাহরণ এবং সমস্যার সমাধান নেওয়া হয়েছে। আসুন দেখি কিভাবে এই ধরনের কাজগুলো সমাধান করা হয়।

প্রদত্ত লগ₂(2x-1)=4. সমাধান:

অভিব্যক্তিটি পুনরায় লিখুন, এটিকে কিছুটা সরলীকরণ করুন_2(2x-1)=22^{, লগারিদমের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই যে 2x-1=2}4^{, তাই 2x=17; x=8, 5.}

কয়েকটি নির্দেশিকা অনুসরণ করে, যেগুলি অনুসরণ করে আপনি লগারিদমের চিহ্নের অধীনে থাকা অভিব্যক্তি সমন্বিত সমস্ত সমীকরণ সহজেই সমাধান করতে পারেন।

• সমস্ত লগারিদমকে একই বেসে কমিয়ে আনা ভালো যাতে সমাধানটি কষ্টকর এবং বিভ্রান্তিকর না হয়।
• লগারিদম চিহ্নের অধীনে সমস্ত রাশি ধনাত্মক হিসাবে নির্দেশিত হয়, তাই লগারিদম চিহ্নের অধীনে এবং এর ভিত্তি হিসাবে অভিব্যক্তিটির সূচককে গুণ করার সময়, লগারিদমের নীচে অবশিষ্ট রাশিটি অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে৷